立足本手 巧構(gòu)妙手 釋疑俗手*
——以一道對稱雙變量條件最值問題為例

安愷凱 沈丹丹

江蘇省無錫市東北塘中學(xué) (214101)江蘇省天一中學(xué) (214101)

2022年語文新高考Ⅰ卷以圍棋的三個術(shù)語“本手、妙手、俗手”為作文題目，其中本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法.筆者由此想到，在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)過程中，不也會經(jīng)常遇到的正規(guī)解法、精妙解法、以及貌似合理卻錯誤的解法嗎？筆者便從“本手、俗手、妙手”三個角度分別入手，來探究一道對稱雙變量條件最值問題，現(xiàn)整理如下，以饗讀者.

1 問題呈現(xiàn)

問題1 設(shè)實數(shù)a，b滿足a+b=6，則(a2+4)(b2+4)的最小值為.

這是一道題既簡潔又優(yōu)美的雙變量函數(shù)的條件最值問題，其優(yōu)美感來自于代數(shù)結(jié)構(gòu)中的對稱性，即在條件和結(jié)論中，任意交換兩個變量都不會改變條件和目標(biāo)函數(shù).然后在這道試題簡潔優(yōu)美的外表下，卻隱藏著有一個極具誘惑性的“俗手”，即通過令兩個對稱變量相等來求出最值，文獻(xiàn)[1]稱這種方法為對稱變量法.在一次測試中，不少學(xué)生便把a(bǔ)=b=3代入目標(biāo)函數(shù)求得最小值為169，測試情況反映出對稱變量法這招“俗手”具有明顯的普遍性，也反饋出該類型問題具有一定的深度探究價值.

2 立足本手 風(fēng)光不與四時同

問題2 設(shè)實數(shù)a，b滿足a+b=m(m>0)，則當(dāng)t>0時，f(a,b)=(a2+t)(b2+t)的最小值為，此時實數(shù)a，b的值分別為.

本手1 代入消元

本手2 整體換元

本手3 對稱換元

“本手1”通過代入消元法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為四次函數(shù)；“本手2”通過整體換元法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；“本手3”通過對稱換元法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為四次偶函數(shù).同是減元的解題思路，卻呈現(xiàn)出不同的表現(xiàn)形式，正所謂“風(fēng)光不與四時同”.教師在帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略各種方法不同“風(fēng)光”的同時，也應(yīng)注重引領(lǐng)學(xué)生看透問題本質(zhì)，即三招“本手”都立足于將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，繼而轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，同時題目中的約束條件也隨之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定義域，最終利用相應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性來分析與討論.

基于以上多角度解析，我們得到如下結(jié)論：

3 巧構(gòu)妙手 觀物行成有七易

妙手 以形探數(shù)

圖1

圖2

圖3

“觀物取象”強(qiáng)調(diào)的是數(shù)與形之間的聯(lián)系.從“觀物”到“取象”，旨在培養(yǎng)學(xué)生從觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，到構(gòu)造相應(yīng)幾何模型的關(guān)鍵能力.本題便可根據(jù)題目條件，結(jié)合代數(shù)式的幾何意義，合理抽象，通過數(shù)形結(jié)合，將復(fù)雜的代數(shù)問題有效轉(zhuǎn)化為動態(tài)幾何下的三角形面積的最值來分析與處理.將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象化，以形探數(shù)，思維巧妙，視角特殊，不失為一招“妙手”.

4 釋疑俗手 識得廬山真面目

基于以上“本手”與“妙手”的多角度解析，“俗手”的錯因也得到了多方位的辨析.但“俗手”的成因又由何而來，此類對稱雙變量條件最值問題又源起何處？筆者在“本手3”中汲取到靈感，從四次偶函數(shù)的角度再探此類問題的“廬山正面目”.

圖4

5 結(jié)語

2022年語文新高考Ⅰ卷對“本手、妙手、俗手”有如下闡述：“本手是基礎(chǔ)，妙手是創(chuàng)造.一般來說，對本手理解深刻，才可能出現(xiàn)妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升.”在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)過程中也正是如此，教師首先應(yīng)當(dāng)立足于“本手”，即立足于“四基”，引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，從而形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)；其次應(yīng)注重在解題教學(xué)過程中合理體現(xiàn)幾何直觀與代數(shù)運算之間的相互融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解，從而實現(xiàn)解題教學(xué)由“知識立意”向“能力立意”的轉(zhuǎn)變，以此才能促使學(xué)生在解決具體問題時，從不同角度來巧施“妙手”.同時“俗手”亦有豐富的思維價值，通過對“俗手”的錯因與成因的深度探究，可養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神，也有利于提高學(xué)生的獨立思考能力.