關(guān)注類比轉(zhuǎn)化 引領(lǐng)思維發(fā)展

［摘? 要］ 類比是“發(fā)現(xiàn)”知識的推理方法，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中具有十分重要的作用，無論是從時間上還是從內(nèi)容上，都應(yīng)當(dāng)給予足夠的重視． 文章通過探究棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導(dǎo)過程，促使學(xué)生自覺地、科學(xué)地用類比方法獲取新的知識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力．

［關(guān)鍵詞］ 類比推理；數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)；課堂教學(xué)；思維能力

基金項目：蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點課題“指向復(fù)雜情境問題解決的高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育路徑研究”（2021/LX/01/049/09）.

作者簡介：梅滋亞（1988—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，2021年獲得蘇州市高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課評比活動二等獎，2019年和2021年獲得蘇州市中小學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)競賽三等獎，2021年獲得蘇州工業(yè)園區(qū)“教壇新秀”榮譽稱號．

問題的提出

根據(jù)兩個（或兩類）對象在某些方面相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理． 開普勒曾說，“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”． 拉普拉斯說，“甚至在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比”． 波利亞說得更為形象，“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題”． 由此可見，類比在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中具有十分重要的作用，應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會自覺地、科學(xué)地用類比方法獲取新的知識． 本文嘗試以此為指導(dǎo)，以棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導(dǎo)為例進行設(shè)計和分析，現(xiàn)將其中的一些想法整理成文，與同行交流．

教學(xué)分析

1. 教材分析

本節(jié)課所授內(nèi)容源于人教A版第八章“立體幾何初步”的第三節(jié)．受學(xué)生所學(xué)知識基礎(chǔ)的限制，教科書上大部分體積公式都沒有給出推導(dǎo)過程，而是直接給出的． 教科書在本節(jié)后面的“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中介紹了祖暅原理與柱體、錐體的體積，在“空間直線、平面的垂直”的例6中介紹了棱臺體積公式的推導(dǎo)． 教科書編寫者給本節(jié)教學(xué)的建議為：本節(jié)內(nèi)容可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和論證能力，教學(xué)時可以根據(jù)學(xué)生的知識基礎(chǔ)安排教學(xué)． 筆者通過整合這些內(nèi)容，以平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)過程為類比線索，探究棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，滲透化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法． 當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面垂直的位置關(guān)系后，就可以完整推導(dǎo)本節(jié)課的公式，這是提升學(xué)生邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)和空間想象能力的良好契機．

基于以上分析，筆者把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為：①利用祖暅原理和長方體體積公式推導(dǎo)棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；②類比平面圖形面積公式的推導(dǎo)過程，探究棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，提升學(xué)生的知識遷移能力，并在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法；③通過對棱柱、棱錐、棱臺體積公式的探究，提升學(xué)生邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)．

教學(xué)重點：棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導(dǎo)．

教學(xué)難點：三棱錐和棱臺體積公式的推導(dǎo)．

2. 學(xué)情分析

學(xué)生對基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征以及空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系已經(jīng)有了初步認(rèn)識，這為研究棱柱、棱錐、棱臺的體積奠定了基礎(chǔ)． 另外，在小學(xué)和初中階段，學(xué)生經(jīng)歷了平面圖形面積的測量過程，并逐步研究了長方形、平行四邊形、三角形以及梯形的面積，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了思維范式，可以引導(dǎo)學(xué)生類比平面圖形面積的探究歷程來探究空間幾何體的體積． 但本節(jié)課內(nèi)容對學(xué)生邏輯推理能力、空間想象能力的要求較高，教學(xué)中可以采用啟發(fā)引導(dǎo)、合作探究等多元教學(xué)法去完成．

教學(xué)過程設(shè)計

1. 回顧定義，追溯問題本源

回顧：我們在小學(xué)是如何測量平面圖形面積以及空間幾何體體積的？

若長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的體積為V=abc或V=Sh，其中S，h分別為長方體的底面面積和高．

設(shè)計意圖 回顧小學(xué)課本（如圖1所示），追溯知識本源，進一步明確體積的測量方法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． 復(fù)習(xí)長方體的體積公式，為推導(dǎo)棱柱、棱錐和棱臺的體積公式奠定基礎(chǔ)．

2. 尋找策略，實踐探究過程

探究1：長方體的體積是其底面面積與高的乘積，那么一般的直棱柱的體積如何計算呢？一般的斜棱柱呢？

師生活動：通過討論發(fā)現(xiàn)，一般的直棱柱可以通過“分割拼補”，變成直四棱柱（長方體），所以一般的直棱柱的體積也是其底面面積與高的乘積．

追問1：小學(xué)時我們已經(jīng)知道，通過“分割拼補”，由長方形的面積公式可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式（如圖2所示）． 類比猜想，斜棱柱的體積公式是否也可以通過“分割拼補”的方法得到？

師生活動：類比上述過程，實物模型觀察后小組討論，運用幾何畫板演示（如圖3所示）發(fā)現(xiàn)，通過“分割拼補”可以將斜棱柱轉(zhuǎn)化為直棱柱，求得斜棱柱的體積為縱截面（垂直于側(cè)棱的面）面積與側(cè)棱長的乘積． 但是在具體應(yīng)用中，這樣計算斜棱柱的體積不方便，教師繼續(xù)追問是否還有別的計算方法．

設(shè)計意圖 通過類比平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程，得到斜棱柱體積公式，雖然這個公式不是課本上呈現(xiàn)的公式，但這種思考問題的角度值得學(xué)生去體會． 因為類比推理既是一種創(chuàng)造性的思維模式，也是提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)的研究過程，這對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和生活都大有裨益．

追問2：取一摞書或一摞紙整齊地堆放在桌面上，將它如圖4那樣改變一下形狀，請問體積是否會發(fā)生變化？

師生活動：觀察討論后發(fā)現(xiàn)，這摞書或紙的形狀變化前后高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，說明變形后這摞書或紙的體積與變形前相等，于是引出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”． 同時，適當(dāng)介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史，增強學(xué)生的民族自豪感．

追問3：如果一個棱柱與一個長方體的高和底面面積都相等，那么它們的體積有何關(guān)系？能否借助祖暅原理解釋？

師生活動：討論后發(fā)現(xiàn)，將它們置于同一平面上（如圖5所示），用一個與底面平行的平面去截它們，可以證明截面（陰影部分）面積都等于各自底面的面積，由祖暅原理可知，它們的體積相等．

由此，得到棱柱的體積公式為V=Sh，其中S，h分別為棱柱的底面面積和高．

設(shè)計意圖 利用祖暅原理和長方體體積公式，推導(dǎo)棱柱的體積公式，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，體會轉(zhuǎn)化思想方法．

探究2：小學(xué)時我們已經(jīng)知道，通過“分割”，由平行四邊形的面積公式可以推導(dǎo)出三角形的面積公式（如圖6所示）． 類比猜想，棱錐（可以先研究三棱錐）的體積公式是否也可以通過“分割”的方法得到？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析三角形和三棱錐的“相似性”——三角形有一個底邊，其他的邊交于一點；三棱錐有一個底面，其他的面交于一點.為類比猜想奠定思維基礎(chǔ)．

設(shè)計意圖 由于三棱錐和三角形有一定的“相似性”，因此可以引導(dǎo)學(xué)生猜想：既然能用上面的方法（圖6所示的方法）求三角形的面積，就可以用類似的方法求三棱錐的體積．

追問1：三角形的面積與底邊邊長和底邊上的高有關(guān)，猜想三棱錐的體積與哪些量有關(guān).

師生活動：猜想三棱錐的體積與三棱錐的底面面積和高有關(guān)．

追問2：能否利用祖暅原理證明等底等高的兩個三棱錐的體積相等？

師生活動：設(shè)平行于底面的任一平面截三棱錐O-ABC所得的截面為△ABC，截三棱錐P-DEF所得的截面為△DEF（如圖7所示）． 根據(jù)相似原理，可以證明S△ABC=S△DEF．由祖暅原理可知，三棱錐O-ABC的體積與三棱錐P-DEF的體積相等，即等底等高的兩個三棱錐的體積相等．

追問3：若三棱柱ABC-ABC的底面面積為S，高為h，類比三角形面積公式的推導(dǎo)過程，能否推導(dǎo)出三棱錐A-ABC的體積？

師生活動：分小組合作探究． 三棱柱ABC-ABC的底面面積為S，高為h，則它的體積為Sh．類比平行四邊形分割成兩個面積相等的三角形，把三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐（如圖8所示），每個三棱錐的體積是Sh． 如果三棱錐A-ABC以△ABC為底，那么它的底面面積是S，高是h，而它的體積是Sh． 這說明三棱錐的體積等于它的底面面積與高的乘積的三分之一．

追問4：一般地，一個底面面積和高分別為S和h的n棱錐的體積公式是什么？能否借助三棱錐體積公式的推導(dǎo)過程得到？

師生活動：通過模型演示和交流討論，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，任意一個n棱錐都可以分割成n-2個高相等的三棱錐，顯然這n-2個三棱錐的體積之和為Sh．

由此，得到棱錐的體積公式為V=Sh，其中S，h分別為棱錐的底面面積和高．

探究3：若一個梯形的上底、下底和高分別為a，b和h，我們可以用“補形”的方法推導(dǎo)梯形的面積公式． 類比猜想，棱臺的體積公式是否也可以通過“補形”的方法得到？

如圖9所示，延長梯形兩腰交于點E，則S=S-S． 過點E作梯形下底的垂線，分別與梯形的上底、下底相交于點M，N. 設(shè)△ECD的高為h，則EM=h，于是S=b（h+h），S=ah，所以梯形的面積S=S-S=b（h+h）－ah=bh+（b－a）h ①.

由梯形上底、下底平行可得=，所以h=，將其代入①式，得S=bh+（b－a）=（a+b）h．

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析梯形和棱臺的“相似性”——梯形上底、下底平行，兩腰延長后相交于一點；棱臺上底面、下底面平行，側(cè)面延展后相交于一點；梯形可以認(rèn)為是用平行于三角形一邊的直線截去一個小三角形得到的，棱臺可以認(rèn)為是用平行于棱錐底面的平面截去一個小棱錐得到的，為類比猜想奠定思維基礎(chǔ)．

設(shè)計意圖 由于棱臺和梯形有一定的“相似性”，讓學(xué)生猜想求棱臺體積的方法與求梯形面積的方法是類似的，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究這種方法是否可行．

追問1：梯形面積與其上底、下底和高有關(guān)，猜想棱臺的體積與哪些量有關(guān).

師生活動：猜想棱臺的體積與棱臺的上底面、下底面面積和高有關(guān)．

追問2：已知一個棱臺的上底面、下底面面積分別為S′，S，高為h．類比上述梯形面積公式的推導(dǎo)過程，能否推導(dǎo)出棱臺的體積公式？

師生活動：給出一個四棱臺示意圖，讓學(xué)生先自主探究推導(dǎo)，然后合作交流，最后投影學(xué)生的探究成果，請學(xué)生代表上臺講解． （限于篇幅，此處不再贅述）

3. 反思小結(jié)，突出數(shù)學(xué)思想

（1）回顧本節(jié)課的研究歷程，我們都學(xué)到了哪些知識？

（2）推導(dǎo)棱柱、棱錐、棱臺體積公式的過程中蘊含了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

師生活動：回顧本節(jié)課的研究歷程，體會公式推導(dǎo)過程中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法：①轉(zhuǎn)化思想. 通過祖暅原理，把棱柱的體積轉(zhuǎn)化為長方體的體積；通過“分割”方法，把三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱柱的體積；通過“補形”方法，把棱臺的體積轉(zhuǎn)化為棱錐的體積． ②類比思想. 類比三角形面積公式的推導(dǎo)過程得到三棱錐的體積公式；類比梯形面積公式的推導(dǎo)過程得到棱臺的體積公式． ③由三棱錐的體積公式推導(dǎo)n棱錐的體積公式，用到的是從特殊到一般的思想．

設(shè)計意圖 通過反思小結(jié)，進一步體會棱柱、棱錐、棱臺體積公式推導(dǎo)過程中所蘊含的類比、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)．

結(jié)語

史寧中教授編寫的《數(shù)學(xué)基本思想18講》中指出，類比推理是基于兩個或兩類事物的歸納推理，是通過經(jīng)驗過的東西推斷未曾經(jīng)驗的東西，是從事物的過去和現(xiàn)在推斷事物的未來，是“發(fā)現(xiàn)”知識的推理，這是一種創(chuàng)造性思維模式． 在數(shù)學(xué)教育教學(xué)的過程中，無論是從時間上還是從內(nèi)容上，都應(yīng)當(dāng)給予足夠的重視，應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)的過程中，讓學(xué)生感悟這種推理模式的“自然性”，讓學(xué)生逐漸積累“正?！彼季S的經(jīng)驗，不僅要學(xué)會“分析和解決”問題，也要學(xué)會“發(fā)現(xiàn)和提出”問題［1］．

類比方法本身有其獨特的魅力，因為在推理的過程中，可以借助類比使得思維在兩個或兩類事物中跳躍，這樣就極大地豐富了數(shù)學(xué)推理過程的想象力． 平面幾何和立體幾何在研究對象和方法、構(gòu)成圖形的基本元素等方面是相同或相似的，因此兩者類比是研究它們性質(zhì)的一種非常有效的方法．勤于運用類比推理去探索和研究問題，有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)． 當(dāng)然，在類比的過程中會涉及化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)也會自然得到培養(yǎng)．

參考文獻：

［1］ 史寧中． 數(shù)學(xué)基本思想18講［M］． 北京：北京師范大學(xué)出版社，2017．