注重“四基”凸顯“四能”，彰顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以幾道2022年平面向量高考題為例

馬洪博

廣東省東莞市第七高級中學(xué) (523503)

平面向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.具體設(shè)計高考命題時，可從幾何角度來設(shè)置，也可從代數(shù)角度來設(shè)置，借助平面向量的相關(guān)概念、公式及其變形、定理性質(zhì)、運算等來創(chuàng)設(shè)情境，綜合相關(guān)知識與數(shù)學(xué)思想方法，考查相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等；平面向量還可設(shè)計運動變化的情境，即運動的點、運動的向量、變化的角等，這樣可將向量與最值、定值問題相關(guān)聯(lián)，利用函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等工具，探究相關(guān)的最值問題.這類問題融基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性于一體，較為全面地考查考生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)等，考查學(xué)生的邏輯思維能力.

1.注重平面向量概念，考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

平面向量中涉及向量、模、夾角、數(shù)量積等眾多概念，借助概念的考查，合理融入數(shù)學(xué)基本知識，是創(chuàng)設(shè)高考數(shù)學(xué)試題中比較常見的一類創(chuàng)新情境.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，確定平面向量的位置關(guān)系并引入平面向量的夾角，結(jié)合平面向量的數(shù)量積定義及其對應(yīng)的公式，進一步綜合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式來分析與應(yīng)用，實現(xiàn)參數(shù)的確定與求解.

點評：圍繞平面向量的數(shù)量積定義，是解決與數(shù)量積相關(guān)問題中最常用的一種技巧方法，關(guān)鍵是確定對應(yīng)向量的夾角與模，并加以合理綜合與應(yīng)用.借助相關(guān)問題的定義，回歸對應(yīng)問題的本質(zhì)，很好落實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識等方面的掌握情況.

2.注重平面向量運算，考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

平面向量中涉及線性運算與坐標(biāo)運算等，同時滲入模、數(shù)量積等相關(guān)知識，借助不同場景的創(chuàng)設(shè)，很好通過基底法或坐標(biāo)法等數(shù)學(xué)運算場景來考查數(shù)學(xué)運算與應(yīng)用.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析：根據(jù)題目條件，利用平面向量的模及其性質(zhì)，數(shù)量積的運算以及性質(zhì)等，通過平面向量的線性運算的模的平方展開，結(jié)合數(shù)學(xué)運算，借助平面向量的數(shù)量積的整體思維進行求解.

點評：圍繞平面向量的模與數(shù)量積等相關(guān)公式及其應(yīng)用，通過代數(shù)式的展開運算與變形，結(jié)合運算公式、基本性質(zhì)等來分析與處理，能很好考查數(shù)學(xué)運算這一基本素養(yǎng)與能力，這也是高考中重點考查的一個基本點.

3.注重相關(guān)公式變形，考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

平面向量中涉及向量的平行或垂直關(guān)系、向量基本定理、數(shù)量積公式等，有其自身的內(nèi)涵與對應(yīng)的變形公式，在實際應(yīng)用中，經(jīng)常借助相關(guān)的公式應(yīng)用或變形公式等來解決問題.

A.-6 B.-5 C.5 D.6

點評：圍繞平面向量的數(shù)量積的變形公式，結(jié)合兩個不同向量夾角的余弦值的變形公式來構(gòu)建，這也是解決此類問題中比較常用的一種技巧方法.合理借助變形公式構(gòu)建關(guān)系式，利用方程(組)的建立來解決一些相關(guān)的應(yīng)用問題.

4.注重代數(shù)幾何結(jié)合，考查直觀想象素養(yǎng)

借助創(chuàng)新情境設(shè)置，熟悉對應(yīng)的應(yīng)用情境并具備較強的平面幾何的解題意識，從中抽象出關(guān)鍵平面幾何圖形，合理進行知識遷移，運用圖形性質(zhì)解決對應(yīng)的平面向量問題.

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

分析：根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)建對應(yīng)的平面幾何圖形，借助線段中點的確定，利用平面向量中的極化恒等式加以轉(zhuǎn)化，進而通過基底的變形，借助三角函數(shù)的圖象性質(zhì)來確定對應(yīng)向量的數(shù)量積的取值范圍問題.

圖1

點評：圍繞平面向量所對應(yīng)的平面幾何圖形實質(zhì)，構(gòu)建對應(yīng)的平面幾何圖形，串聯(lián)起平面向量的數(shù)量積、線性運算與對應(yīng)的平面幾何圖形中的長度、角度等之間的聯(lián)系，從而有效實現(xiàn)平面向量向幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合與合理轉(zhuǎn)化.

5.注重思想方法應(yīng)用，考查解決問題能力

平面向量問題中，結(jié)合對應(yīng)的幾何或代數(shù)特征，可以很好滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、一般與特殊思想等思想方法方面的應(yīng)用，很好落實解決問題的能力與應(yīng)用.

圖2

分析：結(jié)合題設(shè)條件，從一般與特殊思想入手，巧妙構(gòu)建特殊平面幾何圖形——直角三角形，綜合相關(guān)信息，合理直觀形象地構(gòu)建起對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型的直觀來轉(zhuǎn)化與處理.

點評：圍繞一般與特殊思維，借助與之相關(guān)的元素(涉及函數(shù)、向量、圖形等，這里是特殊圖形)構(gòu)建，合理數(shù)學(xué)建模，巧妙綜合應(yīng)用.這里利用特殊平面幾何圖形，“數(shù)”與“形”相結(jié)合，直觀形象分析，減少數(shù)學(xué)運算，優(yōu)化邏輯推理.

平面向量試題注重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，主要考查平面向量運算及其幾何意義、用平面向量的數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，以及平面向量與其他知識、思想方法相關(guān)聯(lián)的問題等，能充分體現(xiàn)考生對解題經(jīng)驗與技巧方法的積累程度，以及數(shù)學(xué)運算與直觀想象核心素養(yǎng)的水平.