雙層超材料板的彎曲波超低頻帶隙特性研究*

肖偉民，李禹昕，戶文成，李賢徽，聶京凱，石 磊，張 瀟，趙寰宇,3

(1. 北京市科學技術研究院 城市安全與環(huán)境科學研究所，北京 100054；2. 北京交通大學 工程力學研究所，北京 100044；3. 內蒙古工業(yè)大學 理學院力學系，呼和浩特 010051；4. 國網智能電網研究院有限公司，北京 100031； 5. 國網北京市電力公司，北京 100075)

0 引 言

伴隨社會快速發(fā)展和工業(yè)智能化程度的提高，來自飛機、高鐵、汽車和空調等噪聲已經成為人類面對一個極其嚴重的環(huán)境污染問題。噪聲既影響人們正常的工作、學習和休息，又傷害人體健康，還可能損傷人耳聽力系統(tǒng)與影響兒童智力發(fā)育[1]。2011年，歐盟委員會報告中指出，歐盟由于鐵路和公路噪聲造成的社會支出高達40億歐元[2]。2021年《中國環(huán)境噪聲污染防治報告》中給出2020年各級環(huán)保部門組織立項或承擔環(huán)境噪聲污染防治相關科研項目經費合計約745萬元，同年全國噪聲與振動污染防治行業(yè)總產值約為120億元[3]。

如何控制低頻噪聲一直是聲學領域研究的熱點，由于低頻段聲波具有波長較長特點，導致設計降噪材料體積過大，進而不易于實際應用。考慮傳統(tǒng)聲學方法和技術不容易解決低頻噪聲控制難題，近年來聲學超材料出現使古老的聲學孕育新的生命，展現了傳統(tǒng)材料所不具備的超常物理現象，如負折射、聲亞波長成像和聲學完美吸收等[4-6]。因此，聲學超材料可以為抑制低頻聲波傳播提供了一種創(chuàng)新方法，許多科研人員也進行了大量探索性工作。香港科技大學沈平課題組將彈性薄膜粘接于相對剛性塑料柵格上，且每個正方形柵格孔單胞附著一圓形質量塊構成超材料，實驗結果表明50-1000 Hz頻率范圍實現傳輸損失大于40 dB降噪性能[7]；隨后該課題組進一步設計混合共振超表面結構，達到亞波長低頻吸聲，該結構尺寸減少一個數量級[8]?？紤]亥姆霍茲共振作為控制低頻噪聲一種有效方法，2019年翟世龍等[9]采用負等效彈性模量開口空心球與負等效質量密度空心管組合，設計了耦合共振聲學超材料，數值計算與實驗測試結果顯示750～1 000 Hz低頻范圍能夠完美低頻吸收噪聲，該超材料尺寸僅為工作波長的約1/8，易于構造小型化降噪器件。繼而李東庭等[10]也設計微穿孔板和卷曲空腔組合結構，理論計算和實驗測試結果表明262～469 Hz頻率范圍內吸聲系數>0.8，顯示在深亞波長結構尺寸具有良好的寬頻高效吸聲性能。

近年來，局域共振超材料已成為研究的熱點之一，其可以廣泛用于控制低頻噪聲和振動。Liu等2000年提出局域聲子晶體概念，制備了局域共振晶體，在低頻400Hz附近帶隙具有等效負彈性模量，得到降低兩個數量級低頻帶隙頻率，用于小尺寸控制長波長[11]。為了進一步控制低頻振動，在鋁板上正方排列S形有機玻璃(PMMA)共振單元，Belle等[12]實驗測試頻率600 Hz存在低頻帶隙，與理論計算很好吻合。 Claeys等[13]設計“三明治” 雙層夾心蜂窩板，獲取彎曲波約1kHz頻率范圍的帶隙，實驗驗證了這種輕質超材料能夠抑制高頻振動。鑒于局域共振方法能夠設計低頻超材料/結構，de Melo Filho等[14]將ABS塑料與PMMA均勻構成ABSPMMA復合材料，采用熱成型技術將ABS塑料基體板與ABSPMMA結構相連接構成雙層板，并附加2 mm厚ABSPMMA質量塊周期分布上層板；理論計算和實驗測的傳聲損失結果表明能夠在150 Hz左右產生較窄的彎曲波帶隙。此外，Mark等[15]通過提出了超越聲吸收因果極限概念，實現100Hz頻率左右完成低頻噪聲完美吸收。

由前述工作可知，如何實現超低頻吸聲依然科學研究的一個難題?；诰钟蚬舱駲C理[11]，本文設計U形槽周期性分布雙層超材料板，且微結構單胞附加質量塊；通過有限元法計算該板彈性波能帶結構(頻散曲線)。然后分析不同的組分材料參數、幾何參數和質量塊厚度對于彎曲波超帶隙的影響，通過優(yōu)化這些參數結果構造新型雙層超材料板，期望實現低于100 Hz的超低頻彎曲波帶隙。進而建立等效彈簧質量系統(tǒng)，依據動態(tài)質量負密度頻率段來預測帶隙的合理性。最后，分析聲波以不同入射角在這種新型雙層板中傳播的隔聲性能，可為該板在工程應用提供技術支撐。

1 模型建立與有限元計算

圖1(a)為三維局域共振型雙層超材料板示意圖，上層板中U形槽按正方點陣排列，其中藍色是共振單元體；下層為各向同性板；通過空心圓柱銜接上、下層板構成輕質、易制備、結構簡單復合雙層板。我們將三維周期結構微結構放大后如圖1(b)單胞所示，質量塊厚為t，空心柱高為h。在圖1(c)俯視圖中，晶格常數為a，質量塊的長、寬和厚分別為a1和b1和t；上、下層板與空心柱的厚度均為t1，空心柱內徑為r1；U形槽局部放大圖中槽寬為c、過渡圓弧半徑為r2、槽臂長為a2；粉色短線三角形為第一簡約布里淵區(qū)Γ-X-M邊界。

圖1 (a) 三維周期結構局域共振型雙層超材料板，(b) 單胞，(c)單胞俯視圖及第一簡約布里淵區(qū)Fig.1 (a) Three dimensional schematic diagram of metamaterial bipanels with square resonance units, (b) the unit cell, (c) its top view and first Brillouin zones

當彈性波在局域共振型雙層超材料板中傳播時，采取有限元法計算能帶結構。在圖1(b)單胞中施加Bloch-Floquet周期邊界條件，使用有限元劃分單胞網格后，其離散形式特征方程為[15, 16]：

[K(κ)-ω2M]u=0

(1)

κ為波矢，ω為頻率，u為位移矢量，K和M分別為剛度矩陣和質量矩陣。使波矢κ掃描第一布里淵區(qū)邊界能夠得到彈性波能帶結構。以ABSPMMA復合材料為例，其材料參數為：密度ρ=971.35 kg/m3、泊松比ν=0.4、彈性模量E=1.6×103MPa；幾何參數為：t=0 mm、t1=2 mm、a=60 mm、h=48 mm、a1=36 mm、b1=28 mm、a2=12 mm、r1=10 mm、r2=2 mm、c=2 mm。

圖2(a)給出了3種類型縱波、橫波和彎曲波的能帶結構，從圖中可看出僅僅彎曲波能帶間存在151-155 Hz窄帶隙。在圖2(b)彈性波的振動模態(tài)圖中，B、A點分別為彎曲波帶隙的上、下限(155 Hz和151 Hz)振動模態(tài)，主要U形槽局域共振單元尖端離面向z軸方向振動，其余部分振動相對不明顯；C點(185 Hz)縱波振動模態(tài)主要為共振單元與上層板在xy面內振動；同理，D點(89 Hz)橫波振動模態(tài)也為xy面內振動。從這三種彈性波振動模態(tài)看出，離面振動模態(tài)容易產生低頻帶隙。

為了獲得較寬低頻帶隙，通過優(yōu)化設計單胞幾何參數和組分材料，探尋切實可行的方法。

2 低頻帶隙的設計

2.1 幾何參數對帶隙的影響

我們選取圖2 (a)中單胞的材料參數和幾何參數，僅考慮空心柱高h變化，圖3給出了彎曲波低頻帶隙有限計算結果。從圖3中曲線看出，隨著空心柱高h從18 mm增至68 mm，位于第1能帶和第2能帶之間彎曲波帶隙的上、下邊界都趨向于低頻段(見圖中兩條標符號實曲線)；而帶隙寬度逐漸變窄，由很寬帶隙155～164 Hz減小較窄帶隙146～148 Hz。對于增加空心柱高h使帶隙寬度變窄與趨向低頻特征，期望獲得100 Hz以下低頻帶隙顯然有一定差距，也考慮雙層板結構穩(wěn)定性，故選取h=48 mm。這為下一步設計低頻局域共振型雙層超材料板提供一定的理論依據。

圖2 (a) 局域共振型雙層超材料板的3種類型彈性波能帶結構；(b)不同頻率點彈性波的振動模態(tài)Fig.2 (a) Band structures ofmetamaterial bipanels for three types elastic waves with the resonance blocks, and (b) vibration modes of elastic waves at different frequencies

圖3 彎曲波帶隙與空心柱高h關系Fig.3 The related curves of flexural wave bandgap and hollow pillar h

當確定空心柱高為h=48 mm后，再以參數h對圖1(c)中所有幾何參數進行歸一化處理。圖4為彎曲波帶隙與晶格常數變化曲線，圖中兩條虛線、實線為帶隙的上、下邊界。從圖中曲線變化觀察可知：隨著a/h增大，帶隙頻率逐漸向低頻方向移動；當0.875≤a/h≤1時在第1和第2能帶間產生很窄帶隙；當1≤a/h≤1.5時形成較寬帶隙，其中a/h=1時初始打開較寬帶隙；當a/h分別為1.125、1.25與1.375時，相應帶隙寬度分別為164～175 Hz、151～155 Hz與137～146 Hz，對應晶格常數分別為54 mm、60 mm和66 mm。我們觀察帶隙曲線變化發(fā)現，晶格常數比空心柱高對帶隙影響更大，或者說它對帶隙更敏感。考慮a/h=1.25既能取得低于160 Hz較寬帶隙，又使晶格常數較小，這對設計超低頻減振降噪材料提供很合理制備尺寸數據。

圖4 彎曲波帶隙與歸一化晶格常數a/h關系Fig.4 The related curves of flexural wave bandgap and normalized lattice constant a/h

若在圖1(b)單胞的上層板附加質量塊，可能是調控低頻帶隙一種有效方法?；趫D2 (a)中單胞的材料參數和幾何參數，質量塊材料選用ABSPMMA，圖5給出了質量塊不同厚度t與彎曲波帶隙上、下邊界的變化曲線。隨著質量塊厚度t增加，圖中帶隙曲線朝著低頻方向變化；如t=0.5 mm 得到帶隙頻率相比t=3 mm對應帶隙頻率下降約35 Hz，且接近100 Hz低頻范圍。當0.5≤t≤3 mm時，帶隙寬度均為7 Hz，但質量塊厚度增加未使帶隙明顯變寬，見圖5所示。對于附加質量塊，若帶隙頻率低于100 Hz，可以選擇t=2 mm既能保證共振部分無斷裂，又兼顧低頻優(yōu)異性能，這是比較實用的方法。

圖5 彎曲波帶隙與質量塊厚度t關系Fig.5 Related curves of flexural wave bandgap and the thicknesses t of different resonance blocks

2.2 材料參數對帶隙的影響

除上述關鍵幾何參數對帶隙分布的影響，組分材料也是不可忽略重要因素之一。我們選取2(a)中單胞幾何參數，質量塊厚為t=2 mm，雙層板和附加質量塊的組分材料均分別采用ABSPMMA、ABS塑料、鋼和鋁；材料參數分別為：密度ρABS=1025.1 kg/m3、ρSteel=7850 kg/m3、ρAl=2700 kg/m3；泊松比νABS=0.4、νSteel=0.29、νAl=0.29；彈性模量EABS=1.98×103MPa、ESteel=2×105MPa、EAl=7×104MPa。利用有限元法計算4種不同材料的局域共振型雙層超材料板彎曲波能帶結構，如圖6所示。由能帶結構顯示非金屬材料ABSPMMA、ABS塑料分別得到113～120 Hz和123～128 Hz低頻帶隙(見圖6(c)和(d)所示)，圖6(a)和(b)給出金屬材料鋼和鋁在此頻率段無帶隙。這表明：非金屬材料易變形導致共振，打開低頻帶隙；相對于金屬材料變形較小不易發(fā)生共振，則不能形成低頻帶隙。另外，由于ABSPMMA的密度、彈性模量都比ABS塑料小，容易變形和共振，使它打開帶隙頻率比ABS塑料低。

圖6 不同組分材料雙層超材料板彎曲波能帶結構Fig.6 Band structures of flexural waves formetamaterial bipanels at different component materials

鑒于圖6中非金屬材料雙層超材料板所形成的彎曲波帶隙較窄和頻率高于100 Hz，不妨從局域共振機理出發(fā)，增加質量塊厚度[13]，改變共振部分固有頻率，從而打開了相對較為理想的低頻帶隙。我們將圖6(c)中ABSPMMA質量塊分別替換為金屬材料鋁和鋼，通過理論計算所得彎曲波帶隙如圖7所示。

圖7 不同質量塊的雙層超材料板彎曲波能帶結構Fig.7 Band structures of flexural waves formetamaterial bipanels at different resonance blocks

圖7(a)顯示鋁質量塊產生彎曲波帶隙寬度為84～92 Hz，隨著質量密度的增加，鋼質量塊所得彎曲波帶隙頻率范圍54-65 Hz(見圖7(b))，由此實現了超低頻寬帶隙的目標。在見圖7(b)中，帶隙下邊界E點振動模態(tài)顯示雙層板結構幾乎不振動，主要是槽形共振單元與附加質量塊一起離面向z軸方向共振，類似一端固定懸臂梁振動，這闡釋局域共振能打開低頻區(qū)域帶隙的機理[15]；而帶隙上邊界F點振動模態(tài)，附加質量塊也產生局域共振，同時上層板與空心柱出現xy方向面內振動，使它們一起疊形成帶隙的結果。

3 低頻帶隙的局域共振機理與隔聲性能

3.1 局域共振機理與動態(tài)質量密度分析

對于ABSPMMA和附加鋼質量塊的雙層超材料板，其超低頻帶隙是U槽形共振單元與雙層板結構產生局域共振耦合作用結果；通過增強局部能量，使上層板中彎曲波與局域共振單元相互耦合，促使復合結構中各部分存在相對運動，進而形成低頻帶隙[18]，故可以使用動態(tài)質量密度闡釋帶隙機理。為了計算雙層超材料板動態(tài)質量密度，將圖1(b)單胞等效為二自由度彈簧質量系統(tǒng)如圖8所示，該求解等效系統(tǒng)下的動態(tài)質量方程，其中mHs、mRes分別為基體板和諧振結構的質量；m1、m2、k2與c2分別為等效彈簧質量系統(tǒng)中兩個振動單元的質量、彈簧剛度系數與粘性阻尼系數[17]。

圖8 單胞結構等效為彈簧質量系統(tǒng)Fig.8 Equivalent dynamic spring mass system ofmetamaterial unit cell

(2)

m1+m2=mHs+mRes

(3)

將式(3)代入(2)得到等效動態(tài)質量為：

(4)

式中，ωL、ωH分別為帶隙下邊界和上邊界頻率。

在低頻范圍內產生局域共振形成帶隙時，只需要考慮諧振結構的阻尼，基體板對耦合振動影響很小，可以忽略不計。

圖9 等效動態(tài)質量密度與頻率函數曲線Fig.9 Equivalent dynamic mass density and frequency for metamaterial bipanels

3.2 超低頻隔聲性能研究

針對局域共振型雙層超材料板具有超低頻彎曲波帶隙特征，可用傳聲損失(Sound Transmission Loss, STL)來評價其隔聲性能?；贑OMSOL Multiphysics的壓力聲學模塊，利用圖1(b)中單胞建立傳聲損失有限元模型，如圖10所示。

圖10 局域共振型雙層超材料板的傳聲損失有限元模型Fig.10 Finite element model of STL of metamaterial bipanels with square lattice

圖10中藍色部分單胞結構被兩塊空氣域包裹，模型上、下邊界區(qū)域是完美匹配層(PML)以形成無反射聲場，并設置了積分面一為入射聲頻率Fin，積分面二為透射聲頻率Fout為，它們可通過以下兩式計算[19]：

(5)

(6)

式中：Sin、Sout分別為積分面一和積分面二的面積，相應聲壓值分別為Pinc和Poutc，空氣的密度、聲速分別為ρ0=1.29 kg·m3、c0=340 ms-1，θ為入射聲波的入射角。由式(5)和(6)得到聲透射系數τθ，以及傳聲損失STL：

(7)

(8)

我們以圖7(b)能帶結構的幾何參數和材料參數為研究對象，選擇聲波入射角θ分別為0°、15°和30°時，根據式(8)通過有限元法數值計算該雙層超材料板的傳聲損失STL與頻率關系曲線，如圖11所示，當聲波入射角θ分別為0°、15°、30°時，傳聲損失STL在頻率57 Hz相應幅值達到峰值為47 dB、44 dB和39 dB，如圖11所示；這表明隨著入射角θ增加STL幅值降低，且波矢垂直于超材料板方向分量就會減小，這表明超材料板隔聲性減弱。此外，STL取得最大幅值的頻率57 Hz點位于帶隙 (54-65 Hz) 范圍內，顯然局域共振打開的低頻帶隙具有優(yōu)異的減振降噪性能。此外，該超材料板總厚為54 mm，此尺寸在亞波長約λ/106(λ為產生低頻帶隙產生共振對應的波長)，實現了小尺寸控制長波長的低頻特性。

圖11 不同聲波入射角θ的傳聲損失STL與頻率關系曲線Fig.11 Relationship curves between STL and frequency at the different incidence angles θ of acoustic waves

4 結 論

依據局域共振機理，利用有限元法數值計算幾何參數、組分材料參數對低頻彎曲波帶隙的影響，從而優(yōu)化設計了具有超低頻彎曲波帶隙的局域共振型超材料板，并闡述帶隙機理與分析隔聲性能，主要結論如下：

(1)優(yōu)化計算結果表明：關鍵幾何參數分別為晶格常a=60 mm，空心柱高h=48 mm，質量塊厚t=2 mm；合理組分材料是ABSPMMA雙層板與鋼質量塊，達到期望超低頻54-65 Hz彎曲波帶隙。

(2)基于等效彈簧質量系統(tǒng)，計算動態(tài)質量得到負密度的頻率范圍與彎曲波帶隙理論預測結果很好吻合，證實局域共振可以打開超低頻帶隙。

(3)不同聲波入射角θ均在帶隙頻率內57 Hz均獲得傳聲損失STL幅值最大值，顯然此θ=0°為隔聲性能最優(yōu)異；且此新穎雙層超材料板厚僅僅為亞波長尺寸的約λ/106。

總之，將非金屬材料雙層板和金屬材料質量塊構成復合超材料板，可以產生低于100 Hz帶隙。該新型超材料板結構簡單、易于制造，在室內建筑結構，音樂廳和飛機艙室等的減振降噪領域有著很大的應用前景。