F/0.78高次非球面零位補(bǔ)償檢測(cè)與投影畸變校正

郝三峰，張建，楊建峰

（1 中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所， 西安 710119）

（2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049）

（3 西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 西安 710071）

0 引言

非球面一般指偏離傳統(tǒng)球面的一類面形，從非球面數(shù)學(xué)表征形式上看，常用的二次非球面的表征需要曲率半徑R和二次系數(shù)K，對(duì)于高次非球面還將進(jìn)一步增添高階項(xiàng)，因此，非球面擁有更多的設(shè)計(jì)自由度，有利于光學(xué)系統(tǒng)的像差校正、輕量化、集成化以及綜合性能的提升［1-2］。近年來(lái)，隨著光學(xué)精密加工技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，非球面憑借其優(yōu)勢(shì)在航空航天、空間望遠(yuǎn)等領(lǐng)域的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中取得了重要應(yīng)用［3］。與此同時(shí)，相比于傳統(tǒng)球面，非球面的高精度加工檢測(cè)也更加復(fù)雜困難，其中，高精度的非球面檢測(cè)是高精度加工的反饋與指導(dǎo)，也是保證非球面光學(xué)系統(tǒng)指標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要保證，因此有必要對(duì)其做進(jìn)一步的研究。

在非球面檢測(cè)方面，目前常用非球面零位干涉檢測(cè)方法包括無(wú)像差點(diǎn)法、零位補(bǔ)償透鏡法、計(jì)算機(jī)全息法（Computer Generated Hologram， CGH）［3］。其中，對(duì)于較大口徑非球面檢測(cè)，無(wú)像差點(diǎn)法需要更大口徑的輔助平面鏡或球面鏡，而大口徑輔助鏡本身加工成本較高、加工困難、周期較長(zhǎng)，且該方法僅適用于二次非球面的檢測(cè)；CGH元件加工制造成本較高，且加工精度和定位精度都會(huì)對(duì)測(cè)量精度產(chǎn)生一定影響［4］；零位補(bǔ)償透鏡法一般采用小口徑的球面透鏡構(gòu)建補(bǔ)償系統(tǒng)，很容易加工到很高的精度，且其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、元件數(shù)少、易于控制。綜合考慮現(xiàn)階段的光學(xué)加工與裝配技術(shù)能力，零位補(bǔ)償透鏡法能夠?qū)崿F(xiàn)高次非球面的高精度檢測(cè)。其中，對(duì)于參數(shù)指標(biāo)嚴(yán)苛的高次非球面，傳統(tǒng)的兩片式補(bǔ)償器不能滿足高檢測(cè)精度需求，因此需要進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)補(bǔ)償透鏡的結(jié)構(gòu)。

對(duì)于非球面的檢測(cè)，不僅需要設(shè)計(jì)滿足非球面檢測(cè)精度需求的補(bǔ)償透鏡，同時(shí)還需要將檢測(cè)結(jié)果用于指導(dǎo)非球面的加工。在零位補(bǔ)償檢測(cè)過程中，零位補(bǔ)償透鏡起到補(bǔ)償非球面法線像差的作用，即：通過零位補(bǔ)償器將由干涉儀出射的球面波轉(zhuǎn)化為沿被測(cè)鏡法線方向的非球面波，經(jīng)反射后再次通過補(bǔ)償器與干涉儀標(biāo)準(zhǔn)波前產(chǎn)生干涉，實(shí)現(xiàn)被測(cè)非球面的高精度檢測(cè)［5］。因被測(cè)非球面鏡曲率隨鏡面坐標(biāo)變化而變化，非球面鏡面坐標(biāo)與干涉儀CCD測(cè)量坐標(biāo)將產(chǎn)生復(fù)雜的非線性關(guān)系，即檢測(cè)數(shù)據(jù)與被測(cè)鏡坐標(biāo)之間存在投影畸變［6］。對(duì)于高精度的非球面確定性加工技術(shù)如磁流變拋光（Magnetorheological Finishing， MRF）［7］、離子束拋光（Ion Beam Figuring， IBF）［8］，投影畸變將會(huì)給非球面拋光反饋錯(cuò)誤修正信息，嚴(yán)重影響確定性拋光效率與精度，因此必須予以校正。

目前，常用的非球面檢測(cè)投影畸變校正方法大多基于圖像校正原理［9］，主要包括兩類方法：1）標(biāo)定法，該方法通過使用Fiducial標(biāo)定［6］、基準(zhǔn)蒙片［10］以及被測(cè)鏡面上實(shí)物標(biāo)記等［11］方式獲得多個(gè)等間距標(biāo)記點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量后可獲得對(duì)應(yīng)標(biāo)記點(diǎn)的畸變位置分布，結(jié)合正交多項(xiàng)式［12-13］擬合畸變規(guī)律可實(shí)現(xiàn)畸變校正；2）光線追跡法，通過對(duì)檢測(cè)光路光線追跡獲得補(bǔ)償器出射端波前與被測(cè)鏡對(duì)應(yīng)點(diǎn)的多個(gè)坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)，并根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合投影畸變函數(shù)，然后通過仿射變換［14］、畸變中心求解［15-16］等方式實(shí)現(xiàn)畸變校正。其中，標(biāo)定法若想實(shí)現(xiàn)高精度的畸變校正，需要足夠多的標(biāo)定點(diǎn)，且工程實(shí)際操作較為費(fèi)時(shí)；光線追跡法能夠較為方便地獲得投影畸變函數(shù)，但畸變中心點(diǎn)求解與后續(xù)數(shù)據(jù)處理仍較為復(fù)雜。因此，需要有更加方便、快速的畸變校正方法來(lái)實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償檢測(cè)的畸變校正。

綜合考慮高次非球面的檢測(cè)與確定性加工需求，本文針對(duì)有效口徑314 mm、F/0.78的8階偶次非球面的零位補(bǔ)償檢測(cè)與投影畸變校正進(jìn)行了系統(tǒng)研究。一方面，基于三級(jí)像差理論與PW法推導(dǎo)了高次非球面三片式補(bǔ)償器初始結(jié)構(gòu)的計(jì)算公式，并根據(jù)初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行縮放、優(yōu)化后獲得了PV=0.009 6λ，RMS=0.001 2λ的補(bǔ)償器設(shè)計(jì)結(jié)果，公差分析表明，此設(shè)計(jì)可滿足高次非球面面形檢測(cè)精度需求。另一方面，為滿足高次非球面確定性加工的需求提出了一種投影畸變校正方法，結(jié)合補(bǔ)償透鏡的成像畸變規(guī)律與畸變零點(diǎn)求解算法，可方便地實(shí)現(xiàn)投影畸變的快速校正?；诨冃ＵY(jié)果指導(dǎo)磁流變確定性加工，經(jīng)過6次拋光后實(shí)現(xiàn)了RMS≤λ/50的面形加工結(jié)果，驗(yàn)證了所提畸變校正方法的有效性。

1 高次非球面零位補(bǔ)償檢測(cè)

1.1 高次非球面參數(shù)

一光學(xué)系統(tǒng)的主鏡采用有效口徑為314 mm的8階高次非球面，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，ρ為非球面徑向半徑，Z(ρ)為非球面矢高，R為非球面中心曲率半徑，K為二次非球面系數(shù)，A4、A6、A8分別為4階、6階和8階非球面系數(shù)，具體參數(shù)如表1所示。

表1 高次非球面參數(shù)Table 1 Parameters of high-order aspheric surface

非球面的檢測(cè)與加工難度主要與非球面度、非球面度梯度、被測(cè)鏡的F數(shù)等因素有關(guān)［17-18］，根據(jù)表1主鏡參數(shù)繪制非球面度和非球面度梯度曲線，如圖1所示。其中非球面度最大值為0.139 mm，非球面梯度最大值為0.007 5，對(duì)于口徑314 mm的高次非球面，其非球面度與非球面梯度都較大，同時(shí)考慮到被測(cè)鏡F數(shù)約為0.78，一般的兩片式補(bǔ)償透鏡無(wú)法實(shí)現(xiàn)高精度的檢測(cè)需求。綜合考慮非球面法線像差補(bǔ)償與加工裝配水平，三片式補(bǔ)償透鏡結(jié)構(gòu)能夠提供有效的解決方案。

圖1 非球面度和非球面陡度Fig.1 Plot of the asphericity and asphericity slope

1.2 三片式補(bǔ)償器初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法

三片式補(bǔ)償器的一種結(jié)構(gòu)形式如圖2所示。圖中4為待檢高次非球面，補(bǔ)償透鏡1、補(bǔ)償透鏡2與補(bǔ)償透鏡3共同起到補(bǔ)償非球面法線像差的作用。在檢測(cè)過程中，光線由點(diǎn)O出發(fā)，經(jīng)過補(bǔ)償透鏡1、2、3折射后沿非球面法線入射，經(jīng)非球面反射后沿原路返回至點(diǎn)O。由于非球面補(bǔ)償器檢測(cè)系統(tǒng)僅涉及軸上點(diǎn)球差的校正，因此，基于三級(jí)像差理論和PW法可以較為方便地求解補(bǔ)償器初始結(jié)構(gòu)參數(shù)［19］，然后將初始結(jié)構(gòu)參數(shù)帶入光學(xué)設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行縮放、優(yōu)化后可得到最終設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖 2 基于三片式補(bǔ)償器的高次非球面檢測(cè)Fig.2 High order aspheric surface testing with three-piece lens null compensator

根據(jù)三級(jí)像差理論，令高次非球面補(bǔ)償檢測(cè)系統(tǒng)球差系數(shù)SΙ=0，則有

式中，Kb為高次非球面的二次比較面的二次系數(shù)，計(jì)算公式為

式中，n4、n4＇分別為光線入射和出射高次非球面材料的折射率，r4=R為高次非球面頂點(diǎn)曲率半徑，eb2為Kb所對(duì)應(yīng)的非球面偏心率平方，ρmax為高次非球面徑向半徑的最大值，Z(ρmax)為徑向半徑ρmax處對(duì)應(yīng)的非球面矢高。h1、h2、h3分別為補(bǔ)償透鏡1、2、3的正向光線入射高度，h7、h6、h5分別為補(bǔ)償透鏡1、2、3的反向光線入射高度，h4為被測(cè)鏡的光線入射高度，由圖2可知光線入射高度應(yīng)滿足條件

P1、P2、P3為補(bǔ)償透鏡1、2、3的正向初級(jí)球差系數(shù)，P7、P6、P5為補(bǔ)償透鏡1、2、3的反向初級(jí)球差系數(shù)，初級(jí)球差系數(shù)的定義為

式中，ui與ui＇表示對(duì)應(yīng)光線的入射角和出射角，ni與ni＇表示對(duì)應(yīng)材料的折射率。由式（5）可知，任一補(bǔ)償透鏡的正向與反向初級(jí)球差系數(shù)相等，即滿足以下條件

將條件（4）與（6）以及?n4＇=n4=1帶入式（2）化簡(jiǎn)可得

為便于計(jì)算，對(duì)補(bǔ)償器檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行如下規(guī)劃

式中，h0、r0分別為被測(cè)非球面的歸一化光線入射高度和歸一化半徑。定義補(bǔ)償透鏡1、2、3與被檢高次非球面的光束孔徑高度之比為α1、α2、α3，垂軸放大率分別為β1、β2、β3，公式為

根據(jù)式（8）、（9）進(jìn)一步化簡(jiǎn)式（7）可得

引入非球面像差分擔(dān)因子m1，m2，m3，令α1P1=?m1eb2，α2P2=?m2eb2，α3P3=?m3eb2，則有

在補(bǔ)償檢測(cè)系統(tǒng)中，補(bǔ)償器的總偏轉(zhuǎn)角等于每個(gè)透鏡產(chǎn)生的偏角之和，關(guān)系可以表示為

通過以上公式可知，補(bǔ)償器初始結(jié)構(gòu)與非球面像差分擔(dān)因子、光束孔徑高度比、垂軸放大率三類參數(shù)的設(shè)定相關(guān)，具體參數(shù)設(shè)定值可依據(jù)實(shí)際情況而定。

進(jìn)一步地，為求解補(bǔ)償透鏡的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別對(duì)補(bǔ)償透鏡初級(jí)球差系數(shù)Pj和角度uj進(jìn)行規(guī)化，有

規(guī)劃后角度為

假設(shè)補(bǔ)償透鏡1、2、3的材料折射率為n，透鏡彎曲系數(shù)Qj(j=1，2，3)和Pˉj(j=1，2，3)關(guān)系式為［20］

其中

由式（12）可知補(bǔ)償透鏡的光焦度φj(j=1，2，3)關(guān)系為

由透鏡彎曲系數(shù)Qj(j=1，2，3)和光焦度φj(j=1，2，3)可計(jì)算補(bǔ)償透鏡的曲率半徑為

補(bǔ)償透鏡之間距離的規(guī)劃值為

將基于上述公式計(jì)算獲得的規(guī)劃條件下的補(bǔ)償透鏡曲率半徑和透鏡間隔代入光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，再通過縮放、加厚優(yōu)化的可獲得三片式補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)結(jié)果。

1.3 三片式補(bǔ)償器設(shè)計(jì)實(shí)例

根據(jù)表1高次非球面參數(shù)和式（3）計(jì)算可知二次比較面的二次系數(shù)Kb≈0.6218，同時(shí)，為便于補(bǔ)償器初始結(jié)構(gòu)參數(shù)求解，對(duì)以上公式進(jìn)行編程設(shè)計(jì)，程序界面如圖3所示。綜合考慮補(bǔ)償鏡口徑、非球面像差分擔(dān)比例，分別設(shè)定初始結(jié)構(gòu)參數(shù)α1=0.08，α2=0.1，α3=0.12，β=0.08，β1=0.4，β2=0.5，m1=0.2，m2=0.35，補(bǔ)償透鏡材料為HK9L，將計(jì)算結(jié)果代入ZEMAX軟件，獲得初始結(jié)構(gòu)光路如圖4所示。驗(yàn)證檢測(cè)系統(tǒng)SΙ=0，然后根據(jù)初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行縮放、改二次比較面非球面系數(shù)為實(shí)際高次非球面系數(shù)、加厚優(yōu)化后獲得最終補(bǔ)償器設(shè)計(jì)結(jié)果，其詳細(xì)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。最終系統(tǒng)的光路圖與殘余波像差如圖5所示，其中殘余波像差為0.001 2λ，遠(yuǎn)小于高次非球面λ/50的面形精度要求。

圖 5 補(bǔ)償器最終設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.5 The final design results of three-piece lens compensator

表2 補(bǔ)償器結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structure data of null lens compensator

圖 3 初始結(jié)構(gòu)計(jì)算程序界面Fig.3 The interactive interface of initial structural parameters calculation program

圖 4 初始結(jié)構(gòu)光路圖Fig.4 Optical layout with initial structure parameters

1.4 公差分析

為保證高次非球面面形檢測(cè)精度的可靠性，采用統(tǒng)計(jì)平方公差法（Root Sum Squares， RSS）［21］對(duì)補(bǔ)償器進(jìn)行公差分析。已知基于補(bǔ)償器檢測(cè)非球面的誤差源主要包括補(bǔ)償器元件的加工、裝配、材料、干涉儀標(biāo)準(zhǔn)面參考面誤差等，其中元件裝配偏心與傾斜引入的是非對(duì)稱誤差，在軸對(duì)稱非球面加工過程中通常不會(huì)存在非對(duì)稱像差，可通過干涉儀軟件將其剔除以最大程度消除偏心與傾斜的影響；元件加工誤差包括曲率半徑、厚度與面形誤差，其中面形誤差屬于補(bǔ)償器的隨機(jī)誤差，對(duì)于非球面檢測(cè)的影響較大，假設(shè)透鏡面形誤差為δ，透鏡面形誤差對(duì)被測(cè)非球面面形誤差的影響表示為

另一方面，材料折射率非均勻性也屬于隨機(jī)誤差，對(duì)非球面面形檢測(cè)的影響也較大，設(shè)材料折射率非均勻性為Δn，厚度為t，材料非均勻性引起的檢測(cè)波前PV值變化為nPV，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，PV值約為RMS值的5～10倍，按照保守原則取6倍，則由材料非均勻引入的波像差可表示為

進(jìn)一步地，結(jié)合光學(xué)設(shè)計(jì)軟件分析其余不同參數(shù)的公差對(duì)非球面面形檢測(cè)的影響，其RSS計(jì)算值約為0.017λ，對(duì)應(yīng)公差靈敏度分析結(jié)果如表3所示。在單項(xiàng)公差符合正態(tài)分布的合理假設(shè)下，上述統(tǒng)計(jì)公差法計(jì)算值符合3σ原則［22］，即在99.73%概率下補(bǔ)償器能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)于0.017λ的檢測(cè)精度，因此，在現(xiàn)有光學(xué)加工與裝配能力條件下可以保證非球面的檢測(cè)精度，其補(bǔ)償器公差值匯總?cè)绫?所示。其中，補(bǔ)償器元件面形精度要求較高，采用4英寸ZYGO VeriFireTM干涉儀測(cè)量，所使用的干涉儀標(biāo)準(zhǔn)球面鏡頭的F數(shù)以及有效口徑如表5所示。

表3 零位補(bǔ)償器公差靈敏度分析Table 3 Tolerances and error budget for null lens compensator

表4 補(bǔ)償器公差值Table 4 Tolerances of null lens compensator

表5 用于零位補(bǔ)償器元件面形測(cè)量的ZYGO標(biāo)準(zhǔn)鏡頭參數(shù)Table 5 Parameters of ZYGO transmission spheres for testing surface irregularity of null lens compensator

2 基于補(bǔ)償器的畸變校正

基于三片式補(bǔ)償器設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行元件加工與裝配，構(gòu)建實(shí)際檢測(cè)系統(tǒng)如圖6（a）所示，由此檢測(cè)系統(tǒng)獲得高次非球面的面形檢測(cè)結(jié)果如圖6（b）所示，其PV=2.190λ，RMS=0.270λ，與目標(biāo)面形精度有一定差距，因此需要根據(jù)此面形誤差分布圖進(jìn)行光學(xué)拋光以進(jìn)一步提高面形精度。但由于補(bǔ)償器檢測(cè)結(jié)果存在投影畸變，即實(shí)際面形誤差分布與檢測(cè)結(jié)果存在位置偏移，因此直接獲得的檢測(cè)結(jié)果無(wú)法直接用于指導(dǎo)高次非球面的確定性拋光，必須對(duì)映射畸變進(jìn)行校正?；谘a(bǔ)償器的成像畸變和畸變零點(diǎn)求解算法，本文提出了一種快速畸變校正方法，以下將對(duì)此方法做進(jìn)一步描述。

圖 6 三片式零位補(bǔ)償透鏡檢測(cè)高次非球面Fig.6 High-order aspheric surfaces testing with three-piece lens compensator

2.1 補(bǔ)償器的成像畸變

干涉儀內(nèi)部畸變相比于零位補(bǔ)償器引入的畸變非常?。?3］，因此，可認(rèn)為補(bǔ)償器出射端波前面形fr(xr，yr)與干涉儀CCD測(cè)量波前面形fCCD(xCCD，yCCD)成線性關(guān)系，則投影畸變函數(shù)可表示為出射端波前面形fr(xr，yr)和被測(cè)非球面鏡波前面形fmirror(xm，ym)中坐標(biāo)的映射關(guān)系，表示為

考慮到補(bǔ)償器不僅起到補(bǔ)償非球面法線的作用，同時(shí)其還具有成像功能的作用［24］，為了能夠更加快速直接獲得投影畸變規(guī)律，本文中采用成像分析的方式確定投影畸變。通過對(duì)檢測(cè)光路進(jìn)行逆向翻轉(zhuǎn)，并將光闌設(shè)定于干涉儀焦點(diǎn)上，使系統(tǒng)成為以被測(cè)鏡為物面的成像系統(tǒng)，如圖7（a）所示。由此可直接獲得關(guān)于像面中心對(duì)稱的畸變函數(shù)

2.2 畸變對(duì)稱中心求解

由補(bǔ)償器成像畸變分析可知，投影畸變關(guān)于非球面中心對(duì)稱，畸變?cè)硎疽鈭D如圖8所示。其中藍(lán)色實(shí)體部分代表包含投影畸變的實(shí)際檢測(cè)圖大小，藍(lán)色虛線內(nèi)部區(qū)域代表無(wú)畸變的檢測(cè)圖大小，畸變中心點(diǎn)O坐標(biāo)為(xO，yO)，實(shí)際檢測(cè)圖中任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xk，yk)，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的無(wú)畸變點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(xc，yc)，則由式（24）可知

圖 8 畸變?cè)硎疽鈭DFig.8 Schematic diagram of distortion principle

式中，θ為P點(diǎn)(xk，yk)相對(duì)于畸變中心點(diǎn)O的極角值。

對(duì)于式（25），投影畸變函數(shù)可以通過補(bǔ)償器成像畸變曲線確定，實(shí)際檢測(cè)結(jié)果任一點(diǎn)坐標(biāo)(xk，yk)也方便獲得，若畸變中心點(diǎn)坐標(biāo)(xO，yO)已知，則可獲得任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的無(wú)畸變點(diǎn)坐標(biāo)，公式為

根據(jù)畸變?cè)砜芍?，畸變中心也是干涉圖的幾何中心，因此，求出干涉圖的幾何中心點(diǎn)坐標(biāo)即可利用式（26）實(shí)現(xiàn)干涉圖的畸變校正。理想情況下，干涉圖邊界應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)圓形，根據(jù)干涉圖的半徑值便可方便求解中心點(diǎn)坐標(biāo)，但實(shí)際干涉圖的邊界數(shù)據(jù)并不為連續(xù)光滑，不能僅通過半徑值準(zhǔn)確確定畸變中心坐標(biāo)。為此，本文采用基于邊界數(shù)據(jù)二維圓擬合算法來(lái)求解畸變中心。

假設(shè)已知干涉圖邊界N個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(xk，yk)(k=1，2，…，N)，待求解畸變中心坐標(biāo)為(xO，yO)，理論干涉圖半徑為r，任意邊界點(diǎn)(xk，yk)距畸變中心距離與理論半徑的差表示為

由最小二乘法原理可知，最優(yōu)化參數(shù)組(xO，yO，r)應(yīng)滿足最小二乘條件使殘余誤差和最小，即

進(jìn)一步由極值條件可將式（28）轉(zhuǎn)化為方程組

求解方程組（29）便可求解最優(yōu)化擬合圓參數(shù)組，進(jìn)而可實(shí)現(xiàn)基于零位補(bǔ)償透鏡檢測(cè)的畸變校正。

2.3 畸變校正實(shí)例

首先，基于補(bǔ)償器成像畸變曲線數(shù)據(jù)采用8階多項(xiàng)式擬合畸變函數(shù)，如圖9（a）所示。擬合曲線與畸變點(diǎn)數(shù)據(jù)一致，最大擬合誤差不超過3.4×10-5，對(duì)于畸變校正的影響可以忽略不計(jì)。進(jìn)一步地，提取干涉檢測(cè)圖的邊界點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，根據(jù)畸變中心求解算法擬合干涉圖邊界幾何圓并確定中心坐標(biāo)，如圖9（b）所示?；诨兒瘮?shù)與中心點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，利用上述畸變校正方法流程對(duì)干涉圖中任一點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行畸變校正，經(jīng)過數(shù)據(jù)插值后可獲得畸變校正后的干涉圖，如圖9（c）所示。為對(duì)比畸變校正效果，在校正前的干涉圖中選取面形誤差Z值為0.169λ的一點(diǎn)，其坐標(biāo)值為（19， 212），如圖9（d）所示，同時(shí)在校正后的干涉圖中選取同一Z值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，其坐標(biāo)值為（36， 260）。考慮到校正前后干涉圖半徑對(duì)應(yīng)的像素?cái)?shù)不同的線性縮放比例，則校正前后兩點(diǎn)相對(duì)于干涉圖邊界的距離差值約為36?19×260/212≈12.7個(gè)像素，因此，校正后的干涉圖沿徑向?qū)υ葔嚎s的數(shù)據(jù)進(jìn)行了有效的拉伸，特別是畸變量較大的圖像邊界，拉伸效果更加明顯。

進(jìn)一步地，利用畸變校正數(shù)據(jù)指導(dǎo)磁流變對(duì)高次非球面進(jìn)行確定性拋光，如圖10（a）所示。同時(shí)，為驗(yàn)證畸變校正方法有效性，記錄了根據(jù)畸變校正拋光后面形精度隨拋光次數(shù)的變化，如圖10（b）所示。經(jīng)過6次拋光后，高次非球面有效孔徑內(nèi)面形的PV和RMS分別由2.117λ和0.270λ收斂至0.190λ和0.019λ，面形誤差的收斂效果較好，說明畸變校正結(jié)果能夠有效指導(dǎo)高次非球面的加工，最終檢測(cè)結(jié)果如圖10（c）所示。

圖 9 干涉檢測(cè)圖的畸變校正Fig.9 Mapping distortion correction of interferometeric map

圖 10 基于畸變校正的確定性加工Fig.10 Optical deterministic polishing based on distortion correction map

3 結(jié)論

針對(duì)高次非球面零位補(bǔ)償檢測(cè)以及干涉檢測(cè)圖指導(dǎo)確定性加工的實(shí)際需要，提出了高次非球面三片式零位補(bǔ)償器初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法和零位補(bǔ)償檢測(cè)的投影畸變校正方法。基于三級(jí)像差理論與PW法推導(dǎo)了三片式補(bǔ)償器初始結(jié)構(gòu)計(jì)算公式，并利用MATLAB對(duì)公式進(jìn)行了編程。針對(duì)口徑314 mm、F/0.78的8階高次非球面計(jì)算了初始結(jié)構(gòu)，基于初始結(jié)構(gòu)優(yōu)化獲得了PV=0.009 6λ，RMS=0.001 2λ的補(bǔ)償器設(shè)計(jì)結(jié)果，公差分析表明設(shè)計(jì)結(jié)果滿足高次非球面的檢測(cè)精度要求。另外，利用補(bǔ)償器成像畸變曲線數(shù)據(jù)與畸變零點(diǎn)求解算法實(shí)現(xiàn)了零位補(bǔ)償檢測(cè)圖的快速畸變校正，基于畸變校正結(jié)果指導(dǎo)磁流變拋光機(jī)對(duì)高次非球面進(jìn)行確定性加工，經(jīng)過6次拋光后非球面面形的RMS由0.270λ收斂至0.019λ，表明了畸變校正結(jié)果對(duì)于指導(dǎo)確定性加工的有效性。本文研究對(duì)于高次非球面的零位檢測(cè)以及確定性加工具有參考意義。