探究破解平面解析幾何求解困境的教學(xué)實(shí)踐

宮建紅

【摘 要】探究的本質(zhì)是參與和理解，其不僅可以逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的高階能力，還可以在學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。針對(duì)學(xué)生在求解平面解幾問題過程中表現(xiàn)出的目標(biāo)不明、思路不清、方法不準(zhǔn)等問題，基于探究求解平面解析幾何的問題引導(dǎo)、模型建構(gòu)、質(zhì)疑生思、統(tǒng)計(jì)分析、深度探究的教學(xué)路徑，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生判斷思維、邏輯思維和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；平面解析幾何；求解困境

一、問題提出

解析幾何起源于古希臘數(shù)學(xué)家對(duì)圓錐曲線的研究，作為溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)、代數(shù)與幾何的橋梁，可以幫助學(xué)生形成從數(shù)學(xué)具象到數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵能力，拓展運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的思維空間［1］。章建躍博士指出，在平面解析幾何的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化和對(duì)立統(tǒng)一等觀點(diǎn)分析和解決問題，則可以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)辯證法思想［2］。探究的本質(zhì)是參與和理解，其不僅可以逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的高階能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)?？梢姡矫娼馕鰩缀蔚慕虒W(xué)應(yīng)以數(shù)形結(jié)合和辯證法為指導(dǎo)思想，基于探究引導(dǎo)學(xué)生通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題，不斷融會(huì)貫通已學(xué)知識(shí)，在解決真實(shí)問題的過程中提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，不斷培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。但在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生感到平面解析幾何內(nèi)容較難，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中花費(fèi)的時(shí)間很多，但效果并不佳，而教師在解析幾何的教學(xué)中缺少對(duì)策，復(fù)習(xí)效果差。為此，筆者對(duì)破解平面解析幾何問題的求解困境進(jìn)行探究。

二、教學(xué)模型構(gòu)建

對(duì)破解平面解析幾何問題求解困境的探究一般包括以下過程：在指導(dǎo)下進(jìn)行有意義的思考——明確提出需探究的問題——根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)問題猜測(cè)和假設(shè)——做出合乎邏輯的分析與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證——形成連貫的解答并與他人交流得出的結(jié)論——建構(gòu)模型及預(yù)測(cè)——合作評(píng)估與交流［3］。學(xué)生經(jīng)歷以上探究過程，提高了對(duì)所學(xué)知識(shí)的深層理解和探究能力，從而將已有的解答應(yīng)用于新情境。

在實(shí)踐中，筆者基于上述探究教學(xué)的過程，結(jié)合對(duì)學(xué)生求解平面解析幾何存在問題的分析，構(gòu)建了探究平面解析幾何教學(xué)的模型（如圖1）。探究平面解析幾何學(xué)習(xí)要以知識(shí)結(jié)構(gòu)和問題結(jié)構(gòu)為起點(diǎn)，提出常見問題模型，并通過探究最終達(dá)到對(duì)平面解析幾何知識(shí)的深層理解，提高求解和遷移能力。教師在教學(xué)中應(yīng)做到以下幾個(gè)方面：（1）基于不同題型，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型；（2）基于不同模型，引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑生思；（3）基于多類問題，引領(lǐng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)分析；（4）基于精選問題，引導(dǎo)學(xué)生課堂探究。

【案例呈現(xiàn)】首先，教師以直線與圓、直線與圓錐曲線中常見求解問題為載體，設(shè)計(jì)出一些基本模型；其次，教師讓學(xué)生針對(duì)不同模型，發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，從而找到解決問題的基本方法；再次，教師將學(xué)生提出的問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析、歸類，尋找課堂探究的主問題；最后，在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，以探究為路徑，學(xué)生為主體，教師適時(shí)引導(dǎo)。

以上教學(xué)過程循環(huán)往復(fù)，久而久之，就能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。其中，在課堂探究過程中，教師應(yīng)始終堅(jiān)持以生為本，即“目標(biāo)讓學(xué)生明確，問題讓學(xué)生尋找，路徑讓學(xué)生選擇，疑惑讓學(xué)生討論，過程讓學(xué)生體驗(yàn)，方法讓學(xué)生總結(jié)”，一般采取以下流程：以精選問題為起點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生思考——學(xué)生主講，展示過程——提問質(zhì)疑，總結(jié)梳理——題型變式，初步探究——適時(shí)引導(dǎo)，深入探究——建構(gòu)模型，總結(jié)提升。實(shí)踐表明，學(xué)習(xí)路徑與方法的改變破解了學(xué)生在平面解析幾何中的求解困境，逐步培養(yǎng)了學(xué)生的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問題的能力，全面提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)路徑研究

（一）基于不同題型，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型

教師引導(dǎo)學(xué)生將平面解析幾何的求解問題歸納為以下基本模型：①求基本量類，如求“a，b，c，p”；②求基本方程類，如求直線與圓錐曲線方程、準(zhǔn)線與漸近線方程等；③求重要幾何量類，如求離心率、焦半徑、焦點(diǎn)（頂點(diǎn)）弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)（頂點(diǎn)）三角形面積等；④發(fā)現(xiàn)性質(zhì)類，如與軌跡、斜率、離心率等相關(guān)的性質(zhì)；⑤典型問題類，如位置關(guān)系問題、定點(diǎn)定值問題、內(nèi)接三角形問題、極點(diǎn)極線問題等。

在以上問題類型的歸納過程中，為了減少隨機(jī)性、盲目性，增強(qiáng)指令性、針對(duì)性和操作性，筆者以直線與圓錐曲線為載體（以直線與橢圓為例）歸納了6個(gè)基本類型：①直線過橢圓焦點(diǎn)；②直線過橢圓中心；③直線過橢圓頂點(diǎn)；④過橢圓上一點(diǎn)的切線；⑤中點(diǎn)弦；⑥過定點(diǎn)的直線。以類型①為例，給出一個(gè)橢圓C，一條經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線AB。為了便于觀察思考，給出橢圓的準(zhǔn)線（如圖2），從這些條件出發(fā)可以生成許多問題，并得到相關(guān)結(jié)論。針對(duì)這些不同的問題和結(jié)論，教師以“一法多題”或“一題多法”讓學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升思辨能力。

（二）基于不同模型，引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑生思

基于上述基本模型，教師對(duì)學(xué)生提出如下要求：①添加條件設(shè)計(jì)問題；②依據(jù)模型搜集問題；③探究方法力求多解；④順向推廣逆向思考；⑤類比推理尋找相似；⑥發(fā)散思維變式探索；⑦總結(jié)反思技巧提升。這樣可激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題的興趣，發(fā)現(xiàn)問題的來龍去脈，探索問題間的相互聯(lián)系，產(chǎn)生新的猜想并加以驗(yàn)證。以下案例從求離心率的問題模型出發(fā)，讓學(xué)生根據(jù)要求進(jìn)行深入思考。

【案例1】設(shè)橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，求橢圓C的離心率。

①添加條件：P是C上的點(diǎn)，PF2[⊥]F1F2，[∠PF1F2=30°]，求橢圓C的離心率。

②依據(jù)求離心率的模型，廣泛搜集相關(guān)問題。

③添加條件①后，學(xué)生思考多種解法，如直接法、幾何法、代數(shù)法等。

④在求解后推廣得出變式：橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1[⊥]PF2，求橢圓C的離心率的取值范圍。

⑤類比推理尋找相似問題：橢圓左焦點(diǎn)為F1，過原點(diǎn)的直線交橢圓上于A，B兩點(diǎn)，使得AF1[⊥]BF2，求橢圓C的離心率的取值范圍。

⑥進(jìn)一步發(fā)散思維：已知橢圓的右頂點(diǎn)是A（a，0），其上存在一點(diǎn)P，使[∠APO=90°]，求橢圓離心率的取值范圍。

⑦對(duì)求離心率問題的解法、題型的變化、基本模型等進(jìn)行反思和總結(jié)。

其中，問題①②試圖培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題。問題有難有易，解法有繁有簡(jiǎn)，但只要是經(jīng)過學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)的問題都是有效的。問題③主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題的幾何條件和推理隱藏的本質(zhì)特征，正確、合理地把幾何條件轉(zhuǎn)化為適合計(jì)算的數(shù)量關(guān)系，并在轉(zhuǎn)化過程中思考如何合理地設(shè)立參數(shù)以及如何便捷地消去參數(shù)，將運(yùn)算求解變成看得見、摸得著、想得到、算得對(duì)的清晰過程。問題④⑤⑥試圖指導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，讓學(xué)生能結(jié)合問題特征和求解方法舉一反三。問題⑦主要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思，讓學(xué)生避免就題論題，達(dá)到深刻理解的目的。學(xué)生按照上述要求，帶著模型，獨(dú)立思考，通過參考教材，查找資料，相互討論，尋找與模型相似的問題，探究問題的解決方法，比較方法的相通之處，歸納方法的相似之處，尋找不同方法的使用范圍，從而找到適合自己的解題方法。上述過程促進(jìn)了學(xué)生高階思維的發(fā)展，從模仿套用到理解、遷移、質(zhì)疑、批判甚至創(chuàng)造，經(jīng)歷了深度學(xué)習(xí)的全過程，既優(yōu)化了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，又逐步提升了思維能力以及數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

（三）基于多類問題，引領(lǐng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)分析

問題的結(jié)構(gòu)特征典型要具有代表性，問題的本質(zhì)規(guī)律清晰要具有一般性，問題的解法通用可遷移要具有融通性，問題的難度恰當(dāng)要具有普適性，問題的求解訓(xùn)練有效要具有價(jià)值度，問題的呈現(xiàn)方式新穎要具有創(chuàng)造性。基于以上原則，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，刪除繁、難、偏、怪等各類問題。

【案例2】基于上文六個(gè)基本模型中的①直線過橢圓焦點(diǎn)，從學(xué)生提供的各類問題中，依據(jù)上述選擇原則，篩選了與模型①相關(guān)的如下問題。

問題1：過F垂直于AB的直線FP交準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，證明：直線PA、PB與橢圓相切（反之亦然）。

問題2：過點(diǎn)A，B分別作曲線的切線，若交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線l上，證明：直線QO與弦AB垂直。

問題3：設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為S，T，證明：直線SA與直線TB的交點(diǎn)在準(zhǔn)線l上。

問題4：設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為N，直線NA，NB交準(zhǔn)線l于P，Q，證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F。

問題5：（1）設(shè)線段MN中點(diǎn)為C，證明：直線OC與過F和直線MN垂直的直線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線l上。（2）OG與準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，證明：以GP為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F。

問題7：設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為H，證明：[∠AHF=∠BHF]。

問題8：若直線AB與準(zhǔn)線交點(diǎn)為M，過F作垂直于x軸的直線交橢圓于P點(diǎn)，P點(diǎn)不在直線AB上，證明：kPA+kPB=2kPM。

問題9：若P為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，直線PA，PF，PB的斜率分別是k1，k2，k3，證明：k1，k2，k3成等差數(shù)列。

問題10：設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為M，N，直線AM，AN與準(zhǔn)線分別交于P，Q兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為D，則直線OD與準(zhǔn)線的交點(diǎn)平分PQ。

教師依據(jù)以下標(biāo)準(zhǔn)，將以上問題進(jìn)行分類：①具有多種解法的問題；②具有一般規(guī)律的問題；③可以類比遷移的問題；④有利于訓(xùn)練思維的問題；⑤能夠鍛煉運(yùn)算能力的問題；⑥能夠說明設(shè)參、消參原理的問題。統(tǒng)計(jì)分析、問題歸類的過程，正是由繁入簡(jiǎn)、由零碎到系統(tǒng)的過程，為學(xué)生的深度探究奠定基礎(chǔ)。

（四）基于精選問題，引導(dǎo)學(xué)生課堂探究

問題是思維的開端，是數(shù)學(xué)的靈魂。一個(gè)精選的問題是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂探究的關(guān)鍵。因此，課前教師應(yīng)精選課堂上待探究的問題，并提前將精選問題發(fā)給學(xué)生作為作業(yè)，要求學(xué)生盡可能理解題意，找到解決問題的方法。課中讓學(xué)生自主展示、同伴提問質(zhì)疑、師生點(diǎn)評(píng)完善。這樣學(xué)生才能通過課堂探究，進(jìn)一步理解求解平面解析幾何問題的原理，弄清求解的算理，學(xué)會(huì)梳理運(yùn)算中的邏輯關(guān)系，最終收獲正確的解題方法、思路、經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律。

【案例3】如圖3，橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）經(jīng)過點(diǎn)P[1，32]，離心率e=[12]，直線l的方程為x=4。

（1）求橢圓C的方程；

（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3。問：是否存在常數(shù)[λ]，使得k1+k2=[λk3]？若存在，求[λ]的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（本問題與上述問題7的模型相關(guān)）

【環(huán)節(jié)一】學(xué)生主講，展示過程

師：課前同學(xué)們已經(jīng)對(duì)這道題進(jìn)行了思考，下面請(qǐng)幾位同學(xué)介紹求解方法。

在課前，教師首先請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行思考，接著，再由三名學(xué)生介紹三種求解方法，限于篇幅此處省略。

【環(huán)節(jié)二】提問質(zhì)疑，總結(jié)梳理

師：結(jié)合題目所給條件，請(qǐng)有疑惑的同學(xué)提出質(zhì)疑，同時(shí)對(duì)以上方法進(jìn)行梳理總結(jié)。

學(xué)生自由提問，教師適時(shí)點(diǎn)撥。

【環(huán)節(jié)三】題型變式，初步探究

師：下面請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，運(yùn)用類比的方法，對(duì)該題進(jìn)行更深入的探究。

生1（第1小組代表）：我們運(yùn)用了特殊化的方法，發(fā)現(xiàn)圓是橢圓的特例，應(yīng)該有類似的結(jié)論：已知圓x2+y2=R2上的一點(diǎn)P（t，s）（-R[<]t[<]R）（t不為0），過點(diǎn)Q（t，0）作直線交圓于A，B兩點(diǎn)（異于P點(diǎn)），交直線l：x=[R2t]于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常數(shù)[λ]使得k1+k2=[λk3]成立。

生2（第2小組代表）：我們運(yùn)用了類比的方法，猜想雙曲線應(yīng)該也有類似的結(jié)論，即過雙曲線C：[x2a2-y2b2=1]（a[>]0，b[>]0）的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓上方于點(diǎn)P，AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與雙曲線的右準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)M。記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常數(shù)[λ]使得k1+k2=[λk3]恒成立。

生3（第3小組代表）：我們也是運(yùn)用了類比的方法，猜想拋物線應(yīng)該也有類似的結(jié)論，即過拋物線y2=2px（p[>]0）的焦點(diǎn)F作FP[⊥]x軸交拋物線上方于點(diǎn)P，AB是經(jīng)過焦點(diǎn)F的任一條弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），直線AB交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M。設(shè)PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常數(shù)[λ]使得k1+k2=[λk3]。

在學(xué)生分享后，教師用幾何畫板對(duì)大家的結(jié)論和證明進(jìn)行動(dòng)態(tài)驗(yàn)證。

【環(huán)節(jié)四】適時(shí)引導(dǎo)，深入探究

師：如果將P點(diǎn)變成橢圓上任意一點(diǎn)，直線垂直于x軸，焦點(diǎn)改為x軸上的某個(gè)點(diǎn)，是否也有類似結(jié)論呢？

學(xué)生猜想結(jié)論：已知橢圓上的任一點(diǎn)P（t，s）（-a[<]t[<]a）（t不為0），過點(diǎn)Q（t，0）作直線AB交橢圓于A，B兩點(diǎn)（異于P點(diǎn)），交直線l：x=[a2t]于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常數(shù)[λ]使得k1+k2=[λk3]成立。

教師用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)驗(yàn)證，并推廣到圓、雙曲線、拋物線，之后要求學(xué)生課后自主編題證明。

師：我們把剛才的部分條件和結(jié)論互換，結(jié)論是否成立？例如已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且PF[⊥]x軸，過焦點(diǎn)F的任一直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且不過P點(diǎn)，若直線AB上有一點(diǎn)M，設(shè)PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，且k1+k2=[2k3]，則點(diǎn)M在一條定直線上。

【環(huán)節(jié)五】建構(gòu)模型，總結(jié)提升

師：回顧本節(jié)課，你能否通過一道題對(duì)平面解析幾何問題的求解知識(shí)、方法、思想談?wù)勛约旱捏w會(huì)？

教師請(qǐng)學(xué)生先自行思考，并對(duì)總結(jié)的內(nèi)容進(jìn)行展示。最后，教師總結(jié)歸納，對(duì)本節(jié)課一個(gè)問題的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行總結(jié)（如圖4），并衍生、推廣到更一般的問題。

四、結(jié)語

平面解析幾何內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的重要載體，也是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。如果教師在教學(xué)過程中采用就定理講定理，先理論后訓(xùn)練的傳統(tǒng)教學(xué)方法很難培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。只有不斷地優(yōu)化學(xué)習(xí)的策略，把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)開展建模與探究活動(dòng)，才能讓數(shù)學(xué)知識(shí)成為通向?qū)W科核心素養(yǎng)的階梯，也才有助于學(xué)生形成專家思維，真正學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，從而不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍.我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何教材的沿革：“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之二［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（15）：1-4.

［2］章建躍.中學(xué)解析幾何的核心結(jié)構(gòu)：“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之三［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（17）：4-5，9.

［3］鄭淵方，廖伯琴，王姍.探究式教學(xué)的模型建構(gòu)探討［J］.教育學(xué)報(bào)，2001（5）：1-4，18.

（責(zé)任編輯：陸順演）