重視概念生長過程 搭建單元知識框架
——“認(rèn)識分式”(第一課時)教學(xué)設(shè)計與思考

廣東省深圳市龍華區(qū)博雅實驗學(xué)校

管志剛

“數(shù)學(xué)概念是產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是提煉數(shù)學(xué)思想方法的平臺，是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的載體，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)核.”[1]數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程，為培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界提供了得天獨厚的平臺.所以，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要重視概念的生長過程，凸顯概念的必要性、必然性和合理性.本文是筆者執(zhí)教北師大版“認(rèn)識分式”第一課時的教學(xué)設(shè)計，以及對概念教學(xué)、單元統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)的幾點思考，與大家探討.

1 教學(xué)內(nèi)容分析

分式和整式都屬于代數(shù)式，它們之間有著密不可分的聯(lián)系和本質(zhì)上的區(qū)別.二者定義的方式是否一樣，學(xué)習(xí)的思路是否一致，性質(zhì)和運算方法是否相同，等等，這些都等待著學(xué)生去學(xué)習(xí)和探索.生長數(shù)學(xué)教學(xué)主張認(rèn)為，分式概念的主要屬性有：(1)分式表示除法運算(也可以表示成帶有分?jǐn)?shù)線的形式)；(2)被除數(shù)和除數(shù)都是整式(分子和分母都是整式)；(3)除數(shù)中含有字母(分母中有字母).因此，本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵就是要通過問題情境，讓學(xué)生抽象出分式的數(shù)學(xué)屬性，并在此過程中，讓學(xué)生感受概念的生長過程、感悟建立此概念的必要性和必然性.

2 教學(xué)活動設(shè)計

環(huán)節(jié)一：導(dǎo)入新課

問題1已知長方形的面積為7 cm2，寬為3 cm,則長方形的長為cm；若寬改為bcm,則長方形的長為cm.

問題2已知長方形的面積為acm2，寬為bcm,則長方形的長為cm；若寬增加2 cm,則長方形的長為cm.

圖1

問題3如圖1，矩形被一直線分成面積為pcm2和qcm2的兩部分，對應(yīng)的邊長分別為xcm和ycm，則矩形的寬為cm.

環(huán)節(jié)二：概念生成

問題5你們能否再寫一些滿足這些特點的代數(shù)式呢？

問題7這樣的例子有無數(shù)多個，我們該怎么刻畫這些特點？

問題8像這樣的式子我們稱為分式，那你現(xiàn)在能給分式下個定義嗎？

環(huán)節(jié)三：概念辨析

問題9下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？

設(shè)計意圖：問題9是第五個環(huán)節(jié)——“再辨析”.“再辨析”是根據(jù)概念的內(nèi)涵與外延，幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)清概念的本質(zhì)，以便學(xué)生應(yīng)用概念解決問題. 在這個環(huán)節(jié)中，教師可設(shè)置一些稍有難度、迷惑性較強的代數(shù)式讓學(xué)生辨別.

環(huán)節(jié)四：拓展探究

問題11在問題10中可以發(fā)現(xiàn)，分式的值可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù).分式的值可以為0嗎？

設(shè)計意圖：問題10旨在讓學(xué)生了解分式，它的值是隨著字母的取值變化而變化；問題11旨在讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)分式值為0的條件；問題12旨在引導(dǎo)學(xué)生自主探索分式有意義的條件.之后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)之前僅從形式上定義分式是不完善的，必須加上分母不為0這個條件.因此，我們用“樣子”+“條件”的方式定義分式，二者缺一不可.

環(huán)節(jié)五：針對訓(xùn)練

環(huán)節(jié)六：結(jié)構(gòu)統(tǒng)領(lǐng)

問題13小明和小紅計劃周末去廣州長隆歡樂世界游玩.已知深圳到廣州的距離約為140 km， 小明選擇自駕前往，汽車的平均速度為xkm/h，小紅選擇高鐵出行，高鐵的平均速度是汽車的3倍多10 km/h.小明和小紅同時出發(fā)，小紅比小明提前一小時到達(dá)廣州，求汽車和高鐵的速度分別是多少？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在解決實際問題中抽象出新的模型——分式方程.繼續(xù)求方程的解，則有必要先學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)和四則運算，這樣就能很好地統(tǒng)領(lǐng)整個章節(jié)的知識，搭建知識生長的框架.同時，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生類比整式的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)分式的學(xué)習(xí)套路和整式的學(xué)習(xí)套路一脈相承，加深學(xué)生對于代數(shù)式學(xué)習(xí)的理解.

3 活動設(shè)計的思考

3.1 概念自然生成是概念學(xué)習(xí)的根本所在

本節(jié)課通過“給例子—找屬性—再舉例—下定義—再辨析”五個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的生成過程，感受了建立分式概念的必要性和必然性.具體來說，環(huán)節(jié)一的問題情境闡明了分式“從哪里來”，即分式是描述現(xiàn)實情境的一種重要模型.環(huán)節(jié)二讓學(xué)生去找這些代數(shù)式的共同特點，歸納其共同的數(shù)學(xué)屬性.待學(xué)生有一定的理解之后，環(huán)節(jié)三再次聚焦相同屬性，讓學(xué)生舉出一些具有這些屬性的例子.那些在“找屬性”環(huán)節(jié)中沒有任何發(fā)現(xiàn)的同學(xué)往往舉不出新的例子，或者容易寫出錯誤的例子，這些都是對屬性理解不到位和不深刻的體現(xiàn).厘清分式屬性之后，分式的概念就呼之欲出了，用數(shù)學(xué)語言將發(fā)現(xiàn)的共同屬性表達(dá)出來即可.教師可以先讓學(xué)生大致地說一說，再細(xì)致地優(yōu)化為教材中的語言.分式相對于整式而言有一個特殊的地方，就是分式在字母賦值的時候可能會導(dǎo)致分式無意義，因此在分式的概念中必須補充這一點，這是概念“精致”的過程.因此，筆者認(rèn)為概念教學(xué)一般要經(jīng)過大致地描述、細(xì)致地優(yōu)化、精致地補充三個過程.

3.2 巧設(shè)問題情境是知識構(gòu)建的重要途徑

教學(xué)是提出問題、解決問題的持續(xù)不斷的過程，提問是課堂教學(xué)的主要形式，也是師生交流的重要途徑.教師提問，學(xué)生作答，這看似平常的教學(xué)環(huán)節(jié)卻關(guān)系到課堂教學(xué)是否有效、實效、高效.數(shù)學(xué)課堂上，高質(zhì)量的提問是學(xué)生參與課堂、理解數(shù)學(xué)概念、參悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要途徑.

3.3 搭建知識框架是點睛之筆

本節(jié)課是章節(jié)的起始課，在一定程度上起著承前啟后、開山引路的作用.教師在教學(xué)時要對整章內(nèi)容做一個提綱挈領(lǐng)式的“預(yù)覽”，搭建知識框架，使學(xué)生在開展后續(xù)的學(xué)習(xí)之前對整章內(nèi)容有一個全局認(rèn)識，起到統(tǒng)領(lǐng)全章的作用,避免“只見樹木，不見森林”[2].所以本節(jié)課在利用分式解決實際問題的環(huán)節(jié)中，學(xué)生抽象出一個新模型——分式方程.而學(xué)生在求解分式方程的過程中，會意識到要先學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)和運算才能解分式方程.通過這樣的設(shè)計，學(xué)生就能了解本章所有知識的建構(gòu)過程，整體把握知識間的邏輯結(jié)構(gòu).同時，教師再加以引導(dǎo)，將 “現(xiàn)實情境—定義—性質(zhì)—運算—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)模式和有理數(shù)、整式的學(xué)習(xí)模式統(tǒng)一起來.這樣的引導(dǎo)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的提升的和探究精神的養(yǎng)成等都有一定的價值.