挖掘定點(diǎn)，優(yōu)化解題*

劉曉靜 戚有建

江蘇省揚(yáng)州教育科學(xué)研究院 (225007) 江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (225009)

在研究與動(dòng)直線有關(guān)的問題時(shí)，有些動(dòng)直線恒過定點(diǎn)，解題時(shí)若能抓住這“點(diǎn)”，從定點(diǎn)入手，把定點(diǎn)作為尋找解題思路的切入點(diǎn)和突破口，往往可以另辟蹊徑，起到事半功倍的效果.下面結(jié)合幾道例題，介紹動(dòng)直線恒過定點(diǎn)在解題中的應(yīng)用.

分析：通法是將直線和橢圓方程聯(lián)列，然后用兩點(diǎn)間距離公式或弦長公式處理.另外，本題也可以從動(dòng)直線恒過定點(diǎn)入手，出奇制勝，輕松解決.

例2 點(diǎn)P(2,1)到動(dòng)直線l:(m+3)x+(1-2m)y+6-5m=0的距離的最大值為.

例3 過原點(diǎn)O作直線l:ax+by=a的垂線，垂足為P，則動(dòng)點(diǎn)P圍成的圖形面積為.

分析：通法是設(shè)垂線OP方程，聯(lián)列方程求出垂足P點(diǎn)坐標(biāo)，然后研究P點(diǎn)軌跡.若從動(dòng)直線恒過定點(diǎn)入手，可減少運(yùn)算量.

分析：通法是將直線和橢圓方程聯(lián)列，然后從方程的角度來研究，即將恒有公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程恒有解.若從動(dòng)直線恒過定點(diǎn)入手，可回避聯(lián)列方程減少運(yùn)算量.

分析：先證明直線MN過定點(diǎn)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)D就在圓上運(yùn)動(dòng).

圖1

分析：先證明直線PQ過定點(diǎn)，然后構(gòu)建關(guān)于S△BPQ-S△APQ的目標(biāo)函數(shù)求最值.

圖2

從以上幾道例題可以看出，解題時(shí)若能充分利用動(dòng)直線過定點(diǎn)這一已知條件，或者挖掘出動(dòng)直線過定點(diǎn)這一隱含條件，往往能抓住問題本質(zhì)，從而優(yōu)化解題思路、簡化解題過程，提高解題效率.