融通與思辨：HPM視域下數(shù)學(xué)化思維的探索與實踐

蘇龍霞

（福建省廈門市寨上小學(xué)）

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）指的是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育。華東師范大學(xué)汪曉勤教授研究團隊指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史有六大價值——知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效。這些足可見融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別是數(shù)學(xué)思維的影響。數(shù)學(xué)思維（數(shù)學(xué)化思維）即“人類對數(shù)學(xué)的認識過程，是大腦不斷反映轉(zhuǎn)化的過程,是人們從事數(shù)學(xué)活動（一般指研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和講授數(shù)學(xué)的活動）中的理性認識過程,是人們形成數(shù)學(xué)思維形式、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)理論的思維過程”。有學(xué)習(xí)就有思維的參與。南京大學(xué)鄭毓信教授認為，“只有幫助學(xué)生數(shù)學(xué)化的思維，才能更深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的意義，才能真正從‘冰冷的美麗’到‘火熱的思考’”“教師應(yīng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生改進思維，達到數(shù)學(xué)化的思維”。根據(jù)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種基本方式，教師應(yīng)更好地引導(dǎo)和幫助學(xué)生進行數(shù)學(xué)化思維，真正實現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

一、附加式融入——引趣與導(dǎo)思

數(shù)學(xué)的發(fā)展是一部充滿曲折和智慧的歷史，每一個數(shù)學(xué)知識的背后都印記著先哲們的努力與奮斗，在其發(fā)現(xiàn)探究過程中，本身就附帶著一個個迷人的故事，這些故事、人物、史實應(yīng)在適當?shù)臅r機分享給學(xué)生，也就是附加式融入的數(shù)學(xué)史教學(xué)方式。附加式融入就是利用圖片、語言和視頻等方式，以外部介紹傳輸?shù)男问絺鬟f給學(xué)生數(shù)學(xué)史知識，使學(xué)生體會“在數(shù)學(xué)里，有美不勝收的故事；在故事里,有美不勝收的數(shù)學(xué)”。附加式融入的主要特點是把數(shù)學(xué)史作為課堂教學(xué)的一個有益補充，課堂中這些與內(nèi)容相關(guān)的、有意義的數(shù)學(xué)故事，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以使數(shù)學(xué)富有人文色彩，激發(fā)學(xué)生的興趣，啟發(fā)思考。

翻看人教版數(shù)學(xué)教材，在“你知道嗎”欄目中有許多數(shù)學(xué)史的介紹，這些內(nèi)容可以采用以附加式融入為主的方式進行教學(xué)。還有一些與數(shù)學(xué)有關(guān)的名言、數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)符號等趣味橫生的資源也可同時融入。如學(xué)習(xí)“位置與方向”時，教師可引入“笛卡爾病床上蒼蠅位置標示”的故事；在學(xué)習(xí)“大數(shù)的認識”時，教師可講述“阿基米德數(shù)沙?！钡膫髡f；在學(xué)習(xí)“圓面積”時，教師可引入開普勒的故事。再如，教師還可適時引入古希臘畢達哥拉斯的“完美數(shù)”，笛卡爾的“愛情表達式”，“站在巨人肩膀”的牛頓，“數(shù)學(xué)界的莎士比亞”歐拉，等等。這些都可促使學(xué)生產(chǎn)生美好遐想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣，同時促使他們產(chǎn)生“怎么會那樣”等疑問，從而產(chǎn)生進一步探究為什么的興趣。

例如，“年月日”的教學(xué)中，教師就可以以附加式融入為主的方式融入數(shù)學(xué)史料。在了解學(xué)生“關(guān)于年月日知道了什么”的認知起點的基礎(chǔ)上，教師可用視頻等形式引入年月日的來歷以及年月日的產(chǎn)生與太陽、月亮、地球公轉(zhuǎn)及自轉(zhuǎn)的關(guān)系，還有因而引發(fā)的月圓月缺的故事。古人是從先熟悉日到月再到年的，學(xué)生學(xué)習(xí)的順序也是“日、月、年”，這與人類的生活性、自然性是吻合的。同時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生建立度量單位學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)，即從大到小再到更小的認知過程，要引發(fā)學(xué)生思考“凱撒和奧古斯是怎么動日歷的？”“大月小月平月是怎么來的？”“你會自己制作日歷嗎？”等，使學(xué)生在鏈接歷史中豐富認知，啟迪思考。

二、復(fù)制式融入——體驗與感悟

數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中有許多關(guān)于名題和熱議問題的解答與爭論，其中發(fā)生的故事更是不勝枚舉。教學(xué)中，教師針對對應(yīng)的知識直接呈現(xiàn)歷史上曾出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題或者數(shù)學(xué)解法，這就是復(fù)制式融入。復(fù)制式融入是讓學(xué)生在與先哲的對話中，找尋解題的方法和規(guī)律，感悟歷史的探索過程，體會歷史的沉淀。復(fù)制式融入運用方式的特點是直接采用。學(xué)生必須去解讀古語所傳達的信息，轉(zhuǎn)化成現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言，再經(jīng)歷分析比較等思維過程，對比中感悟古人的解答智慧，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)教材上也有很多可以利用復(fù)制式融入進行數(shù)學(xué)史相關(guān)教學(xué)的內(nèi)容（如表1）。歷史上的名題往往也可以采用這種方法，如人教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊的“雞兔同籠”問題即是直接的復(fù)制式采用。再如，學(xué)習(xí)行程問題時，也可以直接采用《計算之書》中的兩船相遇問題。而在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘法時，還可以采用古代格子算法等，努力實現(xiàn)學(xué)生的體驗感悟，促使其更深刻地進行思考。

表1 人教版各冊適合復(fù)制式融入教學(xué)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容

在學(xué)習(xí)“雞兔問題”時，出示古題之后，教師可以讓學(xué)生先自由解讀，理解題意，然后獨立思考怎么解答。在學(xué)生陸續(xù)得到表格法、畫圖法、假設(shè)法等方法并交流其異同與聯(lián)系后，教師可先對比《孫子算經(jīng)》的算法，將所有動物的腳數(shù)除以2，也就是94÷2=47。每只雞有一對腳，兔子有兩對腳。然后，假設(shè)所有的動物都是雞的話，就應(yīng)該有35對腳，但事實上有47對腳。如果將一只雞換成一只兔子的話，用47減去35，得到12，說明需要有12只雞被換成兔子，這就是兔子的數(shù)目。最后，引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么可以這樣解答？”學(xué)生將很容易就能得到其實際上是假設(shè)法的運用。在此基礎(chǔ)上，教師還可以介紹古人的其他想法——抬腿法、吹哨法、砍足法等，使學(xué)生在一一對比中，升華認識，感悟成長。

三、順應(yīng)式融入——探究與思辨

數(shù)學(xué)發(fā)展源遠流長，有些材料經(jīng)過適當編制或根據(jù)數(shù)學(xué)問題進行改編，會成為很好的學(xué)習(xí)素材，從而體現(xiàn)“古為今用、推陳出新”，這就是順應(yīng)式融入。順應(yīng)式融入的主要特點是根據(jù)課堂教學(xué)的需求對原始文獻進行改編，這類材料從表面上看已經(jīng)沒有了歷史的痕跡，但它們既傳承了歷史的精神，又順應(yīng)了時代的要求，還在仿真對比中使學(xué)生學(xué)會求知，發(fā)展思維。

順應(yīng)式融入適用于跟歷史上方法近似、情境相同或知識點一樣的素材使用，可以根據(jù)材料創(chuàng)編為新課的例題，也可以改編問題為練習(xí)題用，或在方法的推介上運用。如表2的列舉即教材中適合使用順 應(yīng)式融入的數(shù)學(xué)史內(nèi)容。

表2 人教版各冊適合順應(yīng)式融入教學(xué)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容

在學(xué)習(xí)“三角形面積”時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解面積的歷史并借鑒歷史上三角形面積的計算方法（如下頁表3）。面積計算的產(chǎn)生源于生活生產(chǎn)的需要，因為尼羅河河水的泛濫，造成土地面積劃分困難，因此才有面積計算的需求。創(chuàng)設(shè)這樣的情境導(dǎo)入，加上出示一組平行線間兩個規(guī)范的平行四邊形和三角形（改編于《幾何原本》），可激發(fā)學(xué)生對計算學(xué)習(xí)的需求，也可使他們聯(lián)想到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活實際問題——“要想知道它們的面積，需要測量什么？”進而在得出倍比法的同時對比割補法以及對古人方法的評價與分析?！氨容^分類就是一種有效的思維過程”，通過仿真比較，能更好地促使學(xué)生反思，實現(xiàn)其思維的成長。

表3 歷史上三角形面積的計算方法

四、重構(gòu)式融入——建構(gòu)與融通

歷史相似性告訴我們，學(xué)生在學(xué)習(xí)中碰到的困難往往就是數(shù)學(xué)家們當時遇到的困難。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，借鑒或者重構(gòu)知識最原始的發(fā)生、發(fā)展過程，能夠?qū)⒅R所包含的最核心的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)出來，從而呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識的自然發(fā)生過程。在重演歷史中嘗試建構(gòu)知識體系，能真正融通數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橋梁，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

人教版數(shù)學(xué)教材在“你知道嗎”“數(shù)學(xué)廣角”等板塊都有專門的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，而且都是配合本單元相關(guān)學(xué)習(xí)的內(nèi)容有序、成體系的安排。結(jié)合相關(guān)內(nèi)容（如下頁表4）的學(xué)習(xí)，教師可以以重構(gòu)式融入的方法為主組織教學(xué)。在重構(gòu)式融入教學(xué)中，學(xué)生將在真實情境中獲得“古為今用”的美好體會，不僅體現(xiàn)了歷史發(fā)生法，更使學(xué)生通過探究和不斷調(diào)整，建構(gòu)自己的知識體系，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

表4 人教版各冊適合重構(gòu)式融入教學(xué)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容

度量的發(fā)展史，是從抽象的單位如幾個、幾頭、幾種等到利用工具得到實質(zhì)測量。最初的距離測量都是用人身體上的器官作為測量工具的，如“拃”（尺）、“咫”（成年女人大拇指與中指之間的距離）等。而“英尺”的界定，則是16世紀的德國人在某禮拜日把從教堂里走出的16個成年男子集中在一起，測量每人左腳的長度、加在一起取平均值來定義的，這個通過平均值來得到的長度一直延續(xù)使用至今。為此，在設(shè)計測量教學(xué)時，就可以重構(gòu)歷史的鏡頭，“你在一個關(guān)閉的只有一扇門和一個窗的房間里，又沒有任何可以參照的前提下，怎么告訴別人窗有多高，門有多寬？”從而引發(fā)學(xué)生思考：可以用手臂長、兩腳張開的長等來大約說出其寬和高。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了古人的困境，學(xué)會了分析、辯證，最終建構(gòu)起度量最本質(zhì)的特征——測量單位的確定與累積，從而也融通了古今對照。

當然，我們應(yīng)該清楚數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，不是只有單一的融入方式，也不是只有教材上所呈現(xiàn)的顯性的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，而更重要的是“為教育的歷史”“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”的意識與觀念。在實際教學(xué)中，我們應(yīng)該針對不同教材內(nèi)容的不同知識特征，收集更多的數(shù)學(xué)史材料，尋找更多靈活搭配融通的運用方式。只有這樣，才能真正實現(xiàn)“智力教育是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命”，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)化的思維和核心素養(yǎng)的發(fā)展。