一次函數(shù)圖象教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省睢寧縣第二中學(xué)

白文波

“一次函數(shù)”在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)一次函數(shù)的教學(xué)提出了更高的要求，具體來說要求能畫出一次函數(shù)的圖象，并根據(jù)它的圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索自變量x的系數(shù)k在取不同的值時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的變化.基于此，本文中以一次函數(shù)圖象教學(xué)為例，探討初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)，以期為教學(xué)提供助力.

1 情境引入

眾所周知，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，主要說明了以下兩點(diǎn)：第一，滿足y=kx+b(k≠0)的任何一組x，y的值(橫、縱坐標(biāo))對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在這條直線上，這說明了一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的完備性；第二，這條直線上所有點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)(x，y的值)都滿足這個(gè)表達(dá)式，這說明了一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的純粹性.顯而易見，這兩個(gè)方面對(duì)初次接觸函數(shù)的學(xué)生來說，有一定的難度.因此，在部分教材中將一次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)主要設(shè)置為“感知”，規(guī)避難點(diǎn)，以常規(guī)的“列表、描點(diǎn)和連線”三步操作，不斷引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象，但對(duì)為什么滿足y=kx+b(k≠0)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形就是一次函數(shù)的圖象沒作出任何理解性說明.但以“列表、描點(diǎn)、連線”的方式得出的圖象就說其為一次函數(shù)的圖象是解釋不通的，會(huì)使學(xué)生感到突兀，最終導(dǎo)致不能很好地理解一次函數(shù)的知識(shí)，從而影響后續(xù)其他知識(shí)的學(xué)習(xí)；即便通過強(qiáng)化練習(xí)能讓學(xué)生從感官上接受一次函數(shù)的圖象是直線，但學(xué)生在理解上仍然存在著一定的障礙.

那么，怎樣才能引導(dǎo)學(xué)生正確理解一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線呢？首先，要從實(shí)際情境引入，從動(dòng)態(tài)的直線著手，找到理解一次函數(shù)圖象就是直線的切入點(diǎn).一般來說，點(diǎn)動(dòng)成線，但點(diǎn)動(dòng)未必成直線，只有點(diǎn)沿著某一個(gè)固定方向或其反方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡才是直線.因此，想要說明一次函數(shù)的圖象是直線，亦可以說一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線.其次，從函數(shù)圖象的傾斜程度入手進(jìn)行深度理解.實(shí)際上，想要說明點(diǎn)動(dòng)態(tài)生成的直線方向是不變的，可從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡入手，說明其與一條特定的直線平行，即一次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)與其經(jīng)過的定點(diǎn)的連線和一條特定直線平行.根據(jù)直線傾斜角的定義可知，一次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)和其與x軸(橫軸)交點(diǎn)的連線，傾斜角相同，因此可以說明一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)上的點(diǎn)確實(shí)是在一條直線上，也充分體現(xiàn)了一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中，k的值決定了直線的傾斜程度，b的值確定了直線和縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo).為了降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，教師可以不介紹傾斜角的相關(guān)概念.下面以引入實(shí)際情境的問題為例，更好地幫助學(xué)生理解一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線.

問題1播放一段視頻，在視頻中顧客頭頂系的蝴蝶結(jié)的運(yùn)動(dòng)路線是怎樣的？

問題2哪位同學(xué)能說明一下為什么蝴蝶結(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線？

上述兩個(gè)問題主要是讓學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出點(diǎn)動(dòng)成線的思維，理解一個(gè)點(diǎn)必須要沿著一個(gè)指定的方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡才能是一條直線，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2 完善知識(shí)體系

復(fù)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，教師要積極尋找知識(shí)間的聯(lián)系，使學(xué)生完善知識(shí)，并通過遞進(jìn)型的問題串將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一起，促使學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).在選擇習(xí)題方面，教師要重點(diǎn)關(guān)注問題之間的關(guān)聯(lián)性，引導(dǎo)學(xué)生打破知識(shí)壁壘，尋找不同的解題方案.下面以三個(gè)習(xí)題為例，說明完善知識(shí)體系的重要性.

圖1

圖2

(1)求B′的坐標(biāo)；

(2)求直線AM的解析式.

圖3

通過以上三道例題，將課程的講解推向高潮，把學(xué)生的思維引領(lǐng)到更深的層次.通過旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱三大變換，引導(dǎo)學(xué)生從不同的層面解決實(shí)際問題，尋找變換中的不變量，使學(xué)生最終領(lǐng)悟到圖形的變換本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

3 開展實(shí)際應(yīng)用

數(shù)學(xué)教師的主要職責(zé)就是盡可能開拓學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.學(xué)生是在動(dòng)態(tài)環(huán)境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也能在動(dòng)態(tài)中生成數(shù)學(xué)思維.通過呈現(xiàn)真實(shí)的情況，提出思考價(jià)值高的問題，進(jìn)一步厘清學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生在掌握基本技能和基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還能增長(zhǎng)解決實(shí)際問題的能力.

在應(yīng)用中，教師可在學(xué)生看圖、思圖、議圖的過程中，對(duì)學(xué)生提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)散思維.

圖4

例4一列快車從甲地開往乙地，一列慢車從乙地開向甲地，兩輛車同時(shí)出發(fā)，假設(shè)慢車的行駛時(shí)間為xh；兩輛車之間的距離為ykm，圖4的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象探究以下問題：

(1)甲乙兩地之間的距離；

(2)解釋途中B,C,D點(diǎn)的實(shí)際含義；

(3)還能從圖中得到哪些信息？

例4通過將圖形作為背景，探究了以一次函數(shù)為基礎(chǔ)背景下的實(shí)際行程問題.通過看圖、思圖、議圖，反思題目的解決辦法，促使學(xué)生明白“數(shù)形結(jié)合”思想、方程思想等.最后教師再引導(dǎo)學(xué)生大膽提出問題，不僅能提高學(xué)生將實(shí)際問題變換成數(shù)學(xué)問題的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新意識(shí)和探究能力.

4 教學(xué)反思

一次函數(shù)是學(xué)生在初中階段初次接觸的函數(shù)，因此，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和積累是十分重要的.把學(xué)習(xí)一次函數(shù)積累的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到學(xué)習(xí)其他函數(shù)的過程中，是一種很重要的能力.主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

4.1 建立全新的研究思路

當(dāng)學(xué)習(xí)一種全新的函數(shù)時(shí)，研究函數(shù)性質(zhì)起關(guān)鍵性的作用，函數(shù)圖象則是一種研究函數(shù)性質(zhì)的工具.從圖象的特性著手探索函數(shù)的本質(zhì)，真正體會(huì)到函數(shù)的實(shí)際變化規(guī)律.例如，學(xué)生在以后學(xué)習(xí)正比例函數(shù)時(shí)要關(guān)注函數(shù)圖象的大致變化趨勢(shì)，根據(jù)觀察能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增減性；在函數(shù)變化趨勢(shì)相同的情況下，又觀察發(fā)現(xiàn)圖象的陡和緩能影響函數(shù)值的變化速度；等等.本質(zhì)上就是充分研究函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)表達(dá)式中自變量前面的系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系.雖然說函數(shù)種類不同，但所有的函數(shù)題目考查方式都是差不多的，用推衍出的思路研究類似的函數(shù)對(duì)象是一種很重要的能力.

4.2 “數(shù)形結(jié)合”思想

“數(shù)形結(jié)合”思想是研究函數(shù)最重要的思想，在繪制函數(shù)圖象的過程中要時(shí)刻分析解析式.例如在觀察解析式y(tǒng)=2x時(shí)，要根據(jù)y隨x的變化對(duì)函數(shù)整體的趨勢(shì)有大致了解.而在利用函數(shù)圖象總結(jié)相關(guān)性質(zhì)時(shí)，要注重函數(shù)基本特征的代數(shù)表達(dá)，正確引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律.以上操作就是“數(shù)”和“形”之間的相互轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生自行體驗(yàn)從抽象到具體，從特殊到一般的思想.

總之，讓學(xué)生更好地理解一次函數(shù)是一次函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)、同時(shí)也是難點(diǎn).不能因?yàn)樗请y點(diǎn)，就回避問題，而要像本文所設(shè)計(jì)的一樣，在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，結(jié)合相關(guān)實(shí)際情況，因材施教，讓學(xué)生自主形成發(fā)散思維，才是應(yīng)有的教育態(tài)度.