在“圖形與幾何”領域教學中滲透數(shù)學思想
——以“三角形的面積”教學為例

李 喆

(哈薩爾路小學,吉林 松原 138000)

數(shù)學思想是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓?！读x務教育數(shù)學課程標準(2022 年版) 》在總體目標中明確提出: “通過義務教育階段的數(shù)學學習,學生能獲得適應未來生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！盵1]這充分說明了數(shù)學思想的重要性。南開大學的顧沛教授也提到: “小學生、中學生、大學生,數(shù)學學習的內(nèi)容雖然不同,但是通過數(shù)學課程,滲透數(shù)學思想,提高數(shù)學素養(yǎng)這一點是共通的。”[2]可見,理想的教學效果是: 不僅讓學生掌握基本的知識技能,更重要的是體會數(shù)學思想。

“圖形與幾何” 領域是小學數(shù)學的核心內(nèi)容之一,對滲透數(shù)學思想具有重要價值。人教版五年級上冊“三角形的面積” 屬于“圖形與幾何” 領域中“圖形的測量” 板塊,教師應把數(shù)學思想作為重要教學目標,挖掘有助于學生獲得數(shù)學思想的素材,將滲透數(shù)學思想的任務落實到教學實踐中。一是要使學生在數(shù)學活動中經(jīng)歷觀察空間形式、抽象研究屬性、發(fā)現(xiàn)簡單規(guī)律、提出數(shù)學問題的過程,體會抽象思想,發(fā)展空間觀念和幾何直觀;二是要使學生自覺運用數(shù)學思想分析和解決問題,體會轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展推理意識;三是要使學生經(jīng)歷建模過程,構建普適的數(shù)學模型,體會模型思想,發(fā)展符號意識。下面以人教版五年級上冊“三角形的面積” 教學為例,探討如何在“圖形與幾何” 領域教學中滲透數(shù)學思想,促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、經(jīng)歷操作過程,滲透轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學思想的核心,它是從未知領域向已知領域的轉(zhuǎn)化。在教學“三角形的面積” 時,要引導學生從已有知識和活動經(jīng)驗出發(fā),運用轉(zhuǎn)化法自主探索,經(jīng)歷經(jīng)驗遷移、操作轉(zhuǎn)化、歸納概括等活動,探索三角形的面積計算公式,理解、掌握轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展學生的空間觀念。

(一) 在經(jīng)驗遷移中體會轉(zhuǎn)化思想

“圖形與幾何” 領域的知識具有系統(tǒng)性和生長性,離不開經(jīng)驗的遷移。教師要有意識地引導學生觀察、比較,找到知識之間的內(nèi)在聯(lián)結(jié)點,將已有知識作為新知識的生長點,通過經(jīng)驗遷移,將新知識的學習轉(zhuǎn)化到舊知識的系統(tǒng)中,從而擴展原有的認知結(jié)構,促使學生高效地學習新知。例如: 在“經(jīng)驗遷移” 環(huán)節(jié),教師首先呈現(xiàn)紅領巾,提出問題: “可以怎樣求三角形的面積?” 學生基于已有知識經(jīng)驗猜想: “可以把三角形轉(zhuǎn)化成學過的圖形來求面積?！?接著教師追問: “為什么要轉(zhuǎn)化成學過的圖形?” 讓學生在說明理由中體會把未知轉(zhuǎn)化成已知解決問題的方法。最后,配合課件演示回顧上一課時“平行四邊形的面積” 的探究過程,喚醒學生運用轉(zhuǎn)化法的操作經(jīng)驗,為探索三角形的面積計算公式做準備。這樣的經(jīng)驗遷移,能促使學生將新知識化歸到舊知識的系統(tǒng)中,感悟數(shù)學知識的內(nèi)在本質(zhì)和思想方法上的共性,體會轉(zhuǎn)化思想。

(二) 在操作探究中感悟轉(zhuǎn)化思想

“圖形與幾何” 領域所呈現(xiàn)的知識是抽象的,動手操作可以使抽象的知識形象化,是學生探索平面圖形面積公式的重要手段。將動手操作與幾何直觀相結(jié)合,能幫助學生理解圖形之間相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證觀念,滲透轉(zhuǎn)化思想,積累幾何活動經(jīng)驗。例如: 在“操作轉(zhuǎn)化” 環(huán)節(jié),要突出學生運用轉(zhuǎn)化法自主探索的活動性。教師首先給學生提供若干個三角形,讓學生基于已有知識和活動經(jīng)驗自主探索,將三角形轉(zhuǎn)化成學過的圖形,并貼在紙上。接著,引導學生觀察思考: “轉(zhuǎn)化后的圖形與原來的三角形之間有什么關系?” 這是引導學生推導三角形面積公式的關鍵。最后,教師組織各小組展示、匯報探究的成果。第一步: 組織學生交流用兩個同樣的三角形拼擺成一個平行四邊形的方法(如圖1 倍拼法);第二步: 組織學生交流用一個三角形沿一條中位線剪開,割補成一個平行四邊形的方法(如圖2 割補法);第三步: 教師呈現(xiàn)《九章算術》中記載的“圭田術曰,半廣以乘正從”,通過“以盈補虛” 的方法把三角形分割、移補成長方形(如圖3 以盈補虛)。通過不同方法的展示交流,使學生體會轉(zhuǎn)化方法的多樣性,培養(yǎng)創(chuàng)新意識。這樣的操作活動,能使學生在動手實踐中進一步感悟轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展空間觀念。

圖1 倍拼法

圖2 割補法

圖3 以盈補虛

(三) 在實踐應用中強化轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學練習是教學活動的重要組成部分。通過練習可以深化學生對知識的理解與掌握,強化學生對數(shù)學思想的鞏固與運用,提高學生解決實際問題的能力。如在“鞏固應用” 環(huán)節(jié),教師設計了一道發(fā)展練習: 你能想到哪些轉(zhuǎn)化方法來計算這個三角形的面積? 課件依次呈現(xiàn)習題中的①至④(如圖4 轉(zhuǎn)化思想練習題),找到與轉(zhuǎn)化的方法相匹配的算式并連一連。在這樣的練習活動中,學生先想象,再理清不同轉(zhuǎn)化方法的計算原理,進一步強化轉(zhuǎn)化思想。

圖4 轉(zhuǎn)化思想練習題

(四) 在回顧反思中升華轉(zhuǎn)化思想

著名數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》 中將解題分為四個階段,并指出: “回顧已經(jīng)完成的解答是工作中的一個重要且有啟發(fā)性的階段?！盵3]在新知教學后,教師要引導學生回顧數(shù)學知識的形成過程,總結(jié)經(jīng)驗收獲,提煉數(shù)學思想,促使學生把經(jīng)歷變成經(jīng)驗、把思想化成素養(yǎng)。如在“回顧反思” 環(huán)節(jié),借助自我反思單元引導學生從三維目標的角度自我反思: 1.我學會了什么? 2.我是用什么方法學會的? 3.對我今后的學習有什么作用? 回顧反思能梳理三角形面積計算公式的推導過程,提煉升華轉(zhuǎn)化思想,啟發(fā)學生將轉(zhuǎn)化思想拓展到其他數(shù)學問題的研究中,為后續(xù)學習做好思想方法的鋪墊。

二、突出思維過程,滲透推理思想

推理是從一個或幾個已有的命題得出另一個新命題的思維形式,包括合情推理和演繹推理兩種形式[4]。在教學“三角形的面積” 時,要引導學生從已有知識和活動經(jīng)驗出發(fā),經(jīng)過比較聯(lián)想、歸納概括、演繹推理等活動,推導三角形的面積計算公式,從而使學生的推理能力得到發(fā)展。

(一) 在比較聯(lián)想中體會類比推理

類比推理是從特殊到特殊的推理方法。類比推理在“圖形與幾何” 領域的應用主要有: 長度、面積、體積單位的認識,周長、面積、體積的概念及公式的推導?！皥D形與幾何” 領域的知識存在著內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展,可以通過觀察、比較、聯(lián)想,發(fā)現(xiàn)相似的性質(zhì),達到遷移類比的目的。教學中要注重知識的結(jié)構性和關聯(lián)性,將不同的知識用同種方法策略關聯(lián)起來,形成知識和方法的結(jié)構化。例如:在“經(jīng)驗遷移” 環(huán)節(jié),引導學生思考: “根據(jù)前面的學習經(jīng)驗,你們打算怎樣研究三角形的面積?”學生聯(lián)想到: “三角形的面積與平行四邊形的面積很相似,我們可以把三角形轉(zhuǎn)化成學過的圖形來研究?！?學生通過觀察、比較、聯(lián)想,建立新舊知識間的聯(lián)結(jié),類比平行四邊形面積的推導方法來研究三角形的面積,初步體會類比推理思想。

(二) 在幾何直觀中體會歸納推理

歸納推理是從特殊到一般的推理方法。歸納推理在“圖形與幾何” 領域的應用主要有: 找規(guī)律、面積和體積公式的推導。歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理,在三角形的面積推導中用到的是完全歸納推理。例如: 在“歸納概括” 環(huán)節(jié),分別探究直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。學生在表達與交流中發(fā)現(xiàn)這三種不同類型的三角形都能轉(zhuǎn)化成平行四邊形。接著,引導學生思考:“觀察轉(zhuǎn)化后的圖形與原來的三角形,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?” 借助幾何直觀,學生歸納概括出: “雖然選取的三角形不一樣,但只要是兩個同樣的三角形就能拼成一個平行四邊形?！?學生經(jīng)歷從特殊到一般的完全歸納推理過程,能理解完全歸納推理推導出的結(jié)論具有普適性,體會歸納思想在推導總結(jié)一般性規(guī)律中的應用,形成初步的幾何直觀和推理意識。

(三) 在結(jié)論推導中體會演繹推理

演繹推理是從一般到特殊的推理方法。演繹推理在“圖形與幾何” 領域教學中的應用主要有: 多邊形內(nèi)角和的推導、體積和面積公式的推導、角的相等證明、多邊形內(nèi)外角關系的探索。例如: 在運用幾何變換把三角形轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形后,通過建立轉(zhuǎn)化前后圖形之間的等量關系,推導三角形的面積計算公式。這個過程實際上是應用了演繹推理的三段論結(jié)構。三段論包括: 大前提、小前提和結(jié)論。學生推理過程: 平行四邊形的面積=底×高,兩個同樣的三角形的面積等于平行四邊形的面積,所以兩個三角形的面積等于底乘高,因而三角形的面積=底×高÷2。這樣學生經(jīng)歷了演繹推理的過程,能運用三段論結(jié)構推導出數(shù)學結(jié)論,初步體會演繹推理思想。

三、圍繞建模過程,滲透模型思想

模型思想是用數(shù)學的概念和原理描述現(xiàn)實世界的一種數(shù)學結(jié)構?！读x務教育數(shù)學課程標準(2022 年版) 》 指出: “引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題,促進學生理解和掌握數(shù)學的基礎知識和基本技能,體會和運用數(shù)學思想與方法,獲得數(shù)學的基本活動經(jīng)驗?！盵5]在教學“三角形的面積” 時,要引導學生從生活情境中抽象出數(shù)學問題,通過觀察抽象、操作探究、歸納概括等數(shù)學活動,構建三角形的面積模型,讓學生完整且真實地經(jīng)歷“問題抽象—構建模型—應用拓展” 的過程,滲透模型思想。

(一) 在問題抽象中感知模型思想

數(shù)學知識來源于客觀世界,“圖形與幾何” 領域的知識往往能在生活中找到原型。教師要善于挖掘與數(shù)學學習相關聯(lián)的生活素材,將數(shù)學知識與學生生活實際有機融合,促使學生從直觀的生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學模型,建立感性認識,幫助學生理解數(shù)學模型。例如: 在“創(chuàng)設情境” 環(huán)節(jié),教師將學生每天佩戴的紅領巾作為數(shù)學原型,并提問: “對于紅領巾,你們想研究什么問題?” 學生從中抽象出數(shù)學問題: “紅領巾是三角形的,三角形的面積該怎么求?” 學生經(jīng)歷從“境” 到“型” 的抽象過程,能加深對三角形的面積模型的認識,初步感知模型思想。

(二) 在多元表征中建立模型思想

數(shù)學建模的目的不僅是獲得數(shù)學結(jié)論,更重要的是在建模的過程中促進數(shù)學知識的內(nèi)化和思想方法的升華。教師要引導學生在直觀的操作活動中主動構建數(shù)學模型,鼓勵學生運用多元的表征方式進行數(shù)學思考和表達。例如: 在構建三角形的面積模型時,引導學生通過拼擺、割補、等積變形等操作,感悟三角形與轉(zhuǎn)化后的平行四邊形的底、高之間的關系,嘗試用字母簡潔地表示推導出的數(shù)學結(jié)論,建立三角形的面積模型: S=ah÷2。學生經(jīng)歷“情境表征—操作表征—語言表征—符號表征” 這一數(shù)學化的過程,能層層建立起三角形的面積模型的清晰概念,深化對三角形面積模型的理解和把握,初步建立符號意識,體會模型思想。

(三) 在解決問題中應用模型思想

生活中存在許多與空間形式相關的信息,一個數(shù)學模型往往能解決一類數(shù)學問題,因而數(shù)學模型具有普適性。教師要鼓勵學生將已經(jīng)建構的數(shù)學模型運用到新的數(shù)學問題中,從而提高學生分析和解決問題的能力。例如: 在“鞏固練習” 環(huán)節(jié),回歸到課前的情境中,讓學生自己動手測量紅領巾的底和高,利用三角形的面積公式求出紅領巾的面積。這樣學生在解決問題中又一次經(jīng)歷了運用數(shù)學模型解決生活問題的過程,能體會數(shù)學模型的應用價值,增強應用意識。

總之,在“圖形與幾何” 領域的教學中,教師要深入挖掘數(shù)學知識背后蘊含的數(shù)學思想,引導學生通過抽象、遷移、操作、討論、歸納等數(shù)學活動,經(jīng)歷“抽象數(shù)學問題—動手操作轉(zhuǎn)化—歸納概括結(jié)論—提煉數(shù)學思想” 的過程,讓學生掌握數(shù)學思想,并將其內(nèi)化為自身的數(shù)學素養(yǎng),從而真正實現(xiàn)受益終身。