經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程 發(fā)現(xiàn)解決問題策略

陳瓊棟

數(shù)學(xué)教學(xué)是教給學(xué)生解決問題的方法，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只是知道教師教的題目答案，數(shù)學(xué)教師也不能囫圇吞棗地教，而是要通過數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生理解算理、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、找到方法，也就是通過教給學(xué)生解決問題的方法，提高學(xué)生解決問題的能力。教師不能就題目教題目，而是要以題目作為素材、載體和途徑，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)到解決問題的方法。

一、在探究中給學(xué)生一把“尺子”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有許多標(biāo)準(zhǔn)量，尤其在百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)相關(guān)題目中，一定要找到標(biāo)準(zhǔn)量，弄清比較量與標(biāo)準(zhǔn)量之間的數(shù)量關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)量就好比一把尺子，是用來量比較量的，找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)量有利于提高學(xué)生解決問題的能力，從而理解其中的算理。所以，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一定要給學(xué)生一把尺子，教給學(xué)生解題方法。

（一）教師要深研教材，找到“尺子”

新課程背景下，如何創(chuàng)造性地使用教材，引發(fā)教師持久而深入的思考與討論。筆者從自身教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，建議小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該這樣使用教材：細(xì)嚼慢“研”，理解性地使用教材；博采眾長(zhǎng)，選擇性地使用教材；追根溯源，從數(shù)學(xué)文化角度使用教材；高屋建瓴，站在學(xué)科的高度使用教材。

（二）教師要讀懂教材，使用“尺子”

數(shù)學(xué)教材是教師落實(shí)新課標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，所以讀懂教材是把握教材科學(xué)性和整體性的前提，也是教師進(jìn)行再加工和再創(chuàng)造的必備條件。教師只有弄懂教材，才能將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容具象化，教給學(xué)生解決問題的方法，不僅知其然，還要知其所以然，不僅掌握解決問題的方法，更要弄清算理。

例如，北師大版五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本第66頁(yè)有這樣一道題，如圖1所示。

這道題應(yīng)該這樣來教學(xué)，首先，教師在黑板上畫出一條數(shù)軸，分別標(biāo)出0和1，在0和1的正中間位置標(biāo)出1/2。其次，讓學(xué)生進(jìn)行討論交流，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。如果學(xué)生說出這樣的發(fā)現(xiàn)：在這些分?jǐn)?shù)中，比1/2小的數(shù)接近0，比1/2大的數(shù)接近1，教師對(duì)這樣的學(xué)生要進(jìn)行鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)。如果學(xué)生沒有說出這樣的發(fā)現(xiàn)，教師要告訴學(xué)生判斷方法，將這把“尺子”交給學(xué)生。

有了這把“尺子”，這類題目無論多么復(fù)雜，學(xué)生用“尺子”去量，一定都能找到正確答案。對(duì)這樣的題目，教師要交給學(xué)生這樣的“尺子”，而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還有很多這樣的“尺子”，教師一定要交給學(xué)生，只有這樣才能提高學(xué)生解決問題的能力和學(xué)習(xí)效率，從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。

二、在思考中給學(xué)生一條規(guī)律

數(shù)學(xué)教學(xué)不能就題目講題目，不是讓學(xué)生得出題目的答案就可以了，而是讓學(xué)生在研究題目的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、理解規(guī)律，從而在以后做同類型的題目時(shí)運(yùn)用規(guī)律，不僅會(huì)做，而且能夠很快地做出來，正確率很高。

（一）滲透類比思想，實(shí)施算理正遷移

類比是指事物和事物之間、現(xiàn)象和現(xiàn)象之間，根據(jù)其相似之處進(jìn)行比較，通過聯(lián)想和預(yù)測(cè)推斷出它們?cè)谄渌矫娴膽?yīng)用，從而建立猜想和發(fā)展真理的思考方法。數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系非常緊密，基本的算理是相通的，法則間的類比是一個(gè)重要內(nèi)容。但是在教學(xué)中往往只見一個(gè)個(gè)獨(dú)立的計(jì)算方法，難見算法之間和算理之間的內(nèi)在聯(lián)系，更難見算理之間在數(shù)學(xué)思想方法上的一致性。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主遷移和類比算理，不斷拓展計(jì)算方法的建構(gòu)。

（二）滲透轉(zhuǎn)化思想，實(shí)現(xiàn)算法多樣化

遇到一個(gè)新的問題時(shí)，需要學(xué)生提取原有知識(shí)，靈活猜測(cè)，合理推理，將新問題轉(zhuǎn)化為老問題，用舊知識(shí)解決新問題，基本的程序是復(fù)習(xí)舊知識(shí)——問題轉(zhuǎn)化——形成法則。數(shù)學(xué)上有許多方面要運(yùn)用到轉(zhuǎn)化的方法，是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的一種重要手段，學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)解決新問題后，弄清了其中的算理，找到最簡(jiǎn)便的解決問題的策略，也就學(xué)到了新知識(shí)。

例如，北師大版五年級(jí)下冊(cè)《長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)》，在“基礎(chǔ)訓(xùn)練”后有這樣一道題，將一個(gè)正方體木塊的表面全部涂成紅色，然后切成27個(gè)小正方體（如圖2所示），那么，三個(gè)面涂色的小正方體有幾個(gè)？?jī)蓚€(gè)面涂色的小正方體有幾個(gè)？一個(gè)面涂色的小正方體有幾個(gè)？沒有涂色的小正方體有幾個(gè)？

如果一個(gè)大正方體每條棱平均分成n個(gè)小正方體，三個(gè)面涂色的小正方體的總個(gè)數(shù)是8個(gè)，兩個(gè)面涂色的小正方體的總個(gè)數(shù)為（n－2）×12，一個(gè)面涂色的小正方體的總個(gè)數(shù)為（n－2）×（n－2）×6，沒有涂色的小正方體的總個(gè)數(shù)為（n－2）×（n－2）×（n－2）。這里就使用了轉(zhuǎn)化的思想方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，今后就可以運(yùn)用這一規(guī)律來解決同類型的問題了。

三、在研究中給學(xué)生一個(gè)工具

學(xué)生解決問題需要一個(gè)工具，也就是一種解題方法、一種解題思路、一種理解算理的途徑。在引導(dǎo)學(xué)生理解算理、數(shù)量關(guān)系和解題思路時(shí)，教師不能囫圇吞棗地教，而是一定要給學(xué)生一個(gè)工具，只有這樣，學(xué)生才不會(huì)一頭霧水，才能學(xué)得明明白白。

（一）站在不同的角度去研究

研讀教材的關(guān)鍵是如何處理好“他見”與“我見”的問題，筆者認(rèn)為，同樣的教材，教師必先有“我見”，也就是要先去讀懂教材，吃透教材精神，并形成一個(gè)大致的教學(xué)框架，而后再博采“他見”，解“我”所困，補(bǔ)“我”不足，從而為“我”所用，最終熔鑄成最佳的教學(xué)方案。

在研讀教材的過程中，不僅存在自己的主見與他人的成見之間的對(duì)立，而且就不同的研究視角而言也會(huì)產(chǎn)生不同的效果，帶來不同的體驗(yàn)，這就要求教師做到多維度的立體化研讀，達(dá)到融會(huì)貫通的程度。

第一，站在編者的角度去讀。也就是理解教材的編排意圖，整體把握教材框架、教學(xué)目標(biāo)及知識(shí)脈絡(luò)，這些都是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，教師只有以嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的態(tài)度對(duì)待，才不至于使教學(xué)偏離方向。第二，站在普通讀者的角度去讀。每次教材培訓(xùn)的發(fā)言者都不能僅限于剖析教材，而是要結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)細(xì)化到教學(xué)層面，對(duì)突破重難點(diǎn)提出構(gòu)想和策略，這體現(xiàn)了教師個(gè)人的獨(dú)特理解，對(duì)其他教師而言也是可供參考的“他見”。第三，站在學(xué)生的角度去讀。需要從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，總結(jié)學(xué)生最感困惑和最易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，并提出相應(yīng)的解決措施。

當(dāng)然，解讀教材的維度和視角不只有以上三種，正是這種多維度、立體化研讀教材的可貴探索，為教師從解讀教材到研究教材，乃至于利用教材提供了思考空間和有益啟示。

（二）深入課堂內(nèi)外去研究

研讀教材從多維解讀到有生展示，其實(shí)只是邁出了很小一步，而它的較高境界應(yīng)該是既“入乎其內(nèi)”，又“出乎其外”，且兩者并非有著截然分開的先后次序，往往是交織進(jìn)行，并行不悖的，高明的教師能夠在教材內(nèi)外自由往返，達(dá)到縱橫暢行、從容駕馭的地步。

教師應(yīng)當(dāng)注意到對(duì)教材的調(diào)整或改動(dòng)是立足于方便學(xué)生學(xué)習(xí)和不違背教材意圖的前提下進(jìn)行的，不以教材而墨守成規(guī)，既能看透教材真諦，又能超越教材高度，但始終沒有脫離教材，一切努力終歸于讓教材成為學(xué)生易學(xué)、樂學(xué)的數(shù)學(xué)寶庫(kù)。

作為課堂教學(xué)的前奏與基石，研讀教材已然不是單純意義上的對(duì)教材意圖的闡釋，由于數(shù)學(xué)教材留有諸多“空白”以及對(duì)知識(shí)形成過程的關(guān)注，為教師研究和使用教材提供了發(fā)揮的空間，教師只有全方位、多角度地深入研讀，并將教法演繹乃至學(xué)法預(yù)設(shè)都寓于其中，才能為精彩的課堂鋪平道路。

例如，在北師大版五年級(jí)上冊(cè)第七單元《用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小——摸球游戲》教學(xué)中，筆者是這樣設(shè)計(jì)的：

師：袋子中有3個(gè)球，1個(gè)白球，2個(gè)黃球，摸出白球的可能性是幾分之幾？

生1：給袋子中的3個(gè)球分別標(biāo)上字母，用記號(hào)筆在球上分別標(biāo)上A、B、C，用手去摸，摸出球的可能性有三種，所以摸出白色球的可能性是1/3，不是1/2。這時(shí)，袋子中的球不按照顏色來分，而是按照字母來分，有3個(gè)字母，所以摸出來的球有三種可能。

生2：給袋子中的3個(gè)球分別標(biāo)上數(shù)字，用記號(hào)筆在球上分別標(biāo)上1、2、3，用手去摸，摸出球的可能性有三種，所以摸出白色球的可能性是1/3，不是1/2。

面對(duì)教材和數(shù)學(xué)知識(shí)，教師要進(jìn)行創(chuàng)造，讓教材變活，讓知識(shí)變具體，不能囫圇吞棗地教，要給學(xué)生一個(gè)工具，教起來自然順手，學(xué)生也學(xué)得輕松，從而讓數(shù)學(xué)課堂精彩紛呈。

四、在體驗(yàn)中給學(xué)生一種經(jīng)驗(yàn)

經(jīng)歷過的事情終生難忘，自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律才能真正屬于自己，才會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。教師要給學(xué)生提供探究平臺(tái)，教給學(xué)生探究方法，確保學(xué)生的探究時(shí)間，并在學(xué)生遇到困難時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥。學(xué)生只有經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和概念的形成過程，才能真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)中，教師要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)作用，從問題出發(fā)，設(shè)計(jì)以解決問題為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，放手讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式自由地探究。

（一）提供體驗(yàn)材料

學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是“感知—表象—抽象”，在探究之前，教師要為學(xué)生提供充足的感知材料，如實(shí)物、學(xué)具、圖片、文具、數(shù)據(jù)、表格等。充分利用教具和現(xiàn)代信息技術(shù)，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將學(xué)生在生活中積累的常識(shí)轉(zhuǎn)化為一種可供操作、討論和思考的學(xué)習(xí)材料。

（二）提供體驗(yàn)時(shí)空

積極有效的探究過程依賴于合適的、現(xiàn)實(shí)的和富有挑戰(zhàn)性的問題。教師要根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，將呈現(xiàn)知識(shí)變?yōu)槌尸F(xiàn)問題，讓學(xué)生通過解決一個(gè)個(gè)的子問題逼近整個(gè)問題的解決，凸顯探究過程。

學(xué)生探究性學(xué)習(xí)要有充分的時(shí)間和空間作為保障，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有利于學(xué)生積極思考的空間，讓學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，親身體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，不能用自己的思維方式去束縛學(xué)生，而是讓學(xué)生自由發(fā)展，給予學(xué)生充足的探究時(shí)間，讓他們多維度、多層次地去觀察和思考，進(jìn)行多角度分析，獲取豐富的感性材料，加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)與理解。

學(xué)生個(gè)體經(jīng)過自主探究，對(duì)問題有了初步答案之后，教師要引導(dǎo)其合作交流，感受不同的思維方式和思維過程，通過互動(dòng)學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得反思和修正的機(jī)會(huì)與體驗(yàn)。

例如，乘法分配律看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不易，在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的許多錯(cuò)誤，有的學(xué)生提取兩個(gè)乘法算式中公有的因數(shù)時(shí)，相加兩次后，與剩下的兩個(gè)數(shù)的和或差進(jìn)行相乘。在分?jǐn)?shù)乘法中，幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和或差與一個(gè)分?jǐn)?shù)相乘時(shí)能夠進(jìn)行簡(jiǎn)算，利用乘法分配律，將分?jǐn)?shù)與括號(hào)中的每個(gè)數(shù)相乘后，變成整數(shù)計(jì)算，而有的學(xué)生不會(huì)運(yùn)用。

筆者充分利用學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行教學(xué)。學(xué)校體育組要添置體育器材，第一天購(gòu)買了13個(gè)籃球，每個(gè)籃球35.5元，第二天又購(gòu)買了7個(gè)籃球。兩天一共花了多少錢？

學(xué)生在練習(xí)本上完成后，教師讓學(xué)生在黑板上板書，如圖3所示。

師：你們是怎么想的？

生1：先算出第一天購(gòu)買13個(gè)籃球的錢數(shù)，再算出第二天購(gòu)買7個(gè)籃球的錢數(shù)，把兩天購(gòu)買籃球的錢數(shù)加起來，就是一共花的錢數(shù)。

生2：因?yàn)槊總€(gè)籃球的價(jià)格是一樣的，先把兩天購(gòu)買的籃球個(gè)數(shù)加起來，一共購(gòu)買了20個(gè)籃球，35.5×20的積就是兩天一共花的錢數(shù)。

乘法分配律分為兩種情況，一是提，將兩個(gè)乘法算式中的公因數(shù)提取出來，剩下的數(shù)相加或相減是一個(gè)整數(shù)；二是分，將括號(hào)外的分?jǐn)?shù)分配給括號(hào)里的加數(shù)或減數(shù)，經(jīng)過約分后，變成整數(shù)加減，使計(jì)算更簡(jiǎn)便。學(xué)生在計(jì)算過程中出錯(cuò)，或者不會(huì)運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，主要原因是沒有弄清乘法分配律的算理。

學(xué)生充分利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)中有規(guī)律，學(xué)生對(duì)自己的生活經(jīng)驗(yàn)非常熟悉，而且生活經(jīng)驗(yàn)中的道理非常好懂，借助生活經(jīng)驗(yàn)中的規(guī)律和道理，學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)就會(huì)非常輕松，學(xué)習(xí)效果更好。教師一定要引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)和概念的形成過程，利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)來理解抽象的數(shù)學(xué)算理，從而獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

五、結(jié)語

總而言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能多地為學(xué)生創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì)，使探究活動(dòng)主題化。教師創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促進(jìn)學(xué)生利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成自主探索意識(shí)，提升學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。只有這樣，學(xué)生才會(huì)肯思考、敢探究，充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，找到解決實(shí)際問題的策略。

（宋行軍）