基于發(fā)展空間觀念的幾何教學(xué)思考

陳榮良

【摘 要】小學(xué)階段的幾何教學(xué)承擔(dān)著發(fā)展學(xué)生空間觀念和幾何直觀的責(zé)任，需要執(zhí)教者明晰結(jié)構(gòu)與本質(zhì)，豐富前備與經(jīng)驗(yàn)，善于以想象與推理，促進(jìn)反思與總結(jié)，加強(qiáng)思考與操作，指導(dǎo)應(yīng)用與探究，實(shí)現(xiàn)發(fā)展必備數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】空間觀念 推理 實(shí)踐 探究 關(guān)聯(lián)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）的頒布開啟教育改革的新篇章，其中規(guī)定的基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)具有非常強(qiáng)的實(shí)踐性意義。目前，依據(jù)課表中的素養(yǎng)培育所進(jìn)行的課堂教學(xué)存在東施效顰、有形無神的問題。究其原因有三：一是對(duì)知識(shí)本質(zhì)與結(jié)構(gòu)的不理解，二是無法掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑與心理，三是對(duì)教學(xué)方法與素養(yǎng)提升無法建立聯(lián)系。筆者認(rèn)為，以素養(yǎng)的培養(yǎng)為核心，以知識(shí)結(jié)構(gòu)的處理為重點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)力，使學(xué)生經(jīng)歷思考和挑戰(zhàn)，提高學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

在教學(xué)“長(zhǎng)方體與正方體的表面積”這節(jié)課時(shí)，有教師直接給出公式，然后引導(dǎo)學(xué)生代入求值，練習(xí)和測(cè)試的結(jié)果居然不差。但如果給予具有生活元素或有操作性情境的習(xí)題，以及較為開放或具有探究性的習(xí)題，學(xué)生的正確率則非常低，說明直接套用公式的教學(xué)是低效的，是淺嘗輒止的。筆者認(rèn)為這些教師未曾引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)探究、提出問題、建立聯(lián)系及個(gè)性化表達(dá)的過程，導(dǎo)致對(duì)概念的本質(zhì)理解不到位，空間觀念的數(shù)學(xué)素養(yǎng)無法得到提升，學(xué)習(xí)力也無法得到培養(yǎng)，無法促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展。

一、溝通經(jīng)驗(yàn)，關(guān)聯(lián)前備知識(shí)

前備知識(shí)指在學(xué)習(xí)新知識(shí)前應(yīng)掌握的與新知識(shí)有關(guān)的內(nèi)容儲(chǔ)備。如學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的表面積，要先掌握長(zhǎng)方體、正方體的特征以及長(zhǎng)方形、正方形的面積公式。從知識(shí)的難易層面看并不難，但本節(jié)課的內(nèi)容有個(gè)極其重要的隱藏任務(wù)——建立平面與空間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。針對(duì)長(zhǎng)方體和正方體的平面展開圖，建立展開前后之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和等量關(guān)系，是教師在課程教學(xué)中應(yīng)給予重點(diǎn)關(guān)注的。如果沒有足夠的經(jīng)歷、體驗(yàn)、思考與想象，只靠課堂上的探究與小組合作是絕對(duì)不夠的。因此筆者制作課前學(xué)習(xí)任務(wù)單，希望能豐富學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的觸感與視感，喚起舊知識(shí)的認(rèn)知，并設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)游戲或?qū)嵺`類任務(wù)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。課前預(yù)學(xué)單如下：

1.想一想如果其面積用邊長(zhǎng)1 cm的正方形分別對(duì)邊長(zhǎng)為3 cm的正方形和長(zhǎng)為5米、寬為3米的長(zhǎng)方形進(jìn)行密鋪，各需要多少個(gè)？

2.如圖1由多個(gè)棱長(zhǎng)為1 cm的正方體堆成的立體圖形，從正面，左面以及上面所能看到的圖形的面積各是多少？

3.一張A4大小的硬卡紙，畫出6個(gè)長(zhǎng)方形，剪下來，標(biāo)出“上”“下”“前”“后”“左”“右”，用透明膠粘成一個(gè)長(zhǎng)方體。引導(dǎo)學(xué)生觀察組成長(zhǎng)方體的幾個(gè)長(zhǎng)方形之間的長(zhǎng)與寬各是什么關(guān)系。教師可以事先錄制視頻，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐操作。

本預(yù)學(xué)單關(guān)聯(lián)學(xué)生的前備知識(shí)，豐富經(jīng)驗(yàn)積累，突出面積概念的本質(zhì)，通過實(shí)踐操作發(fā)展學(xué)生的空間觀念，拉長(zhǎng)體驗(yàn)時(shí)間，降低學(xué)習(xí)難度。

二、完善認(rèn)知，重視關(guān)鍵聯(lián)系

在新授課的環(huán)節(jié)過程中，傳統(tǒng)的課程設(shè)計(jì)忽視了立體圖形與平面展開圖之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，直接把長(zhǎng)方體的表面積與長(zhǎng)、寬、高直接進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而推導(dǎo)出長(zhǎng)方體的表面積公式。學(xué)生沒有經(jīng)歷觀察、比較、想象與推理的過程，導(dǎo)致對(duì)學(xué)生的空間觀念的發(fā)展是有限的。因此，筆者在學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)時(shí)，不再突出公式的推導(dǎo)，而是重視平面與立體之間的關(guān)系，表面積與度量、表面積與生活之間的聯(lián)系，從而設(shè)計(jì)了以下的兩個(gè)任務(wù)：（1）把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5 cm、4 cm、3 cm的長(zhǎng)方體展開，請(qǐng)標(biāo)出展開圖中對(duì)應(yīng)的每條邊的數(shù)據(jù)。想一想你會(huì)怎么計(jì)算該長(zhǎng)方體的表面積？至少要求幾個(gè)面的面積？（2）根據(jù)長(zhǎng)方體的展開圖以及每條邊的數(shù)據(jù)，分析長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，求長(zhǎng)方體的表面積。

通過自主學(xué)習(xí)、小組交流、匯報(bào)答疑，產(chǎn)生思維的碰撞，完善學(xué)生的認(rèn)知。關(guān)聯(lián)立體與平面展開圖之間的關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生推理出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，學(xué)生經(jīng)歷了想象、對(duì)比、分析、交流與等量關(guān)系的生成，很好地發(fā)展空間觀念，感悟到立體圖形的表面積的探究一般方法是要轉(zhuǎn)化為平面圖形。

由此可見學(xué)生的思維是成長(zhǎng)的，在對(duì)長(zhǎng)方體充分認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步地把握定性的總體特征以及定量的度量特征，突出度量本質(zhì)屬性：運(yùn)動(dòng)不變性、標(biāo)準(zhǔn)疊合性、有限可加性、可公度性。

三、巧設(shè)練習(xí)，培養(yǎng)高階思維

數(shù)學(xué)高階思維是指發(fā)生在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的較高認(rèn)知，在教學(xué)目標(biāo)中通常表現(xiàn)為分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。教師應(yīng)充分探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，以及核心素養(yǎng)下所蘊(yùn)含的高階思維，其中包括加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀能力、發(fā)散思維一題多解、強(qiáng)化分類討論等。練習(xí)設(shè)計(jì)必須把握對(duì)知識(shí)本質(zhì)的再思考，對(duì)活動(dòng)、方法的再關(guān)聯(lián)，對(duì)生活應(yīng)用價(jià)值的再認(rèn)知，突出知識(shí)、方法、活動(dòng)與思想四個(gè)層面的充分學(xué)習(xí)。

1.善用想象，促進(jìn)等量關(guān)系的建立。

如圖2，一個(gè)由實(shí)心正方體和長(zhǎng)方體組合而成的塑料零部件，正方體的棱長(zhǎng)為16 cm，上面長(zhǎng)方體的前、后、左、右四個(gè)面的面積總和為50 cm2。根據(jù)這些信息，你認(rèn)為能求出這個(gè)塑料零部件的表面積嗎？若不能，請(qǐng)寫明理由；若能，請(qǐng)列出算式（不必計(jì)算）。

在有限的條件下求組合立體圖形的表面積，學(xué)生首先要明白表面積由哪些部分組成。通過觀察可知，小長(zhǎng)方體上面的面積等于被正方體掩蓋的那部分面積，引導(dǎo)學(xué)生想象，把這個(gè)面進(jìn)行平移，即可得到正方體完整的表面積，從而建立等量關(guān)系，即立體圖形的表面積=正方體的表面積+長(zhǎng)方體的側(cè)面面積。

2.善用說理，在分析比較中深化知識(shí)的理解。

把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是10 cm、8 cm和6 cm的實(shí)心長(zhǎng)方體木塊，挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為2 cm的小正方體，求這個(gè)立體的圖形表面積會(huì)產(chǎn)生變化嗎？請(qǐng)說出你的理由。

在有層次性的操作過程中，促進(jìn)學(xué)生分類思考，在不同位置挖去小正方體后的立體圖形的表面積與原長(zhǎng)方體的表面積的關(guān)系，使其自然產(chǎn)生轉(zhuǎn)化。引導(dǎo)學(xué)生先補(bǔ)足成原長(zhǎng)方體的表面積，再思考剩下的小正方形面還有幾個(gè)。

3.善于實(shí)踐，促進(jìn)數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展。

用一張長(zhǎng)12 cm、寬8 cm的長(zhǎng)方形紙，圍折成一個(gè)長(zhǎng)方體空心紙柱（紙面不重疊），有多少種圍法？試著折一折、圍一圍、畫一畫，并想一想：加上兩個(gè)底面，怎么圍使表面積最大？

教師可引導(dǎo)學(xué)生操作，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)因?yàn)殚L(zhǎng)方形紙的面積沒有變化，圍成的長(zhǎng)方體側(cè)面的形狀雖有變化，但其前、后、左、右的面積之和也不會(huì)變，能影響只有其上下兩個(gè)面的面積。

因此，在實(shí)踐過程中，教師引領(lǐng)學(xué)生加強(qiáng)知識(shí)、方法、活動(dòng)與思想的關(guān)聯(lián)，更能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展。由此啟發(fā)學(xué)生的思維，在活動(dòng)中感悟方法，以舊法探新知，思考其內(nèi)部關(guān)聯(lián)，并提升創(chuàng)造力。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》突出了三維圖形與二維圖形的互相轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要方式。此外，《課程標(biāo)準(zhǔn)》還增加了“表達(dá)”“感知”等詞語，反映出空間觀念的發(fā)展離不開學(xué)生的操作，特別是在操作過程中的感知、想象與表達(dá)。因此，教師引領(lǐng)學(xué)生在觀察與操作過程中建立空間觀念，在推理與想象的過程中發(fā)展空間觀念則顯得尤為重要。

（作者單位：福建省閩侯縣教師進(jìn)修學(xué)校 本專輯責(zé)任編輯：宋曉穎）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把學(xué)科素養(yǎng)作為主線貫穿始末，還對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的11個(gè)主要表現(xiàn)做了準(zhǔn)確的界定。一直以來，小學(xué)數(shù)學(xué)教師都把學(xué)科素養(yǎng)作為日常教學(xué)中的重要課題進(jìn)行探究。本專輯的兩篇文章也對(duì)此有所探究，期望能為一線教師帶來一些啟發(fā)。