考慮輸出剛度不確定性的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

占金青 李翼豐 朱本亮 劉 敏

(1.華東交通大學(xué)載運(yùn)工具與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南昌 330013；2.華南理工大學(xué)廣東省精密裝備與制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣州 510641)

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)具有一體化加工、無噪聲、無需潤滑和高精度等優(yōu)點(diǎn)[1-3]，廣泛用于微納操作、精密加工、仿生機(jī)器人和微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-electro-mechanical system, MEMS)等領(lǐng)域[4-7]。柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法主要有偽剛體模型法和拓?fù)鋬?yōu)化方法。與偽剛體模型法相比，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)無需從已知的剛性機(jī)構(gòu)出發(fā)，在給定設(shè)計(jì)域、輸入及輸出作用等條件下獲得最優(yōu)的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型，并且使其某種性能達(dá)到最優(yōu)[8-10]。然而，目前大多數(shù)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究都是在確定性條件下進(jìn)行的。

實(shí)際上，柔順機(jī)構(gòu)在設(shè)計(jì)、制造及運(yùn)行中存在大量的誤差和不確定性，忽略不確定性因素可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)構(gòu)型不一定最優(yōu)，且容易導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度降低。KOGISO等[11]基于均勻化方法建立了考慮作用載荷方向不確定性的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化模型，獲得的機(jī)構(gòu)輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差更小，具有更好的穩(wěn)健性。羅陽軍等[12]考慮載荷及材料屬性不確定性因素，提出一種考慮不確定性的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。LAZAROV等[13]采用隨機(jī)配置方法量化材料和幾何不確定性，進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究。WANG等[14]引入田口質(zhì)量損失函數(shù)的期望作為優(yōu)化目標(biāo)，建立了基于運(yùn)動(dòng)誤差的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化模型，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了穩(wěn)健性設(shè)計(jì)結(jié)果的有效性。ZHAN等[15]基于非概率有界場模型進(jìn)行考慮材料不確性的無類鉸鏈柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，分析了有界不確定場的相關(guān)長度對機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的影響。上述研究主要集中研究載荷、材料和幾何尺寸不確定性因素。

通常，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)需要在輸出端施加虛擬輸出彈簧剛度用來模擬被操作對象的剛度，優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果很大程度上取決于輸出剛度，被操作對象的剛度存在不確定性，這會(huì)對設(shè)計(jì)的柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)行精度產(chǎn)生影響，因此需降低機(jī)構(gòu)性能對輸出剛度不確定性的敏感程度。CARDOSO等[16]考慮輸出剛度不確定性進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，但是采用蒙特卡羅模擬方法計(jì)算機(jī)構(gòu)輸出位移的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，需要利用大量樣本進(jìn)行不確定性分析，導(dǎo)致優(yōu)化計(jì)算效率低。

本文提出一種新的考慮輸出剛度不確定性的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用區(qū)間模型描述輸出剛度的不確定性，不確定輸出剛度被視為均勻分布的隨機(jī)變量，通過高斯隨機(jī)變量的無記憶非線性變換獲得其均勻分布；采用多項(xiàng)式混沌展開式結(jié)合Smolyak稀疏網(wǎng)格積分法計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩；以機(jī)構(gòu)輸出位移的期望值最大化和標(biāo)準(zhǔn)差最小化為目標(biāo)函數(shù)，以機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)體積為約束，建立考慮輸出剛度不確定性的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化模型；采用移動(dòng)漸近線法更新設(shè)計(jì)變量。

1 輸出剛度不確定性描述

區(qū)間模型[17]只需要指定不確定變量的上界和下界，可以相對容易地確定和描述不確定性的邊界；本文采用區(qū)間模型描述輸出剛度的不確定性，將不確定輸出剛度kout視為均勻分布區(qū)間變量，其可表示為

kout∈kI=[kL,kU]

(1)

式中kI——區(qū)間集

kL——區(qū)間下界

kU——區(qū)間上界

區(qū)間均值與幅值分別記為

(2)

式中k0——輸出剛度均值

kc——輸出剛度幅值

輸出剛度不確定區(qū)間變量可等效轉(zhuǎn)換為均值與隨機(jī)項(xiàng)之和，即

kout=k0+kcδ

(3)

式中δ——均勻分布隨機(jī)變量，取[-1,1]

區(qū)間模型的均勻分布隨機(jī)變量δ可由高斯分布隨機(jī)變量通過無記憶非線性變換[18]得到

(4)

ξ——高斯分布隨機(jī)變量

Φξ——標(biāo)準(zhǔn)高斯變量的累積分布函數(shù)

2 柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化模型

為了降低柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度對輸出剛度不確定性的敏感程度，采用改進(jìn)的固體各向同性材料懲罰模型[19-20]，以機(jī)構(gòu)的輸出位移期望值最大化和輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差最小化為目標(biāo)函數(shù)，以機(jī)構(gòu)體積為約束，建立考慮輸出剛度不確定性的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化模型

(5)

其中

式中ρ——單元密度向量列陣

ρe——第e個(gè)單元的密度

ve——充滿材料的單元體積

λ——加權(quán)系數(shù)

u0——機(jī)構(gòu)輸出位移

μ——機(jī)構(gòu)輸出位移期望值

σ——機(jī)構(gòu)輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差

F——輸入端作用的載荷列陣

U——載荷F作用產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)位移列陣

V——優(yōu)化后體積

V0——初始設(shè)計(jì)域體積

f*——允許的材料體積比

N——有限單元數(shù)目

K——整體剛度矩陣

Ke——單元?jiǎng)偠染仃?/p>

Kin——整體輸入剛度矩陣

Kout——整體輸出剛度矩陣

3 隨機(jī)響應(yīng)求解

不確定性輸出剛度區(qū)間變量由標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量ξ表示，機(jī)構(gòu)的輸出響應(yīng)U(ξ)可采用PCE[21-22]表示為

(6)

式中yi——多項(xiàng)式展開系數(shù)

ψi(ξ)——正交多項(xiàng)式基函數(shù)

正交多項(xiàng)式基函數(shù)滿足

(7)

式中δij——Kronecker delta函數(shù)

E[·]——期望運(yùn)算符

根據(jù)Askey策略[23]，對于不同的隨機(jī)變量分布類型，采用相應(yīng)的正交多項(xiàng)式基函數(shù)，其中對于高斯分布隨機(jī)變量ξi，采用對應(yīng)的Hermite多項(xiàng)式Hαi(ξi)(αi對應(yīng)隨機(jī)變量ξi的多項(xiàng)式階數(shù))，對多個(gè)隨機(jī)參數(shù)，ψi可表示為

(8)

i=(α1,α2，…,αs)

式中s——隨機(jī)變量數(shù)量

i——索引元組

多項(xiàng)式混沌展開的總階數(shù)p計(jì)算式為

p=|i|=α1+α2+…+αs

(9)

數(shù)值計(jì)算中，一般將多項(xiàng)式(6)截?cái)酁橹付A數(shù)，即

(10)

根據(jù)給定的隨機(jī)變量數(shù)量s和多項(xiàng)式階數(shù)p，截?cái)嗪驪CE系數(shù)的項(xiàng)數(shù)表示為

(11)

多項(xiàng)式混沌展開式(6)中系數(shù)yi的表達(dá)是不確定性系統(tǒng)響應(yīng)求解的關(guān)鍵，其表示為

(12)

(13)

式中nq——總積分點(diǎn)數(shù)

ω(q)——積分點(diǎn)對應(yīng)的權(quán)值

U(ξ(q))——特定積分點(diǎn)下的系統(tǒng)響應(yīng)，可通過有限元分析求解獲得

基于Smolyak算法的稀疏網(wǎng)格積分法[25]依據(jù)隨機(jī)變量的不同分布情況采用不同積分規(guī)則的稀疏網(wǎng)格類型，能夠有效地減少計(jì)算成本并保證精度。本文采用Kronrod-Patterson(KP)規(guī)則獲得稀疏網(wǎng)格積分點(diǎn)。輸出位移期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別表示為

(14)

(15)

4 靈敏度分析

采用基于梯度的優(yōu)化算法(Method of moving asymptotes，MMA)[26]求解柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化問題，需要求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束靈敏度信息。

機(jī)構(gòu)輸出位移的期望值對單元密度ρe的靈敏度可表示為

(16)

機(jī)構(gòu)輸出位移的標(biāo)準(zhǔn)差對單元密度ρe的靈敏度可求解為

(17)

其中

(18)

式(18)的每個(gè)特定積分點(diǎn)ξ(q)(q=1,2,…,nq)的確定性輸出位移相對于單元密度的靈敏度?u0(ρ,ξ(q))/?ρe，可由機(jī)構(gòu)輸出位移u0對單元密度求導(dǎo)得到

(19)

(20)

5 數(shù)值算例

通過夾持器與咬合機(jī)構(gòu)來驗(yàn)證提出的設(shè)計(jì)方法的有效性。在兩個(gè)算例中，設(shè)計(jì)域尺寸L×L為 120 μm×120 μm，厚度t為3 μm，實(shí)體材料彈性模量E0為180 GPa，空洞材料彈性模量Emin為1.8×10-7GPa，泊松比μ為0.3，允許體積比f*為0.25，最小過濾半徑rmin為2.5倍單元尺寸；采用四階PCE和基于五級KP規(guī)則的Smolyak稀疏網(wǎng)格積分法計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)。

5.1 夾持器設(shè)計(jì)

夾持器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域、邊界條件和載荷作用如圖1所示，設(shè)計(jì)域左邊的上側(cè)和下側(cè)固定，設(shè)計(jì)域右邊正方形空洞尺寸為30 μm×30 μm，載荷F作用在左邊中點(diǎn)，大小為10 mN，輸入剛度kin為1 000 μN(yùn)/μm，輸出剛度均值k0為100 μN(yùn)/μm。由于夾持器設(shè)計(jì)域是對稱的，取一半設(shè)計(jì)域進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)域離散為 7 200 個(gè)平面四邊形單元。

圖1 夾持器設(shè)計(jì)域Fig.1 Design domain of gripper

為了驗(yàn)證提出的設(shè)計(jì)方法有效性，首先進(jìn)行夾持器確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得的夾持器拓?fù)錁?gòu)型如圖2所示，其輸出位移的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為13.831 μm和0.770 μm?？紤]不確定輸出剛度幅值kc為25 μN(yùn)/μm和加權(quán)系數(shù)λ為10條件下進(jìn)行夾持器穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得的夾持器拓?fù)錁?gòu)型如圖3所示，其輸出位移的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為10.597 μm和0.261 μm。與確定性優(yōu)化結(jié)果相比，穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的夾持器構(gòu)型存在明顯的差異，右側(cè)區(qū)域的支撐桿件布局發(fā)生變化，并且其尺寸變大；夾持器的輸出位移期望值有所減小，但是輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差減少66.2%；表明穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)能夠有效地降低夾持器對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，驗(yàn)證了提出的考慮輸出剛度不確定性的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

圖2 夾持器確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.2 Gripper obtained by deterministic topology optimization

圖3 夾持器穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.3 Gripper obtained by robust topology optimization

為了研究不同的加權(quán)系數(shù)對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果影響，考慮不確定輸出剛度幅值kc為25 μN(yùn)/μm條件下，取加權(quán)系數(shù)λ分別為1、5、15進(jìn)行夾持器穩(wěn)健性設(shè)計(jì)，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖4和表1所示。由此可見，隨著加權(quán)系數(shù)λ的增大，獲得的夾持器構(gòu)型有所不同，右側(cè)區(qū)域的支撐桿件尺寸變大；夾持器的輸出位移的期望值隨之減小，輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差也越小。表明加權(quán)系數(shù)λ越大，可以獲得更加穩(wěn)健的夾持器，但夾持器的輸出位移期望值越小。

圖4 不同加權(quán)系數(shù)λ的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的夾持器構(gòu)型Fig.4 Grippers obtained by results for robust topology optimization with different weighting factor λ

表1 不同加權(quán)系數(shù)λ的夾持器穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Results for robust topology optimization of gripper with different weighting factor λ

考慮加權(quán)系數(shù)λ為5條件下，采用不確定輸出剛度幅值kc分別為20、30、35 μN(yùn)/μm的條件下進(jìn)行夾持器穩(wěn)健性拓?fù)湓O(shè)計(jì)，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖5和表2所示。隨著不確定輸出剛度幅值增大，獲得的夾持器拓?fù)錁?gòu)型差異不大；輸出位移期望值隨之減小，輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差有所增大。穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)獲得的夾持器輸出位移期望值與標(biāo)準(zhǔn)差均比確定性拓?fù)鋬?yōu)化更小。上述結(jié)果表明提出柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法能夠有效地降低夾持器對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，但夾持器輸出位移期望值有所減小。

圖5 不同輸出剛度幅值kc的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的夾持器構(gòu)型Fig.5 Grippers obtained by results for robust topology optimization with different amplitude kc

表2 不同輸出剛度幅值kc的夾持器確定性與穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Tab.2 Results for deterministic and robust topology optimization of gripper with different amplitude kc

5.2 咬合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

咬合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域、邊界條件和載荷作用如圖6所示，設(shè)計(jì)域左邊的上、下兩端固定，載荷F作用在右邊的上、下兩端，大小為20 mN，輸入剛度kin為1 000 μN(yùn)/μm，輸出剛度均值k0為1 000 N/m。由于設(shè)計(jì)域是對稱的，同樣采用一半設(shè)計(jì)域進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)域離散為7 200個(gè)平面四邊形單元。

圖6 咬合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.6 Design domain of crunching mechanism

同樣地，分別進(jìn)行咬合機(jī)構(gòu)確定性和穩(wěn)健性(kc=250 μN(yùn)/μm，λ=10)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型分別如圖7、8所示，輸出位移期望值分別為9.318、7.509 μm，輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.714、0.276 μm。與確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)構(gòu)型存在明顯差異、更加復(fù)雜，存在更多支撐桿件，這樣可以更好地承受輸出剛度擾動(dòng)的影響，具有更好的穩(wěn)健性。穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)輸出位移期望值和標(biāo)準(zhǔn)差均比確定性結(jié)果小，同樣表明穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)能夠有效地降低咬合機(jī)構(gòu)對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，驗(yàn)證了提出的考慮輸出剛度不確定性的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

圖7 咬合機(jī)構(gòu)確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.7 Crunching mechanism obtained by deterministic topology optimization

圖8 咬合機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.8 Crunching mechanism obtained by robust topology optimization

考慮不確定輸出剛度幅值kc=250 μN(yùn)/μm條件下，取加權(quán)系數(shù)λ分別為1、5、15進(jìn)行咬合機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果如圖9和表3所示。由圖9可見，隨著加權(quán)系數(shù)λ增大，穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型更加復(fù)雜，出現(xiàn)更多支撐桿件，承受輸出剛度擾動(dòng)的影響能力更強(qiáng)，具有更好的穩(wěn)健性。由表3可知，隨著加權(quán)系數(shù)λ增大，獲得的咬合機(jī)構(gòu)的輸出位移期望值與標(biāo)準(zhǔn)差均隨之減小。這也說明隨著加權(quán)系數(shù)λ越大，可以獲得更加穩(wěn)健的咬合機(jī)構(gòu)，但是輸出位移期望值越小。

圖9 不同加權(quán)系數(shù)λ的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)Fig.9 Crunching mechanisms obtained by robust topology optimization with different weighting factor λ

表3 不同加權(quán)系數(shù)λ的咬合機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Results for robust topology optimization of crunching mechanism with different weighting factor λ

當(dāng)加權(quán)系數(shù)λ為5時(shí)，考慮不確定輸出剛度幅值kc分別為200、300、350 μN(yùn)/μm進(jìn)行咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖10和表4所示。隨著不確定輸出剛度幅值增大，獲得的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型差異不大；咬合機(jī)構(gòu)輸出位移的期望值隨之減小，輸出位移的標(biāo)準(zhǔn)差有所增大。穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)獲得的咬合機(jī)構(gòu)輸出位移期望值與標(biāo)準(zhǔn)差均比確定性拓?fù)鋬?yōu)化更小。表明提出柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法能夠有效地降低咬合機(jī)構(gòu)對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，但是咬合機(jī)構(gòu)的輸出位移期望值有所減小。

圖10 不同輸出剛度幅值kc的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)構(gòu)型Fig.10 Crunching mechanisms obtained by robust topology optimization with different amplitude kc

表4 不同輸出剛度幅值kc的咬合機(jī)構(gòu)確定性與穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Results for deterministic and robust topology optimization of crunching mechanism with different amplitude kc

6 結(jié)論

(1)為了降低機(jī)構(gòu)性能對輸出剛度不確定因素的敏感程度，采用區(qū)間模型描述輸出剛度的不確定性，利用多項(xiàng)式混沌展開式和Smolyak稀疏網(wǎng)格積分法計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩，以機(jī)構(gòu)輸出位移期望值的最大化和加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的最小化為目標(biāo)函數(shù)，提出一種考慮輸出剛度不確定的柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化方法。

(2)與確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型存在明顯差異，機(jī)構(gòu)的輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差減小，能夠有效地降低機(jī)構(gòu)對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，機(jī)構(gòu)具有更好的穩(wěn)健性，但是輸出位移的期望值也有所減小。

(3)隨著加權(quán)系數(shù)增大，穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型有所不同，機(jī)構(gòu)輸出位移的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差隨之減小，機(jī)構(gòu)具有更好的穩(wěn)健性。隨著不確定輸出剛度幅值增大，獲得的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型差異不大，機(jī)構(gòu)的輸出位移標(biāo)準(zhǔn)差隨之增大，并且輸出位移期望值有所減小。