例析求分式值的幾種常用方法

甘肅省白銀市白銀區(qū)武川新村學(xué)校

王花香

分式的計(jì)算是“認(rèn)識(shí)分式”這一章中的重點(diǎn)，而求分式的值是分式的計(jì)算中的重點(diǎn).由此可見，掌握求分式的值的方法，對(duì)提高學(xué)生本章知識(shí)點(diǎn)的掌握程度和應(yīng)用能力具有積極意義.所以，本文中在舉例分析的基礎(chǔ)上，利用舉一反三或變式等方法，呈現(xiàn)求分式的值的幾種常用方法，以期幫助一線教師不斷提高課堂教學(xué)效率.

通過(guò)對(duì)近幾年各地中考數(shù)學(xué)試卷的分類整理發(fā)現(xiàn)，求分式的值多以解答題形式出現(xiàn)，在某些省市區(qū)的試卷中也會(huì)以選擇、填空題的形式出現(xiàn).下面，筆者采用例題分析的方式展現(xiàn)求分式的值的幾種方法.

1 參數(shù)法

參數(shù)法是解決求分式的值這類問(wèn)題時(shí)最常用的方法，掌握這種方法，也就能解決大部分求分式的值的問(wèn)題[1].

分析：這道題中的條件以等比的形式出現(xiàn)，那么可以假設(shè)該比的比值為k，把待求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的代數(shù)式的值.

x=3k，y=4k，z=6k.

方法總結(jié)：參數(shù)法指的是在解題過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量(參數(shù))，以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問(wèn)題[2].此外，運(yùn)用參數(shù)法需注意兩個(gè)問(wèn)題：

第一，所設(shè)參數(shù)應(yīng)保證不為零；

第二，不要受到引入的參數(shù)的干擾，因?yàn)樽罱K該參數(shù)會(huì)消去.

在例1中，通過(guò)引入?yún)?shù)k，將x，y，z均用含k的代數(shù)式表示出來(lái)，最后消去參數(shù)k,求得結(jié)果.

y+z=kx，

①

x+z=ky，

②

x+y=kz.

③

于是，由①+②+③，可得

y+z+x+z+x+y=kx+ky+kz，

2(x+y+z)=k(x+y+z).

因?yàn)閤+y+z≠0，所以k=2.

2 兩頭湊法

所謂兩頭湊法，其實(shí)就是觀察條件的特點(diǎn)思考所求分式需要怎樣的信息，或觀察所求分式的特點(diǎn)思考需要怎樣的條件[3].

④

將x=3y代入④,得

解法2：由于xy≠0，則根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分式的分子、分母同時(shí)除以xy，得

所以，由⑤得

方法總結(jié)：解決分式的求值問(wèn)題，最有效的方法是將題目已知條件和所求問(wèn)題一同考慮.根據(jù)這一思路，首先要考慮條件能為所求問(wèn)題提供什么有價(jià)值的信息，然后考慮所求問(wèn)題需要條件能提供什么有效信息，這就是兩頭湊法[4].

需注意的是，在變形已知條件時(shí)，應(yīng)該使變形所得到的式子在所求的式子中可用，如解法1；或者，變形所求的式子時(shí)，應(yīng)該與已知條件有明顯的、直接的聯(lián)系，如解法2.

3 整體法

整體法和“認(rèn)識(shí)分式”這一章中蘊(yùn)含的整體思想有關(guān)聯(lián).

x+y=5xy.

⑥

所以將⑥代入⑦中，得

解法3：由題意可知x≠0，y≠0，所以xy≠0.

將分式的分子、分母同時(shí)除以xy，可得

總而言之，求分式的值的方法非常多.本文中所例舉的參數(shù)法、兩頭湊法和整體法是幾種比較常用的方法.這幾種方法靈活性較強(qiáng)，一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)抓住機(jī)會(huì)構(gòu)建高效課堂，讓學(xué)生在這樣的課堂中得到較充分的訓(xùn)練.