基于大觀念、大問題視角下的數(shù)學(xué)深度教學(xué)

劉鑫鈞

南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué) (215021)

1 問題的提出

新課程改革以來(lái)，自主、合作的探究式課堂精彩紛呈.因此，如何讓學(xué)生在教師引領(lǐng)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性且揭示本質(zhì)的問題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的深度教學(xué)就顯得尤為重要.由于人們總是在一定觀念指導(dǎo)或影響下進(jìn)行活動(dòng)[1]，而問題又是數(shù)學(xué)的心臟，因此，以怎樣的觀念“指路”，設(shè)計(jì)怎樣的問題“引路”，實(shí)現(xiàn)課堂的深度教學(xué)就成為一個(gè)重要的課題.基于這一問題，本文從大觀念、大問題的視角出發(fā)，探究如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的深度教學(xué).這就需要厘清三個(gè)問題：大觀念、大問題是什么？什么教學(xué)才是深度教學(xué)？基于大觀念、大問題怎樣實(shí)施深度教學(xué)從而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

2 問題的解決

2.1 大觀念、大問題與深度教學(xué)的理解

2.1.1 大觀念與大問題

大觀念不是具體的信息、知識(shí)和概念，而是信息的聯(lián)結(jié)者、知識(shí)的組織者和概念的搭建者.換言之，大觀念指的是知識(shí)背后的知識(shí)，概念背后的概念，是知識(shí)和概念的上層組織者.康德指出：“人類所有的認(rèn)識(shí)都是以觀察為起點(diǎn)，然后成了概念，最后以觀念作為終站.”[2]康德認(rèn)為觀念就是概念的概念，是知識(shí)的最高形態(tài).

大觀念具有四個(gè)基本的特征：首先，大觀念是一種聯(lián)結(jié)，居于學(xué)科核心；其次，大觀念具有可遷移性和持久性；再次，大觀念是抽象的，習(xí)得過(guò)程緩慢；最后，大觀念的表述方式是多樣的[3].大觀念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)如下：第一，大觀念是數(shù)學(xué)學(xué)科最基礎(chǔ)、最本質(zhì)、最核心的觀念，能夠反映數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征和規(guī)律；第二，大觀念是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠逐漸形成的，只有理解這些大觀念，才能深切體會(huì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；第三，大觀念是對(duì)數(shù)學(xué)問題發(fā)展、變化的基本判斷，有利于豐富學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而涵養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

大問題是“能夠鼓勵(lì)、啟發(fā)甚至是要求學(xué)生超越特定的主題而幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)達(dá)到更系統(tǒng)、更深入的理解的可遷移的問題[3].大問題不著眼于解決某個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)或具體的問題，而是在大觀念的基礎(chǔ)上形成的更開放的、更具反思性和整合性的元問題.大問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心問題，是滲透、落實(shí)大觀念重要且基本的載體.

大問題具有三個(gè)基本的特征：首先，大問題具有開放性：大問題不是事實(shí)性問題，不對(duì)細(xì)節(jié)提問，不追求標(biāo)準(zhǔn)答案.其次，大問題具有整合性：大問題之“大”并不是抽象的大，大問題必須落實(shí)在學(xué)科知識(shí)基礎(chǔ)之上，必須著眼于核心素養(yǎng)的落實(shí).大問題能促進(jìn)知識(shí)的整合，打破知識(shí)、專題的隔閡，以整體思考代替單點(diǎn)突破式的零散學(xué)習(xí).最后，大問題具有反思性與迭代性.大問題不是一次就能解決的，大問題會(huì)隨著學(xué)習(xí)深入而不斷迭代升級(jí)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)大觀念進(jìn)一步深入的感悟與理解.

2.1.2 深度教學(xué)

深度教學(xué)是讓學(xué)生深度參與教學(xué)過(guò)程且深刻把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué).對(duì)“深度參與”而言，僅靠記憶、理解等是不夠的，還需要操作、體驗(yàn)、批判、反思等學(xué)習(xí)活動(dòng)；對(duì)于“深刻把握”而言，僅記住知識(shí)的符號(hào)、含義是不夠的，還必須把握知識(shí)背后的價(jià)值、邏輯、方法以及運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)造.“深度教學(xué)，并不追求教學(xué)內(nèi)容的深度和難度，不是指教學(xué)內(nèi)容越深越好，而是相對(duì)于知識(shí)的內(nèi)在構(gòu)成要素而言，知識(shí)教學(xué)不停留在符號(hào)層面，而是豐富教學(xué)的層次，實(shí)現(xiàn)知識(shí)教學(xué)的豐富價(jià)值.

深度教學(xué)具有兩個(gè)基本的特征：第一，“深度參與教學(xué)過(guò)程”的目的是實(shí)現(xiàn)學(xué)生與學(xué)習(xí)內(nèi)容的充分互動(dòng)，這是深度教學(xué)的過(guò)程性特征.深度教學(xué)必須讓學(xué)生充分地參與教學(xué)過(guò)程，因此教師只能進(jìn)行“有限教導(dǎo)”.在教學(xué)中，教師必須盡力控制自己的講授、指導(dǎo)，給學(xué)生充足的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)：一方面，教師要“少講”，以便給學(xué)生足夠的學(xué)習(xí)時(shí)間；另一方面，教師要“隱身”，以便讓學(xué)生全身心地投入學(xué)習(xí).第二，“深刻把握學(xué)習(xí)內(nèi)容”是指要實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)體系的充分融合，這是深度教學(xué)的結(jié)果性特征.因此教師應(yīng)充分利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問題情境將新知識(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，讓知識(shí)學(xué)習(xí)成為一個(gè)從學(xué)生內(nèi)心生長(zhǎng)出來(lái)的過(guò)程，而不是一個(gè)從外部強(qiáng)加的過(guò)程.生活情景或問題情境的創(chuàng)設(shè)，使理論知識(shí)得以活化，讓知識(shí)有了靈性.教學(xué)應(yīng)該“由‘抽象知識(shí)’轉(zhuǎn)向‘具體情境’，注重營(yíng)造學(xué)習(xí)情境的真實(shí)性”[4].

2.2 基于大觀念、大問題的數(shù)學(xué)深度教學(xué)策略

在進(jìn)行深度教學(xué)時(shí)，我們首先要明確，什么樣的大觀念是學(xué)生通過(guò)不斷訓(xùn)練可以逐漸習(xí)得的，“大問題”教學(xué)中又應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)怎樣的問題？本文以2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第22題為例，提出筆者的一些思考.

在高考結(jié)束后，筆者與部分高三學(xué)生充分交流此題，對(duì)于第一問只需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到f′(x)=-lnx，x∈(0,+∞).當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.但是在第二問解決過(guò)程中，不少學(xué)生感到無(wú)從下手，也有學(xué)生說(shuō)老師以前講過(guò)類似的題型，但是在考試過(guò)程中忘記了怎么做.事后，找到了類似的一道母題.

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

通過(guò)對(duì)比題源與高考真題，我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論是題干信息，還是解法套路，相似度極高.那么有個(gè)疑問自然就擺在面前：為什么講過(guò)的題型學(xué)生在考試中不能獨(dú)立解決？對(duì)于這個(gè)問題，每位教師可能有不同的回答，但是有一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)就是，高三的題海訓(xùn)練是在機(jī)械、記憶等低層次的水平上訓(xùn)練.這種過(guò)度的訓(xùn)練，學(xué)生的思維不但不能得到提升，反而定勢(shì)，教師的教學(xué)行為來(lái)源于教師的教學(xué)觀念，這種觀念就是，通過(guò)大量做題，就能提高學(xué)生解題能力.事實(shí)上，很多學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)之后，學(xué)生的解題水平就定格了，在后面的二輪、三輪復(fù)習(xí)中幾乎得不到發(fā)展.怎么解決呢？這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中必須要有“大觀念”，并且在教學(xué)過(guò)程中能設(shè)計(jì)“大問題”，滲透這種大觀念，從而積累基本的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)解題水平.

2.2.1 立足化歸樹立“同構(gòu)”大觀念，培養(yǎng)學(xué)生深度觀察能力

何為“同構(gòu)”，下面以2021屆八省聯(lián)考第8題為例具體闡述“同構(gòu)”的具體內(nèi)涵.

例2 已知a

A.c

要發(fā)現(xiàn)同構(gòu)，則需要對(duì)試題進(jìn)行深度的觀察，巧妙的變形，將試題內(nèi)部的一致性結(jié)構(gòu)展示出來(lái)，然后構(gòu)造函數(shù)，從而破解問題.從八省聯(lián)考這樣一份具有很強(qiáng)的導(dǎo)向性試卷中，我們發(fā)現(xiàn)在平常的解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)大力培養(yǎng)學(xué)生的“同構(gòu)”大觀念.

2.2.2 基于“同構(gòu)”巧設(shè)大問題，培養(yǎng)學(xué)生深度轉(zhuǎn)化能力

如何將一個(gè)形式上不一致，結(jié)構(gòu)上不同的式子轉(zhuǎn)化為形式上一致，結(jié)構(gòu)相同的式子呢？即設(shè)置怎樣的大問題實(shí)現(xiàn)同構(gòu).回到高考題，第二問中主要條件就是等式blna-alnb=a-b，這樣就可以向?qū)W生提出下面的問題：

問題1 條件等式如何同構(gòu)？方法有哪些？

顯然大問題1不是事實(shí)性問題，不對(duì)細(xì)節(jié)提問，不追求標(biāo)準(zhǔn)答案，具有很強(qiáng)的開放性.如果學(xué)生感到有困難，則教師需要將大問題1分解為三個(gè)小問題：

問題1.1 條件等式屬于哪一類式子？

在問題1.1的追問下，學(xué)生通過(guò)對(duì)式子結(jié)構(gòu)的深度觀察，發(fā)現(xiàn)式子出現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算，從而明確此類式子是對(duì)數(shù)等式，而且細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，將a，b互換，式子不變，這樣就發(fā)現(xiàn)該式屬于雙變量下對(duì)稱的對(duì)數(shù)等式.在明晰式子的特征之后，問題就轉(zhuǎn)化為雙變量下對(duì)稱的對(duì)數(shù)等式如何同構(gòu).從而提出下面的問題.

問題1.2 這一類式子通常的處理方法是什么？具體怎么操作？

同構(gòu)1 同構(gòu)等式x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2).

生1：等式處理的基本方法就是加減乘除，對(duì)數(shù)式子的變形要基于對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則.

生2：與前面所采用的方法相同，也獲得了同構(gòu)式x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，后面我是這樣做的:

解法2：(同構(gòu)1與構(gòu)造對(duì)稱函數(shù))

①先證x1+x2>2，即證2-x11，故只要證明f(2-x1)>f(x2)=f(x1).令g(x)=f(2-x)-f(x)，x∈(0,1)，則g′(x)=-f′(2-x)-f′(x)=ln(2-x)+lnx=ln[-(x-1)2+1]g(1)=0，故x1+x2>2.

②再證x1+x20，∴p(x)在(e-1,e)上單調(diào)遞增，∴p(x)

同構(gòu)2 同構(gòu)出等式x1lnx1=x2lnx2.

生3：我采用的同構(gòu)方法與前面不同，具體如下：

在問題1解決之后，我們可以看出主要有兩個(gè)同構(gòu)式子：一個(gè)是x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，另一個(gè)是x1lnx1=x2lnx2.那么順勢(shì)向?qū)W生提出下面問題.

2.2.3 呈現(xiàn)“同構(gòu)”相關(guān)性問題，培養(yǎng)學(xué)生深度遷移能力

問題2 同構(gòu)方法是普遍性？還是針對(duì)性？

對(duì)于這個(gè)問題的回答，可以讓學(xué)生先交流，然后去尋找在前面已解決的問題中是否出現(xiàn)過(guò)同構(gòu)試題的考察，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，學(xué)生呈現(xiàn)出大量的同構(gòu)試題.

相關(guān)題1 (2020年全國(guó)Ⅰ卷第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：從同構(gòu)的視角下，先對(duì)已知式子作同構(gòu)變形，然后用函數(shù)的單調(diào)性求解.通過(guò)觀察，左邊結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，因此，將右邊的式子向左邊式子的結(jié)構(gòu)化2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b，同構(gòu)變形完成.構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x，易知f(x)單調(diào)遞增，故f(a)

經(jīng)過(guò)對(duì)上述四道試題的分析、探討，發(fā)現(xiàn)同構(gòu)這種思想在函數(shù)、不等式中應(yīng)用廣泛，處理的方法具有極大的相似性：對(duì)不等式或等式，亦或是函數(shù)，通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為相同的結(jié)構(gòu)，然后構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)來(lái)解決原問題，這種方法顯然是具有普遍性的.

3 結(jié)語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》最大的一個(gè)亮點(diǎn)就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，必須要進(jìn)行深度教學(xué)，即在教學(xué)中要有大觀念的滲透，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)及方法有一個(gè)整體的高層次的感悟、體會(huì)，這就需要以大問題引路，設(shè)計(jì)有助于大觀念滲透，有利于思維發(fā)展和問題解決的具有開放性、反思性問題，提供“全景立場(chǎng)”，即不同的方法，相異甚至是沖突的觀點(diǎn)，在比較中形成自己對(duì)知識(shí)對(duì)象的深刻認(rèn)識(shí)，理性判斷，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容更具有系統(tǒng)性，深入性理解，發(fā)展學(xué)生批判性思維、理性、和創(chuàng)新能力等核心素養(yǎng).