非球面超精密磨削誤差建模與補償研究

徐俊東，殷躍紅

(上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240)

0 前言

光學系統(tǒng)中非球面元件運用普遍，非球面元件的面形精度要求也逐步提高。面形精度是機床幾何誤差、熱變形誤差、刀具磨損誤差和控制誤差等因素共同產生的。為提高面形精度，通常建立機床綜合誤差模型，進而辨識各項誤差元素并進行修正補償。

針對機床綜合誤差，國內外相關學者已研究較長時間。ROSA等[1]基于小角度誤差假設以及剛體運動學理論，提出三軸機床的二次型面形誤差模型。KIRIDENA和FERREIRA[2]基于機構學原理建立五軸機床的空間誤差模型，從而將機構學原理引入機床綜合誤差建模中。HAN、ZHOU[3]利用傅里葉變換原理，建立旋轉軸的幾何位置誤差模型。K KIM、M K KIM等[4]基于剛體運動學原理，建立三軸磨床的誤差精度預測模型。RAHMAN等[5]建立了準靜態(tài)或靜態(tài)綜合誤差模型，包括力變形誤差以及幾何誤差等多種誤差。楊建國[6]基于齊次坐標變換，建立車削加工熱誤差模型和幾何誤差模型。朱紹維[7]建立五軸數控銑床的面形誤差模型，預測加工精度并建立補償模型。尹韶輝等[8]研究刀具磨損誤差和工件面形誤差，建立補償模型。羅松保、張建明[9]建立大深度、小口徑的內凹型磨削誤差模型，研究刀具安裝誤差對非球面磨削面形精度的影響。郭隱彪等[10]對非球面的平行磨削過程進行研究，建立誤差模型并離線補償主軸半徑，提高面形精度。文獻[11-14]介紹了機床幾何誤差的建模、測量、辨識和靈敏度分析方法，并提出多種補償方法改善機床精度。胡搖等人[15]借鑒部分干涉原理，提出非球面誤差測量的一種新方式。劉海濤等[16]研究大口徑非球面加工誤差，證實圓角砂輪在加工精度上更有優(yōu)勢。

針對大口徑非球面工件加工誤差的建模與補償，國內外研究成果已相對成熟。本文作者針對小口徑非球面工件，基于課題組自研的超精密磨床，采用X軸、Z軸、B軸三軸聯(lián)動的斜軸磨削方式加工?；诙囿w系統(tǒng)理論，運用齊次坐標變換原理，建立綜合誤差模型。將綜合誤差集中轉換為對刀誤差和輪廓半徑磨損誤差，分別推導其傳遞函數、辨識誤差并建立補償模型，修正補償誤差以提高面形精度。

1 非球面超精密磨削綜合誤差模型

1.1 超精密磨床結構

本文作者基于多體系統(tǒng)理論，運用齊次坐標變換原理，建立非球面超精密磨削的綜合誤差模型。

圖1為超精密磨床的結構示意和拓撲結構，表1為磨床各部件間存在的自由度。磨床存在兩條加工運動鏈：刀具側運動鏈為“床身0→Z軸5→B軸6→主軸7→砂輪8”；工件側運動鏈為“床身0→X軸1→Y軸2→C軸3→工件4”。

圖1 超精密磨床結構示意(a)及其拓撲結構(b)

表1 各部件之間的自由度

磨削過程中，工件繞C軸旋轉，砂輪繞主軸旋轉的同時沿非球面母線由內向外運動。通過X、Z、B三軸聯(lián)動，使得加工過程中砂輪軸線和磨削點法向量始終保持45°夾角，如圖2所示。

圖2 超精密磨床斜軸磨削形式

1.2 非球面超精密磨削綜合誤差建模

每個移動軸共有6項誤差元素，以X軸為例，如圖3所示，分別是：1項定位幾何誤差δxx，2項直線度幾何誤差δyx、δzx和3項角偏幾何誤差εxx、εyx、εzx。3根移動軸之間還存在3項垂直度誤差Szy、Szx、Sxy。

圖3 移動軸(a)和旋轉軸(b)誤差元素

每個旋轉軸包括6項誤差元素，以C軸為例，分別為3項位置誤差δxc、δyc、δzc,3項轉角誤差εxc、εyc、εzc。此外，每個旋轉軸還有2個平行度誤差αc、γc。

文中所涉及的磨床共3根移動軸X、Y、Z軸，兩根旋轉軸B軸、C軸，誤差元素共37項。根據多體系統(tǒng)理論和齊次坐標變換原理，兩運動部件之間的坐標變換矩陣可分為理想靜止特征矩陣、靜止誤差特征矩陣、理想運動特征矩陣和運動誤差特征矩陣。此外，Δα很小時，認為cos(Δα)≈1，sin(Δα)≈0。磨床各相鄰體之間的坐標變換矩陣見表2。

表2 磨床各零部件之間坐標變換矩陣

理想情況，工件側運動鏈、刀具側運動鏈分別有式(1)、式(2)的坐標變換：

PM=T01T12T23T34PW

(1)

PM=T05T56T67T78PT

(2)

聯(lián)立式(1)(2)可得：

PW=(T01T12T23T34)-1T05T56T67T78PT

(3)

存在誤差時，工件鏈、刀具鏈分別有式(4)、式(5)：

(4)

(5)

聯(lián)立式(4)、式(5)可得：

(6)

則任意點的磨削誤差矢量為

(7)

該點處的法向誤差近似為

(8)

式中：np為該點處的單位法向量；en為標量。

測量得到的面形誤差數據不能直接用于計算，如圖4所示，需要對理想曲面進行位置和角度變換，使得實際加工曲面與位姿變換后的理想曲面之間的法向誤差的平方和最小。加工時工件繞C軸旋轉，C軸精度較高，且與Z軸平行，因此可認為非球面磨削的面形誤差關于C軸對稱分布，則對理想曲面進行位姿變換近似為沿Z軸進行平移變換，平移量為d。法向誤差準則函數為

(9)

(10)

式中:(np)k為單位法向量np在Z方向分量。

圖4 理想曲面位姿變換

則任意點處法向誤差大小近似計算公式為

(11)

該綜合誤差模型，考慮了超精密磨床各移動軸和旋轉軸總共37項誤差元素對綜合誤差的影響。

機床大部分幾何誤差元素通常在機床制造階段進行標定、補償。但是，對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差為磨削成形階段產生的誤差，無法預先補償。文中取砂輪X方向的對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差作為主要誤差來源，將其他形式引起的誤差集中轉換為對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損引起的誤差。在辨識對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差后進行修正補償。X方向的對刀誤差Δx可視為磨床的相鄰體6、7之間的體間靜止誤差,砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR可視為相鄰體7、8之間的體間靜止誤差。根據式(7),計算得到誤差矢量為

(12)

式中:θ為工件任意點處切向量和水平方向夾角。

2 誤差辨識

2.1 誤差傳遞函數

前文提到，取砂輪X方向的對刀誤差Δx和砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR作為主要誤差來源，將其他形式引起的誤差集中轉換為對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損引起的誤差，辨識誤差后進行修正補償。誤差辨識就是分析對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損對加工面形精度的影響，分別推導其傳遞函數，計算明確的對刀誤差量和砂輪輪廓半徑磨損量，并根據計算的[Δx,ΔR]修正補償面形誤差。

僅存在對刀誤差Δx時，式(12)中ΔR=0。將式(12)代入式(10)，得：

(13)

聯(lián)立式(11)—(13)，得到：

(14)

式中：(np)i、(np)k分別為單位法向量np在X、Z方向分量。上式表示砂輪在X方向對刀誤差對各點處的法向誤差的傳遞函數。

僅存在砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR時，式(12)中Δx=0。將式(12)代入式(10),得：

(15)

聯(lián)立式(11)(12)(15)，得到：

(16)

式(16)表示砂輪輪廓半徑磨損誤差對各點處的法向誤差的傳遞函數。

球面工件母線方程為式(17)，文中試驗的非球面工件的相關參數見表3，未注明參數為0。其中工件直徑為10.25 mm。

(17)

表3 非球面工件系數

根據式(14)和式(16)，分別計算出X方向對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差對各點處的法向誤差的傳遞函數曲線，如圖5所示。

圖5 kx(a)和kr(b)傳遞函數曲線

2.2 誤差辨識算法

誤差辨識之前，需要對工件的面形進行測量，得到各測量點Z軸方向誤差ez。通過降噪、濾波和擬合等數據處理后，再計算每個測量點的法向誤差數據en，計算方法文中不做詳細闡述。根據式(11),在一階近似的前提下，en近似為Δx、ΔR的線性組合，組合系數與非球面工件的曲面參數和測量點位置有關。分別計算每個測量點處對刀誤差傳遞函數值kx和砂輪輪廓半徑磨損誤差傳遞函數值kr,可得下式：

(18)

通過對[Δx,ΔR]進行二維尋優(yōu)，可以求解和實際測量誤差曲線最匹配的誤差量[Δx,ΔR]。上式是將誤差集中轉換到[Δx,ΔR]，同時辨識[Δx,ΔR]。同理，也可以將誤差集中轉換到Δx或ΔR，將其中一項誤差設定為某個特定值后可單獨辨識另一項誤差。文中通過最小二乘法求解式(18)即可求解誤差值[Δx,ΔR]。辨識流程如圖6所示。

圖6 誤差辨識流程

3 非球面超精密磨削補償試驗

3.1 補償試驗前初加工

試驗非球面工件參數見表3，使用的是盤形砂輪。對刀過程分為4步：砂輪頂點過B軸的軸線；工件軸線和C軸同軸；B軸軸線穿過工件坐標系原點；主軸軸線和C軸在Y方向同高度。

工件上被切削的點為磨削點，用Pcut表示；B軸中心為控制點，用Pctrl表示，傳輸給數控系統(tǒng)的為B軸中心軌跡在工件坐標系的一系列坐標點。

試驗中，X、Z、B三軸聯(lián)動。工件繞C軸以175 r/min的速度旋轉，砂輪繞主軸以40 000 r/min的速度旋轉,X軸方向進給的速度為0.8 mm/min。砂輪主軸固定在B軸轉臺上，并隨B軸旋轉，在磨削過程中砂輪主軸軸線和工件磨削點的法向量始終保持45°夾角。理想情況下，控制點和磨削點重合，如圖7所示。

圖7 理想狀況下磨削點和控制點

初加工不作任何補償，工件磨削點坐標即為控制點坐標。4次磨削深度分別為2、1.5、1、0.8 μm，磨削結束后測量工件面形誤差。測得的原始面形誤差如圖8所示，其中面形誤差的PV值為2.252 2 μm。根據文中所述綜合誤差模型和誤差辨識方法，計算得到X方向對刀誤差Δx=-4.20 μm,砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR=-4.56 μm。

圖8 初加工面形誤差曲線

3.2 直接補償法

試驗中使用的是盤形砂輪，盤形砂輪的頂點為直角，相較于圓弧砂輪，本身并沒有輪廓半徑這項幾何參數。但從圖9(a)看出，此試驗砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR實際上為砂輪頂點磨損量在磨削點法向量上的投影。直接補償法即通過計算的[Δx,ΔR]修正補償面形誤差。為使得砂輪上切削點和工件上的磨削點重合，如圖9(b)所示，需要將各個控制點沿著磨削點法向移動ΔR的距離。最后，再沿X軸反向移動Δx的距離。直接補償法的修正模型為

(19)

式中:xctrl、yctrl、zctrl為控制點坐標；xcut、ycut、zcut為磨削點坐標；(np)i、(np)j、(np)k分別為磨削點的法向量np在X、Y、Z方向分量。

圖9 磨削點和控制點

補償量[Δx,ΔR]=[-4.20,-4.56]μm，計算控制點軌跡坐標進行補償試驗，4次磨削深度分別為2、1.5、1、0.8 μm，磨削結束后測量工件面形誤差。面形誤差曲線如圖10所示，此時PV為0.473 6 μm。試驗結果證明：相較于初始面形誤差，采用直接補償法，PV值明顯降低，面形精度有效提高。

圖10 直接補償法誤差曲線

3.3 基于直接補償的點補修正法

圖10結果證明：通過直接補償法修正補償面形誤差后，非球面工件面形誤差PV值明顯下降，但誤差曲線并不接近于水平線，且多次加工后誤差也不再繼續(xù)收斂。這是因為[Δx,ΔR]是通過最小二乘法計算出來的近似值，與真實值有一定差異；并且加工過程中，砂輪是動態(tài)磨損的，輪廓半徑磨損誤差在加工過程中并不是保持恒定的。此外，不同加工點處主軸受到的磨削力不同，主軸變形也不同。所以，僅僅補償[Δx,ΔR]，無法進一步降低PV值，提高面形精度。本文作者提出基于直接補償的點補修正法。相較于僅僅補償[Δx,ΔR]，基于直接補償的點補修正法是在補償[Δx,ΔR]的基礎上，結合通過降噪、濾波、擬合得到的誤差曲線，計算每個磨削點處在Z軸方向的誤差值ez，然后將控制點坐標的Z分量減去該誤差值ez，即式(20):

(20)

采用點補修正法，結合圖10的誤差曲線，計算得到新的控制點軌跡坐標進行補償試驗。4次磨削深度分別為2、1.5、1、0.8 μm，磨削結束后測量工件面形誤差。點補修正后的面形誤差曲線見圖11，此時PV值為0.097 5 μm。試驗結果證明:相較于直接補償法，采用基于直接補償的點補修正法，面形誤差曲線更加收斂于水平直線，PV值顯著降低，面形精度顯著提高。

圖11 基于直接補償的點補修正法誤差曲線

4 結論

(1)基于多體系統(tǒng)理論，運用齊次坐標變換原理，分析磨床37項幾何誤差來源，建立非球面超精密磨削綜合誤差模型。

(2)將綜合誤差集中轉換為對刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差,分別推導誤差傳遞函數并辨識誤差用于修正補償。

(3)通過初始面形誤差曲線辨識[Δx,ΔR]，采用直接補償法對面形誤差修正補償。試驗結果表明:相比初始面形誤差，PV值明顯降低。直接補償法有效提高面形精度。

(4)采用基于直接補償的點補修正法，試驗結果表明:相比直接補償法，面形誤差曲線更加收斂于水平直線，PV值顯著降低?；谥苯友a償的點補修正法顯著提高面形精度。