星型人字齒輪傳動系統(tǒng)非線性分岔特性

白壯華， 林 何,2*

(1.西安工程大學 機電工程學院， 陜西 西安 710048；2.西安工程大學 西安市現(xiàn)代智能紡織裝備重點實驗室， 陜西 西安 710600)

齒輪裝置廣泛應用于大型重工機械和小型精密儀器等領域中，齒輪系統(tǒng)在各種非線性因素耦合干擾下，產(chǎn)生的振動和噪聲極大地惡化了工作環(huán)境，因此為改善齒輪系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性及傳動噪聲，對齒輪系統(tǒng)動力學特性研究和優(yōu)化是非常必要的[1-3]。星型人字齒輪傳動系統(tǒng)因其功率密度高、傳動比大和結構強度優(yōu)等特點常應用于重載和可靠性要求高的設備中。為了解星型齒輪系統(tǒng)振動分岔行為，改善其響應性態(tài)，很多國內外學者對其動力學行為和振動特性進行了研究和優(yōu)化[4-5]。Kahrarman[6]建立了單級行星齒輪傳動系統(tǒng)的純扭轉動力學方程，通過數(shù)值求解得到了行星齒輪傳動系統(tǒng)的模態(tài)和振型；邱星輝等[7]從研究現(xiàn)狀、動力學優(yōu)化設計和發(fā)展方向等方面對風力發(fā)電機行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學進行了綜述；林何等[8]推導了行星人字齒輪嚙合傳動的時變嚙合剛度動態(tài)梯形圖，建立了人字齒行星齒輪傳動的扭轉非線性動力學模型，并對系統(tǒng)擬周期振動特性進行了分析；李同杰等[9]建立了直齒行星齒輪傳動純扭轉動力學模型，分析了激勵頻率、齒側間隙對該系統(tǒng)動力學特性的影響。Wei等[10]利用虛擬等效軸單元的動力學建模方法構建了人字齒行星齒輪系統(tǒng)的動力學模型；Mo等[11]基于集中參數(shù)理論和Lagrange方法建立了人字齒行星傳動系統(tǒng)的動力學模型。

為研究嚙合阻尼比對星型人字齒輪系統(tǒng)分岔特性的影響，課題組建立了星型人字齒輪系統(tǒng)純扭轉非線性動力學模型，利用Runge-Kutta法對動力學微分方程數(shù)值求解，通過不同轉速下系統(tǒng)的相圖、龐加萊(Poincaré)截面和分岔圖對系統(tǒng)分岔演化過程進行研究，分析不同轉速條件下嚙合阻尼比對系統(tǒng)振動響應及分岔特性的影響。

1 系統(tǒng)非線性動力學模型

課題組采用集中質量法建立星型人字齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學模型，系統(tǒng)端面動力學模型如圖1所示。該系統(tǒng)功率主要由太陽輪輸入并分流到行星輪，再由行星輪匯集到內齒圈進行輸出。其中kspi,krpi(i=1,2,3)分別為太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈之間的嚙合剛度，各彈性支承及嚙合副均有阻尼和尺側間隙。θs,θpi(i=1,2,3)和θr分別為太陽輪、第i個行星輪和內齒圈的旋轉振動位移。

圖1 星型人字齒輪系統(tǒng)傳動系統(tǒng)端面模型Figure 1 End face model of star herringbone gear transmission system

為了更直觀地表明各構件的運動情況，針對任一個行星輪i建立如圖2所示的嚙合型動力學模型。系統(tǒng)中所有齒輪均為人字齒輪，將每個人字齒輪視為由2個完全相同僅旋向相反的斜齒輪拼合而成，中間為歐拉梁單元連接，圖中質量節(jié)點s1,s2分別代表太陽輪左、右2個斜齒輪;pi1,pi2分別代表行星輪i(i=1,2,3)左、右兩側斜齒輪；r1,r2代表內齒圈左、右2個斜齒輪；斜齒輪基圓螺旋角為β1，β2(左旋為正，右旋為負)，故有β2=-β1；cspi,crpi(i=1,2,3)分別為太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈之間的嚙合阻尼；espi,erpi(i=1,2,3)分別為太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈之間的綜合傳動誤差；b為尺側間隙；Ts,Tr分別為輸入扭矩和輸出扭矩。

圖2 星形人字齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型Figure 2 Dynamic model of star herringbone gear transmission system

星型人字齒輪系統(tǒng)主要動力學參數(shù)如表1所示。行星輪個數(shù)為3，模數(shù)為4 mm，安裝角αpi(i=1,2,3)分別為0,2π/3,4π/3,法面壓力角αn為20°，基圓螺旋角β為22.5°，平均嚙合剛度取2×109N·m-1，太陽輪輸入功率為3 000 kW，剛度波動系數(shù)為0.1，輸入、輸出扭矩波動系數(shù)為0.5，尺側間隙值為0.1 mm。

表1 星型人字齒輪系統(tǒng)部分動力學參數(shù)

根據(jù)牛頓第二運動定律構建系統(tǒng)動力學微分方程：

(1)

式中I為部件的轉動慣量。

用傅里葉級數(shù)展開定義輪齒時變嚙合剛度：

(2)

式中：К為時變嚙合剛度均值，ω為嚙合頻率，ε為時變嚙合剛度波動系數(shù)，φ0為嚙合初始相位角。

定義初始相位角：

φspi=αt-αpi;φrpi=αt+αpi。

(3)

式中αt為齒輪端面壓力角。

太陽輪和第i個行星輪左、右側沿嚙合線方向的相對位移Γspi1，Γspi2,內齒圈和第i個行星輪左、右側沿嚙合線方向的相對位移Γrpi1,Γrpi2，分別為：

(4)

式中：eij(t)=Esin (ωt+φ0)，其中i=1,2,3，j=1,2,3,4；E為綜合傳動誤差幅值。

τ=Υt,Λ(τ)=Γ(t),δ=b/Δ。

系統(tǒng)消剛體位移和量綱為一的動力學微分方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

f(Λ)為量綱為一的含尺側間隙碰撞位移分段函數(shù)，即：

(9)

2 系統(tǒng)分岔特性分析

阻尼比是齒輪系統(tǒng)中重要的動力學參數(shù)。為研究阻尼比對星型人字齒輪系統(tǒng)分岔特性的影響，取不同太陽輪轉速下系統(tǒng)在阻尼比范圍為0.05～0.20時振動位移Λsp11的分岔過程。

圖3為太陽輪轉速為7 000 r/min時系統(tǒng)的分岔過程。系統(tǒng)首先經(jīng)歷混沌狀態(tài)，隨著阻尼比的增大系統(tǒng)經(jīng)歷倒分岔從混沌進入倍周期，由倍周期進入二周期，最后進入穩(wěn)定的單周期運動。圖4和圖5為系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和二周期狀態(tài)下的相圖和Poincaré截面圖。

圖3 轉速為7 000 r/min時系統(tǒng)分岔過程Figure 3 Bifurcation process of system at 7 000 r/min

圖4 阻尼比為0.06時系統(tǒng)混沌狀態(tài)Figure 4 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖5 阻尼比為0.15時系統(tǒng)二周期狀態(tài)Figure 5 Two-cycle state of system with damping ratio at 0.15

圖6為太陽輪轉速為10 000 r/min時系統(tǒng)的分岔過程。系統(tǒng)首先經(jīng)歷混沌狀態(tài)，隨著阻尼比的增大系統(tǒng)直接跳躍激變?yōu)槎芷谶\動，再由倒分岔進入單周期狀態(tài)。圖7和圖8為系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和單周期狀態(tài)下的相圖和Poincaré截面圖。

圖6 轉速為10 000 r/min時系統(tǒng)分岔過程Figure 6 Bifurcation process of system at 10 000 r/min

圖7 阻尼比為0.06時系統(tǒng)混沌狀態(tài)Figure 7 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖8 阻尼比為0.18時系統(tǒng)單周期狀態(tài)Figure 8 One-cycle state of system with damping ratio at 0.18

圖9為太陽輪轉速為13 000 r/min時系統(tǒng)的分岔過程。系統(tǒng)首先經(jīng)歷混沌狀態(tài)，隨著阻尼比的增大系統(tǒng)經(jīng)歷倒分岔從混沌進入四周期狀態(tài)，再由四周期狀態(tài)進入二周期狀態(tài)，最后進入穩(wěn)定的單周期運動狀態(tài)。圖10和圖11為系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和四周期狀態(tài)下的相圖和Poincaré截面圖。

圖9 轉速為13 000 r/min時系統(tǒng)分岔過程Figure 9 Bifurcation process of system at 13 000 r/min

圖10 阻尼比為0.06時系統(tǒng)混沌狀態(tài)Figure 11 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖11 阻尼比為0.10系統(tǒng)四周期狀態(tài)Figure 11 Four-cycle state of system with damping ratio at 0.10

由不同轉速條件下系統(tǒng)隨嚙合阻尼比的分岔過程及其在各種狀態(tài)下的相位圖和Poincaré截面圖可以發(fā)現(xiàn)：在不同工況條件下系統(tǒng)隨嚙合阻尼比的增大，均由復雜的混沌狀態(tài)逐漸演變?yōu)榱朔€(wěn)定的單周期運動狀態(tài)。因此星型人字齒輪系統(tǒng)在滿足工況要求的前提下，適當增大齒輪系統(tǒng)嚙合阻尼比可以有效避開混沌運動狀態(tài)，減小振動響應，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，起到減震降噪的功效。

3 結語

課題組構建了星型人字齒輪傳動系統(tǒng)純扭轉動力學模型，對模型進行了消剛體位移和量綱一化，并利用Runge-Kutta法對其進行了求解；通過系統(tǒng)在不同轉速條件下的分岔通道揭示了阻尼比對星型人字齒輪系統(tǒng)分岔特性的影響，并通過相位圖和Poincaré截面圖分析了系統(tǒng)在相空間狀態(tài)下的動態(tài)軌跡行為。結果表明：在不同轉速工況下星型人字齒輪系統(tǒng)動力學行為均隨阻尼比的增大從最開始的混沌狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定。因此適當增大系統(tǒng)嚙合阻尼比可以有效規(guī)避混沌運動，起到減振降噪的作用。