祖暅原理應(yīng)用于球、牟合方蓋體積教學(xué)中的課堂分析

唐亞平

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“祖暅原理與柱體、錐體的體積”是“探究與發(fā)現(xiàn)”部分的內(nèi)容。本節(jié)課通過介紹數(shù)學(xué)家們的探究過程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程；通過類比球的體積公式的證明推理，引導(dǎo)學(xué)生自主探究牟合方蓋的體積，掌握將復(fù)雜幾何體體積問題轉(zhuǎn)化成已知幾何體組合體的體積問題的數(shù)學(xué)建模的方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解祖暅原理，學(xué)會(huì)運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、球的體積公式，并推導(dǎo)出牟合方蓋這一曲面幾何體的體積公式，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力。

2.通過3D動(dòng)畫演示、牟合方蓋的模具展示以及實(shí)驗(yàn)研究等活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)由特殊到一般的類比推理數(shù)學(xué)研究方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)聯(lián)想拓展的數(shù)學(xué)思維能力，了解中國古代數(shù)學(xué)家的偉大成就，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)研究的興趣與熱情。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)球、牟合方蓋的體積公式。

難點(diǎn)：理解利用祖暅原理求解曲面幾何體的體積公式的類比與轉(zhuǎn)化思想。

四、教學(xué)過程

▲環(huán)節(jié)一：數(shù)學(xué)史引入

1.數(shù)學(xué)史故事引入：溯祖暅原理之源

中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時(shí)發(fā)現(xiàn)其中球的體積公式是錯(cuò)誤的，于是他構(gòu)建了一個(gè)幾何體“牟合方蓋”，設(shè)想通過求解出牟合方蓋的體積，進(jìn)一步得到球的準(zhǔn)確公式，可是劉徽終其一生都沒有求解出牟合方蓋與球的體積。一直到200多年之后，祖氏父子（祖沖之與祖暅）通過“祖暅原理”解決了這一難題。那么，什么是祖暅原理呢？

2.通過實(shí)驗(yàn)得出祖暅原理：明祖暅原理之意

師生活動(dòng)：學(xué)生通過推書實(shí)驗(yàn)回答教師提出的問題。

問題1：把一摞垂直放置于桌面上的紙推得傾斜一些，或者推得更加傾斜，三種狀態(tài)下，這一摞紙的體積發(fā)生改變了嗎？

學(xué)生回答：沒有發(fā)生改變。

問題2：這三種狀態(tài)下每張紙的面積發(fā)生改變了嗎？這摞紙的高度發(fā)生改變了嗎？你可以根據(jù)這一現(xiàn)象總結(jié)出什么規(guī)律？

學(xué)生回答：底面積相同、高相同，則體積相同。

師生互動(dòng)得出祖暅原理：緣冪勢既同，則積不容異。（冪：水平截面的面積；勢：幾何體的高度。）

總結(jié)得出祖暅原理的適用條件：（1）高相等（h1=h2）；（2）相同高度的水平截面積總相等（S1=S2恒成立）。則兩個(gè)幾何體的體積相等（V1=V2）。

問題3：根據(jù)祖暅原理，如何求解這一摞紙的體積？根據(jù)祖暅原理，當(dāng)求解不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，我們可以怎么做？

學(xué)生回答：將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的幾何體去求解。

3.練習(xí)：辨析祖暅原理之義

題目：一個(gè)上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為2的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為___________。

我們了解了祖暅原理之后，想一想是否可以運(yùn)用它解決一些幾何體體積的證明問題。

▲環(huán)節(jié)二：新知應(yīng)用

問題1：已知長方體的體積公式為V=Sh，那么斜棱柱、圓柱等任意柱體的體積公式又是什么呢？可否運(yùn)用祖暅原理進(jìn)行論證？

師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考后得出任意的柱體都能找到與之同底等高的長方體，由于它們的橫截面積處處相等，高也相等，則所有柱體的體積公式都為V=Sh。

問題2：已知三棱錐的體積V=Sh，那么任意棱錐和圓錐的體積公式是什么？你能用祖暅原理推導(dǎo)任意錐體的體積公式嗎？

師生活動(dòng)：根據(jù)祖暅原理，任何的棱錐、圓錐都可以用與它們等底同高的三棱錐來等價(jià)轉(zhuǎn)化，所以所有錐體的體積公式都是V=■Sh。

任意錐體與柱體可根據(jù)祖暅原理等價(jià)找到特殊錐體與柱體，讓學(xué)生理解從特殊到一般、從已知到未知的數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)證明球與牟合方蓋的體積公式奠定基礎(chǔ)。

之前球的體積的證明我們用的分割法，能否用祖暅原理探究出球的體積公式呢？

▲環(huán)節(jié)三：實(shí)驗(yàn)證明（探祖暅原理之用）

1.設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

問題1：球的截面是一些什么圖形？這些截面是否具有對(duì)稱性？

學(xué)會(huì)回答：圓。這些截面圓上下對(duì)稱。

問題2：根據(jù)對(duì)稱性，我們可以先求半球的體積，去找與半球同底等高的幾何體，有哪些呢？

學(xué)生回答：圓柱、圓錐。

問題3：圓錐的體積小于半球的體積，圓柱的體積又大于半球的體積，它們的體積之間是否具有什么聯(lián)系呢？

問題4：同學(xué)們能不能設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證我們的猜想？你們需要哪些實(shí)驗(yàn)用具？

學(xué)生回答：要同底等高的半球、圓錐、圓柱，最好是空心的。

師生活動(dòng)：教師提供實(shí)驗(yàn)用具。學(xué)生小組派出兩名代表上講臺(tái)上做實(shí)驗(yàn)，將紅色液體導(dǎo)入圓錐和半球，再一同導(dǎo)入圓柱中，發(fā)現(xiàn)圓柱的水面高度恰好與半球等高，從而證明猜想。

利用設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生利用圓柱與圓錐構(gòu)成組合體去求解半球的體積。實(shí)驗(yàn)很直觀地體現(xiàn)出三者體積之間的關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生討論與探究數(shù)學(xué)問題的熱情。

2.運(yùn)用祖暅原理證明半球的體積：析祖暅原理之理

實(shí)驗(yàn)可能存在誤差，你能用祖暅原理證明我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)論是正確的嗎？三個(gè)幾何體滿足高相等，所以要看它們的截面積之間存在什么聯(lián)系。

問題1：運(yùn)用祖暅原理的思想，先做__________的截面。

問題2：圓柱與圓錐要如何構(gòu)成組合體，才能使得在高為h處的截面的面積與半球的截面積相等？（見圖1）

根據(jù)祖暅原理，滿足等高，且在各位置的截面積相等，所以體積相等。

等價(jià)轉(zhuǎn)化：半球的體積=圓柱體積-圓錐體積，所以得出球的體積公式：V= R3

在最初引入時(shí)，我們介紹了數(shù)學(xué)家劉徽與牟合方蓋的故事，能不能運(yùn)用祖暅原理去探究牟合方蓋的體積公式，解決劉徽的未解之謎呢？

▲環(huán)節(jié)四：拓展探究（求牟合方蓋的體積）

1.探究幾何體牟合方蓋與其內(nèi)切球的性質(zhì)

問題1：平面截牟合方蓋及其內(nèi)切球會(huì)形成什么圖形？（見圖2）

師生活動(dòng)：學(xué)生通過觀察老師手中展示的牟合方蓋3D模型，思考問題，并根據(jù)空間想象得出問題的答案。教師播放視頻驗(yàn)證學(xué)生的回答。

問題2：它們的截面積之比是多少？

問題3：猜測牟合方蓋與其內(nèi)切球的體積之比是多少。

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)截面積的比值求解牟合方蓋的體積公式。

運(yùn)用祖暅原理，我們發(fā)現(xiàn)它們的體積之比等于截面積之比。

r為其內(nèi)切球半徑）

2.類比推理：求證牟合方蓋的體積公式

問題1：模仿球的體積推導(dǎo)過程，可將牟合方蓋___________。

問題2：找出與半個(gè)牟合方蓋等高同底的幾何體：________________________。

問題3：類比半球的體積，猜想同底等高的正四棱柱、正四棱錐、半個(gè)牟合方蓋的體積間有什么關(guān)系。

類比于球的體積公式的推導(dǎo)，推導(dǎo)牟合方蓋的體積公式，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。相比于計(jì)算，該問題的難點(diǎn)是運(yùn)用祖暅原理去找已知的幾何體與半個(gè)牟合方蓋的體積相等，而明確該組合體是如何形成的是關(guān)鍵。

問題4：請(qǐng)大家運(yùn)用祖暅原理探討我們構(gòu)造的組合體是什么圖形，并求解出牟合方蓋的體積。（見圖3）

師生活動(dòng)：小組討論組合體的構(gòu)成形式，并計(jì)算高為h時(shí)的三個(gè)幾何體截面積之間的關(guān)系，小組代表上臺(tái)展示小組討論的結(jié)果，并用數(shù)據(jù)嚴(yán)格計(jì)算得出V半牟=V正四棱柱，從而得出V牟= r3。學(xué)生總結(jié)運(yùn)用祖暅原理解決未知幾何體體積的關(guān)鍵步驟是什么，從中得到什么啟發(fā)?？偨Y(jié)得出祖暅原理的衍生應(yīng)用：當(dāng)高相等時(shí)，可由截面積之比得出體積之比。

▲環(huán)節(jié)五：歸納總結(jié)（凝祖暅原理之髓）

教師總結(jié)：我們運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)出柱體、錐體、球以及牟合方蓋的體積，體會(huì)從已知到未知、從特殊到一般以及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想。祖暅原理的歷史演變過程是數(shù)學(xué)家們不斷做出貢獻(xiàn)的過程。從最初的《九章算術(shù)》到劉徽的牟合方蓋，再到祖氏父子的祖暅原理，通過數(shù)學(xué)家們的不斷努力，球的體積公式被證明。

五、教學(xué)反思

（一）可取之處

1.挖教材

通過對(duì)教材探究與發(fā)現(xiàn)的深度挖掘，發(fā)現(xiàn)教材中數(shù)學(xué)文化的豐富內(nèi)涵，即演繹了球的體積推導(dǎo)的過程，同時(shí)，課本的拓展與延伸內(nèi)容也非常值得教師進(jìn)行拓展性教學(xué)。

2.探概念

運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)幾何模型探究祖暅原理的應(yīng)用，突出從已知到未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，可以為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

3.育素養(yǎng)

通過數(shù)學(xué)3D模型培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，通過問題探索引發(fā)學(xué)生思考，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，增強(qiáng)學(xué)生的理解；通過對(duì)球與牟合方蓋體積推理的探究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）改進(jìn)之處

1.在對(duì)牟合方蓋體積計(jì)算的討論展示后，可以讓學(xué)生發(fā)表不同見解，也可發(fā)布不同的數(shù)學(xué)模型，多讓學(xué)生展示，讓他們碰撞出不同的思維火花，這樣課堂會(huì)更精彩。

2.課堂練習(xí)題的設(shè)置可以有難度區(qū)分——從淺入深，也可有延伸題型，以激發(fā)學(xué)生的探究興趣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（作者單位：柳州鐵一中學(xué)）

編輯：常超波