以學(xué)生為中心的復(fù)變函數(shù)教學(xué)研究

唐 麗

(綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，綿陽四川 621000)

0 引言

復(fù)變函數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課，具有知識(shí)點(diǎn)多、難度大的特點(diǎn).傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往著眼于知識(shí)本身的傳授，教學(xué)方法單一，且過于強(qiáng)調(diào)教師在課堂上的主導(dǎo)地位，忽視了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生處于被動(dòng)的學(xué)習(xí)地位，抑制了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這門課學(xué)習(xí)興趣不高，教學(xué)效果不理想.在全面實(shí)施素質(zhì)教育，以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為核心的大環(huán)境下，需不斷地推進(jìn)復(fù)變函數(shù)教學(xué)改革，適應(yīng)國(guó)家對(duì)人才培養(yǎng)的要求，是目前教師必須深思的一個(gè)課題.

近年來，OBE(Outcomes-based Education)的教育理念深入到高等教育的各個(gè)方面與各門課程中.而這一理念凸顯了以學(xué)生為中心，產(chǎn)出為導(dǎo)向.如何在各科課程教學(xué)中做到以學(xué)生為中心，則是所有教師應(yīng)重點(diǎn)考慮的問題.近年來，大量的教學(xué)法應(yīng)用在教學(xué)實(shí)踐中，比如任務(wù)驅(qū)動(dòng)法[1]、直觀教學(xué)法、研究性教學(xué)法[2-3]、對(duì)比教學(xué)法[4]、類比教學(xué)法[5]、案例教學(xué)法、PLB(Problem-Based Learning)法等.結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為：盡管上述教學(xué)法都各有優(yōu)勢(shì)，但若是在教學(xué)過程中，課堂沒有能引起學(xué)習(xí)者興趣的學(xué)習(xí)環(huán)境，雖然采取了不同教學(xué)方法的融合，但其教學(xué)結(jié)果同樣會(huì)不盡人意.

本文(1)探討了教師如何創(chuàng)設(shè)能引起學(xué)習(xí)者經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)環(huán)境，且這種經(jīng)驗(yàn)?zāi)艽龠M(jìn)學(xué)習(xí)者的知識(shí)產(chǎn)生變化；(2)討論了如何根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的要求將幾種不同教學(xué)法融為一體的運(yùn)用在復(fù)變函數(shù)課堂，有助于培養(yǎng)和造就學(xué)生的認(rèn)知能力、創(chuàng)新能力，并能使學(xué)生將“知識(shí)”迅速轉(zhuǎn)化為“能力”；(3)說明了如何激發(fā)學(xué)生與環(huán)境互動(dòng)來創(chuàng)造各種經(jīng)驗(yàn)，以引起自身知識(shí)的變化.

1 復(fù)變函數(shù)教學(xué)研究

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)研究的環(huán)節(jié)中，以“學(xué)生為中心”，本文從以下三方面來進(jìn)行討論：首先是創(chuàng)造能引起學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)環(huán)境，把學(xué)生引入一種與學(xué)習(xí)主題有關(guān)的情景中；其次，通過對(duì)比、類比等教學(xué)方法的運(yùn)用，讓學(xué)習(xí)者能更深入理解課堂知識(shí)；最后，激發(fā)學(xué)習(xí)者與環(huán)境的互動(dòng).

1.1 創(chuàng)造能引起學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)環(huán)境

這里所講的學(xué)習(xí)環(huán)境，不是學(xué)習(xí)者周圍是否安靜這類通常意義上的外在環(huán)境，而是與動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)進(jìn)程緊緊聯(lián)系在一起的一個(gè)動(dòng)態(tài)概念，是學(xué)習(xí)活動(dòng)展開的過程中賴以持續(xù)的情況和條件[6].在動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)環(huán)境中，教學(xué)者創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)內(nèi)容的主體進(jìn)行理解的情景——?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情景，從而制造 “不協(xié)調(diào)”，把學(xué)生引入一種與問題相關(guān)的情景的過程，達(dá)到一種從“不協(xié)調(diào)—探究—深思—發(fā)現(xiàn)—解決問題”的一個(gè)自覺的過程.比如，為了讓學(xué)生理解并深入理解復(fù)變函數(shù)連續(xù)的概念，教師先考慮實(shí)函數(shù)(兩個(gè)變量之間的問題)連續(xù)的概念.針對(duì)實(shí)函數(shù)連續(xù)的定義，侯世達(dá)[7]把它想象成一個(gè)以點(diǎn)(x0,f(x0))為中心的“小方盒”，本文稱它為“如意小方盒”(當(dāng)學(xué)習(xí)者首次聽到“如意小方盒”的概念，就是疑惑：與今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)嗎？)無論學(xué)習(xí)者希望f(x)多么靠近f(x0)(這一想法都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)矮盒子的形象，其中函數(shù)值在垂直方向非常近，即|f(x)-f(x0)|<ε)，最后都可以把盒子想象得非常窄(?δ)，窄到所需條件在其中任何地方都成立(這一條件可以轉(zhuǎn)化為|x-x0|<δ)，最終一切都聚焦到尺度任意小的函數(shù)圖像上.換言之，矮盒子的形象非常具體的把實(shí)函數(shù)連續(xù)的定義以動(dòng)態(tài)的形式呈現(xiàn)出來.當(dāng)課堂中教師通過動(dòng)態(tài)圖展式這一變化過程時(shí)，學(xué)習(xí)者對(duì)連續(xù)的概念有了不一樣的理解：原來，在連續(xù)概念中，變量x的變化可以對(duì)應(yīng)到如意小方盒的寬窄，函數(shù)值的變化則可以對(duì)應(yīng)到小方盒的高矮.因此，在實(shí)函數(shù)連續(xù)概念這一學(xué)習(xí)環(huán)境中，進(jìn)而學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)(四個(gè)變量之間的問題)連續(xù)的概念時(shí)就變得順理成章.有學(xué)習(xí)者提問：既然函數(shù)值的變化能影響到小方盒的高矮，那這個(gè)小方盒的變化也可以影響到另一個(gè)小方盒.可不可以利用兩個(gè)“如意小方盒”來解決復(fù)變函數(shù)連續(xù)的問題呢？ 這就是學(xué)習(xí)者的知識(shí)在不知不覺中產(chǎn)生了變化.

為了創(chuàng)設(shè)更好的學(xué)習(xí)環(huán)境，教師可以利用發(fā)達(dá)的移動(dòng)通訊設(shè)備，結(jié)合學(xué)習(xí)者喜歡玩手機(jī)的心態(tài)，在線發(fā)布預(yù)習(xí)試題進(jìn)行預(yù)習(xí)檢驗(yàn).當(dāng)然，這一手段的創(chuàng)設(shè)，是為了更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，同時(shí)也對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容起到承上啟下的作用.并且通過這種手段，可以對(duì)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)起到監(jiān)督的作用.當(dāng)然，這些在線發(fā)布的測(cè)試題不能過于難，否則會(huì)打擊學(xué)習(xí)者的積極性.

1.2 對(duì)比、類比教學(xué)法

“概念獲得”是Bruner(1973)提出的一種教學(xué)策略，Joyce和Weil(1986)予以普及開來：“它能通過讓學(xué)生比較與對(duì)照兩種不同的例子(范例)——包含概念屬性和不包含概念屬性的例子，幫助學(xué)生獲得一個(gè)概念”[8].為學(xué)生提供了有利的學(xué)習(xí)環(huán)境后，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，教師可以采取不同的教學(xué)方法進(jìn)行適當(dāng)融合.由于本文主要是針對(duì)概念教學(xué)，因此主要就對(duì)比、類比的教學(xué)方法的融合進(jìn)行詳細(xì)介紹.對(duì)比就是通過運(yùn)用對(duì)照的方法來明確事物之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維過程的方法.因此需要在知識(shí)深度和廣度的基礎(chǔ)上，以比較為基礎(chǔ)，找出兩個(gè)不同對(duì)象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).然后以此作為依據(jù)，將有關(guān)知識(shí)和理論平移到另一對(duì)象上.作為思考之源和思維之火的類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測(cè)與其類似的事物也應(yīng)具有這種相同屬性的推理.類比思想是理解新情境和構(gòu)建新概念的關(guān)鍵.在我們剛開始接觸到新的知識(shí)時(shí)，比較好的方式是利用樸素類比[7]來理解科學(xué)概念.樸素類比是把新環(huán)境比作熟悉的東西，可以讓我們對(duì)新環(huán)境至少有一個(gè)大體上的理解，與通過構(gòu)建情境之間的映射經(jīng)由刻意思考完成的標(biāo)準(zhǔn)類比是不同的.樸素類比直接指向結(jié)論，而沒有考慮其他選擇，并且不會(huì)產(chǎn)生任何不確定的結(jié)論或疑慮[7].比如實(shí)函數(shù)連續(xù)的概念[9-10]：

定義1函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)有定義，若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)δ(ε)，使得當(dāng)|x-x0|<δ(ε)時(shí)，有|f(x)-f(x0)|<ε

相較于實(shí)函數(shù)連續(xù)的定義，有復(fù)變函數(shù)連續(xù)的定義[11-12]：

定義2設(shè)函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在集E上確定，并且集E上的聚點(diǎn)z0∈E，如果對(duì)任給ε>0，可以找到一個(gè)與ε有關(guān)的正數(shù)δ=δ(ε)，使得當(dāng)z∈E，并且|z-z0|<δ時(shí)，有

|f(z)-f(z0)|<ε

為了讓學(xué)生能深入理解復(fù)變函數(shù)連續(xù)概念，在教學(xué)中采取對(duì)比和類比同時(shí)進(jìn)行.同時(shí)教師還通過網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)發(fā)布相應(yīng)的測(cè)試題讓學(xué)習(xí)者進(jìn)行練習(xí)；并且可以根據(jù)在線測(cè)試的結(jié)果，教師可以及時(shí)對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行調(diào)整.

1.2.1 對(duì)比教學(xué)法 從實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)連續(xù)定義的形式來看，除個(gè)別字母表示不同之外，二者形式上完全一樣.如果復(fù)變函數(shù)連續(xù)的定義用文字?jǐn)⑹鲞M(jìn)行講解，初學(xué)者則有可能產(chǎn)生思維定勢(shì)，直接把數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)中的實(shí)變函數(shù)連續(xù)概念照搬過來進(jìn)行理解，有的同學(xué)還從左右連續(xù)的概念來理解復(fù)變函數(shù)連續(xù)的概念.如果是這樣的學(xué)習(xí)效果，則是沒有弄清楚實(shí)函數(shù)與復(fù)變函數(shù)連續(xù)的區(qū)別.當(dāng)然，在創(chuàng)造能引起學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)環(huán)境后，這種情況應(yīng)該不會(huì)發(fā)生.此時(shí)，采用對(duì)比教學(xué)法從幾何的角度來處理這兩個(gè)概念，就會(huì)使得二者的差異性不言而喻.

圖1 y=f(x)的幾何意義Fig.1 The geometric significance of y=f(x)

首先，從幾何方面來進(jìn)行對(duì)比.

圖1、圖2實(shí)函數(shù)與復(fù)變函數(shù)連續(xù)的幾何意義進(jìn)行對(duì)比：圖1的實(shí)函數(shù)是在一張平面上來處理它的幾何意義，而圖2的復(fù)變函數(shù)是在兩張平面上來處理它的幾何意義；其次，結(jié)合“如意小方盒”，實(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的是一個(gè)如意小方盒，而復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)“如意小方盒”.通過這樣的對(duì)比，生動(dòng)形象，差異性直觀且可視化，兩個(gè)概念的區(qū)別也就直觀形象，這對(duì)學(xué)生而言會(huì)產(chǎn)生更加深刻的視頻印象，這是對(duì)比帶給學(xué)生的效果.

圖2 w=f(z)的幾何意義Fig.2 The geometric significance of w=f(z)

圖3 望遠(yuǎn)鏡Fig.3 A telescope

1.2.2 類比教學(xué)法 在采取了對(duì)比的方式之后，為了進(jìn)一步加深學(xué)生的印象，能否利用學(xué)習(xí)者熟悉的事物來理解這些抽象概念？侯世達(dá)[6]把實(shí)變函數(shù)連續(xù)想象成一個(gè)以點(diǎn)(x0,f(x0))為中心的小方盒，進(jìn)而與熟悉的事物相關(guān)聯(lián)，例如放大鏡、顯微鏡等.而要想徹底理解復(fù)變函數(shù)連續(xù)幾何意義，前提是要理解復(fù)變函數(shù)的幾何意義.但由于復(fù)變函數(shù)涉及到4個(gè)變量，若畫圖則需要在四維空間處理，顯然目前沒法具體操作，因此把它們放在兩張平面上.但對(duì)于在兩張平面上理解這個(gè)概念學(xué)習(xí)者依然覺得很難，以至于對(duì)復(fù)變函數(shù)映射的概念學(xué)習(xí)者總是覺得很抽象.因此，利用學(xué)習(xí)者提出的“兩個(gè)如意小方盒來解決復(fù)變函數(shù)連續(xù)的事情”進(jìn)行深入討論.借鑒于侯世達(dá)所講的如放大鏡、顯微鏡這類的熟悉物體，因此，采用望遠(yuǎn)鏡這一物體來處理復(fù)變函數(shù)的連續(xù).如圖3可以把它想象成分別以z0為中心的物鏡，和以f(z0)為中心的目鏡的望遠(yuǎn)鏡.無論希望f(z)多么靠近f(z0)或者說多么想看清楚距離f(z0)無窮近的地方f(z)物體的特點(diǎn)，都可以在以z0為中心的物鏡上，一個(gè)半徑(?δ)短到所需條件在圓域里任何地方都成立.同樣地，最終一切都聚焦到尺度任意小的函數(shù)圖像上.

顯然，大家通過日常所熟悉的經(jīng)歷(物鏡和目鏡)對(duì)復(fù)變函數(shù)概念進(jìn)行類比，進(jìn)而理解這些知識(shí)點(diǎn)，可以很快消化吸收在課堂上所學(xué)習(xí)的知識(shí)，同時(shí)擴(kuò)展學(xué)生思考思維.這樣的類比，比純粹的實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)的連續(xù)定義的對(duì)比要來得生動(dòng)，同學(xué)們有身邊的事物可以進(jìn)行聯(lián)想和聯(lián)系，同時(shí)也會(huì)讓同學(xué)們更加容易解釋這些概念背后的東西，讓同學(xué)們得到啟發(fā)：既然連續(xù)的概念可以這樣進(jìn)行聯(lián)系，那么復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的定義也可以嘗試這樣的樸素類比，讓同學(xué)們能夠迅速掌握這類概念和定理.

由此可見，在創(chuàng)造了合適的學(xué)習(xí)環(huán)境后，通過對(duì)比類比，幫助學(xué)生獲得了一個(gè)概念.

1.3 激發(fā)學(xué)習(xí)者與環(huán)境互動(dòng)

通常說，興趣是學(xué)習(xí)最好的老師.可是興趣從哪里來呢？教育者應(yīng)該考慮在互動(dòng)中如何讓學(xué)習(xí)者有成就感？比如，在一堂新課中，如何讓學(xué)習(xí)者能感到他已有的知識(shí)對(duì)這堂課是有幫助的？只要是學(xué)習(xí)者，無論小朋友還是大朋友，只要讓學(xué)習(xí)者感到在腦力勞動(dòng)中取得“樂”的喜悅，而這個(gè)“樂”也就是孔子所講的“不亦說乎”，那么學(xué)習(xí)者就會(huì)因?yàn)檫@個(gè)“喜悅的成就感”而有興趣.這樣的課堂效率才高.因此，在復(fù)變函數(shù)課堂中，教育者抓住學(xué)習(xí)者樂玩手機(jī)的特點(diǎn)，讓他們?cè)谑謾C(jī)上做一些與學(xué)習(xí)、課堂有關(guān)的事情——在線測(cè)試題就是其中之一，讓他們能從中得到真正的“成就感”，從而推動(dòng)了復(fù)變函數(shù)課堂的教學(xué).

除此之外，若是在一堂課讓學(xué)習(xí)者感覺這個(gè)事情不難，容易做到，也會(huì)為學(xué)習(xí)者帶來“喜悅的成就感”.因此，教師可以在課堂中適當(dāng)插入復(fù)變函數(shù)相應(yīng)的歷史發(fā)展，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家究竟是怎么做出這些偉大的成就，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心.比如，當(dāng)初復(fù)變函數(shù)理論還沒有建立之前，高斯在和威索(Wessel)通信討論復(fù)變函數(shù)時(shí)寫到，既然復(fù)數(shù)有了函數(shù)的概念，那它有沒有類似微積分的結(jié)論呢？(那個(gè)時(shí)候?qū)嵶兒瘮?shù)的微積分理論已經(jīng)建立).因此，數(shù)學(xué)家沿著實(shí)函數(shù)微積分理論的道路研究復(fù)變函數(shù)，開辟了復(fù)變函數(shù)理論.這樣讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家創(chuàng)立復(fù)變函數(shù)理論的過程.并且，教學(xué)中可以通過實(shí)變函數(shù)的連續(xù)概念推廣到復(fù)變函數(shù)的連續(xù)概念，向?qū)W生進(jìn)一步展示數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)概念的過程即通過對(duì)比已有的概念，來猜測(cè)建立新的東西.這個(gè)過程對(duì)學(xué)習(xí)者具有啟發(fā)作用，讓其感受科研工作究竟可以怎么來做；有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神，同時(shí)有助于學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的養(yǎng)成.

2 復(fù)變函數(shù)連續(xù)中的思政

今天的課堂，要求教育者不僅傳授知識(shí)，而且還要傳遞情感.而思政是一個(gè)很好的手段.思政，不是教條式說無用的鼓勵(lì)話，而是可以讓學(xué)習(xí)者更主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，主動(dòng)參與課堂.因?yàn)殛P(guān)于人的動(dòng)機(jī)和主動(dòng)參與，有一個(gè)高效的促進(jìn)因式——自我系統(tǒng)[13],而自我系統(tǒng)由客我和主我所構(gòu)成[14-15],其中客我是一種正在運(yùn)作的自我概念，能在特定的情境中產(chǎn)生各種動(dòng)機(jī)和自我調(diào)節(jié)策略.也就是說，思政可以讓學(xué)習(xí)者在課堂中產(chǎn)生一種主動(dòng)性.通過對(duì)比和類比知道，實(shí)變函數(shù)連續(xù)概念中的變量x從左右兩邊趨近于定點(diǎn)x0到復(fù)變函數(shù)連續(xù)概念中變量z從四面八方趨近于定點(diǎn)z0的變化方式可以看出，復(fù)變函數(shù)的環(huán)境發(fā)生了翻天覆地的變化.于人而言，雖然有“條條大路通羅馬”，但無論哪條路，人要想讓自己更上一層樓，則必須通過改善自己的生存環(huán)境或更加適應(yīng)生存環(huán)境來實(shí)現(xiàn)自己的目標(biāo).因此，教師暗示這個(gè)概念學(xué)習(xí)者完全可以學(xué)得很好，使得學(xué)習(xí)者產(chǎn)生共鳴：認(rèn)為自己有能力在這堂課中表現(xiàn)得很好，那么課堂所介紹的主題是可以激起學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.正所謂，讀數(shù)學(xué)就是讀人生.

3 結(jié)束語

以學(xué)生為中心的課堂，從學(xué)習(xí)者角度來設(shè)計(jì)教學(xué)方法，才是有效的教學(xué)方法.教師需站在學(xué)習(xí)者的角度，針對(duì)不同的知識(shí)點(diǎn)采取合適的教學(xué)策略和方法，即使是幾種教學(xué)方法融為一體的來處理課堂知識(shí)，只要能引起學(xué)生的注意，能調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)者主動(dòng)加入到課堂中來，能使學(xué)習(xí)者更好理解知識(shí)，那么這種教學(xué)設(shè)計(jì)就是好的.在本課堂中，以復(fù)變函數(shù)連續(xù)概念為知識(shí)點(diǎn)，首先從大家熟悉的知識(shí)點(diǎn)入手，通過幾何對(duì)比，讓學(xué)習(xí)者理解得更透徹；再利用學(xué)習(xí)者熟悉的事物類比闡述這個(gè)概念，讓學(xué)生在自己的親身經(jīng)歷中進(jìn)行知識(shí)的學(xué)習(xí).這樣的處理，使抽象知識(shí)具體化，使得學(xué)生能體會(huì)到知識(shí)在我們生活中的實(shí)際運(yùn)用.總體而言，我們?cè)谘芯扛鞣N適合的教學(xué)方法時(shí)，創(chuàng)新地把學(xué)習(xí)者手中的移動(dòng)通訊工具合理的利用起來，并且能讓學(xué)習(xí)者主動(dòng)點(diǎn)開相應(yīng)的APP進(jìn)行學(xué)習(xí)，有效的調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)者的積極性；其次，讓學(xué)習(xí)者在課堂不知不覺地體會(huì)研究離我們普通人也是很近的；最后，思政也可以讓學(xué)習(xí)者更主動(dòng)地參與課堂，并有一種成就感.

正是采用這樣一種“以學(xué)生為中心”的教學(xué)策略，使得面對(duì)難度系數(shù)很大的復(fù)變函數(shù)課程，學(xué)習(xí)者依然還能積極主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，并且能主動(dòng)地對(duì)其中的一些知識(shí)和數(shù)學(xué)分析的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比、類比，找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).最后，從學(xué)習(xí)通統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，98%以上的學(xué)生能主動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，且能按要求完成80%以上的教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)；從最后的教學(xué)結(jié)果可以看出，學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)的基本概念、基本方法和基本理論的掌握要明顯好于以往，甚至出現(xiàn)了滿分的情況.