太空水球透鏡的成像原理

周 侃

（濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 實訓(xùn)中心，河南 濮陽 457000）

2021年12月9日，女宇航員王亞平在太空授課中展示了“球形水透鏡成像”實驗，先是做一個水膜，然后往水膜中注水使其逐漸變成一個水球，此時可以看到王亞平臉部倒立的像。男宇航員葉光富在向水球中注入一個氣泡后，在微重力的環(huán)境中，氣泡并不上升，當(dāng)王亞平再次站在水球前，不僅能看到她臉部倒立的像，而且還可以看到其臉部正立縮小的像（見圖1）。葉光富站在水球前，也可看到同樣的結(jié)果。那么倒立縮小的像和正立縮小的像是如何形成的呢？騰訊網(wǎng)站物理頻道給出定性解釋：由于水球中的水的折射率小于空氣中的折射率，因此水球可以看成一個凸透鏡，能匯聚光線；往水球中注入空氣后，空氣球部分相當(dāng)于一個凹透鏡，宇航員站在遠處，根據(jù)凸凹透鏡的成像規(guī)律，可形成一倒一正兩個像[1]。但這只是定性分析，不夠嚴謹且說服力不強。本文就太空水球透鏡的成像原理做一定量分析，以使讀者對光學(xué)知識在太空授課中的應(yīng)用有進一步的了解。

圖1 注入一個氣泡，水球形成一正一倒兩個像

太空授課中的水球可以看成一個厚凸透鏡，如圖2所示，因注入氣泡較小且在水球中央位置，所以可以先不考慮氣泡的影響，計算水球的主點、焦距及節(jié)點，進而弄清其光學(xué)性質(zhì)。設(shè)水球半徑為R，物方焦距和像方焦距分別為f、f＇，將δ=2R，r1=R，r2=-R，n=1.33代入厚透鏡物方焦距公式、像方焦距公式和主點位置公式[2]135（厚透鏡在空氣中，f=-f＇）得

圖2 太空水球“等效”于凸透鏡成像

（1）（2）（3）式化簡得

水球處于空氣中，由（4）式知，f＇＞0，所以水球是一匯聚透鏡。（5）式表明主點H在頂點O的右邊R處，（6）式表明主點H＇在頂點O＇的左邊R處，即兩主點重合且通過水球球心。

厚透鏡的節(jié)點是角放大率等于+1的一對共軛點，設(shè)得物方節(jié)點K、像方節(jié)點K＇的位置坐標(biāo)分別為x、x＇（x、x＇分別從物方焦點F、像方焦點F＇量起），由角放大率[3]50得

將（4）式代入以上兩式得

（7）式表明，物方節(jié)點K在焦點F右側(cè)2.02R處，像方節(jié)點在焦點F＇左側(cè)2.02R處，即K、K＇重合在球心處，也就是說通過球心的光線方向不變，因此光心在水球球心處，這也表明水球可“等效”于一個光心（節(jié)點）位于水球球心處的凸透鏡。由于水球的半徑R較小，因此宇航員人臉的位置到光心的距離，大于2倍焦距，即物距s的絕對值│s│＞2f＇，將物距s代入成像公式=1得，0＜s＇＜2f；由橫向放大率知，放大率的絕對值│β│＜1且為負值，人臉成一個倒立縮小的實像。

中央注入一個氣泡后的水球可以看成左、右厚透鏡I和Ⅱ的組合，即一理想光具組，如圖3所示。

圖3 氣泡左右兩側(cè)等效于凹透鏡成像

對于左側(cè)的厚透鏡I而言，設(shè)其物方焦距為f1、像方焦距為f1＇，氣泡的半徑為r，把δ=R-r，r1=R，r2=r，n=1.33分別代入厚透鏡的物方、像方焦距公式和主點位置公式[3]50得

對于右側(cè)的厚透鏡Ⅱ來說，設(shè)其物方焦距為f2、像方焦距為主點H2到頂點O2的距離為p2，主點H2＇到頂點O2＇的距離為p2＇。將δ=R-r，r1=-r，r2=-R,n=1.33分別代入厚透鏡的焦距公式和主點位置公式[2]得

即厚透鏡Ⅱ也是發(fā)散的，根據(jù)符號法則知，主點H2、H2＇仍然重合在水球的球心處。

對于I、Ⅱ厚透鏡組成的理想光具組來說，它們之間的相對位置用到H2之間的距離d表示到F2的距離稱為兩光具組之間的光學(xué)間隔，用△表示。因與H2重合，所以設(shè)物方焦距和像方焦距分別為f和主點H、H＇的位置分別用p、p＇表示。將d、△、f1、f2、f1＇、f2＇代入理想光具焦距及主點位置公式（）得

同理可得，該理想光具組的物方節(jié)點K、像方節(jié)點K＇的位置坐標(biāo)為

計算結(jié)果表明，兩個主平面重合在水球的球心處，物方節(jié)點和像方節(jié)點亦重合在球心處，兩個厚透鏡的組合從光學(xué)性質(zhì)上講仍為一發(fā)散透鏡，即可“等效”于一光心（節(jié)點）在水球球心處的凹透鏡，物方焦距與像方焦距的絕對值相等，與水球的半徑R和氣泡的半徑r有關(guān)，正比于Rr，反比于（R-r），物距s和像距s＇滿足成像公式。R、r的值較小，宇航員臉部的位置離球心（光心）的位置較遠，大于2f的距離，即物距s的絕對值│s│＞2f，根據(jù)成像公式可知，-f＜s＇＜0；橫向放大率且為正值，人臉成一縮小正立的虛像，于是大家看到水球中形成一正一反兩個像。

以上是計算推導(dǎo)得出的結(jié)論，雖然嚴謹可信，但是推導(dǎo)超出了高中生和文科類大學(xué)生的知識范圍，學(xué)生不易理解。作為物理教師有必要明白其中的原理，以加深對光學(xué)知識的理解?？梢酝ㄟ^定性分析引導(dǎo)學(xué)生畫出凸透鏡和凹透鏡成像的光路圖，并向?qū)W生介紹等效的思想和作圖的方法，這樣不僅有助于學(xué)生領(lǐng)悟物理思想方法，提高其科學(xué)思維水平，而且有助于激發(fā)學(xué)生的好奇心，提高探究科學(xué)的興趣[4]25。因為在失重的情況下，往水膜里注水可以得到一個水球。往水球里打入一個氣泡，氣泡并不上浮，所以看到宇航員臉部的兩個像，這些物理現(xiàn)象只有在太空中飛行的航天站里才容易實現(xiàn)，與地球上的情況是不同的，這正是其奇妙之處。生動有趣的物理現(xiàn)象能夠引起學(xué)生的好奇心和探究興趣，而好奇心和探究興趣非常重要，諾貝爾獎獲得者李政道說“好奇心很重要，只有好奇心才能提出問題”。 著名物理學(xué)家愛因斯坦曾說“興趣是最好的老師”，所以好奇心和探究興趣能有力激發(fā)探索欲望，促使學(xué)生進行科學(xué)探究，有助于提高學(xué)生的科學(xué)探究能力，對于提高學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用科學(xué)知識的積極性可起到良好的促進作用，也有助于樹立筑夢航天的志向。