變荷載下考慮起始水力坡降與連續(xù)排水邊界的固結(jié)解

李全軍,陳余,金丹丹,李傳勛

（1.江蘇省地礦局第三地質(zhì)大隊(duì)，江蘇 鎮(zhèn)江 212001；2.江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

自太沙基創(chuàng)立一維固結(jié)理論以來(lái)，固結(jié)理論得到了快速發(fā)展[1-2]。在多數(shù)研究中，一般將地基排水邊界處理為完全透水邊界。但實(shí)際，當(dāng)邊界材料透水性不良時(shí)，土層的邊界條件并不是完全透水的。同時(shí)，Terzaghi一維固結(jié)理論中確實(shí)存在著初始條件與邊界條件不連續(xù)的事實(shí)，為此，梅國(guó)雄等[3]提出了邊界排水情況隨時(shí)間變化的連續(xù)排水邊界條件，進(jìn)而修正了太沙基一維固結(jié)理論。連續(xù)排水邊界條件解決了Terzaghi一維固結(jié)理論中初始條件與邊界條件間不連續(xù)的現(xiàn)象，其滿(mǎn)足固結(jié)模型的初始條件和邊界條件，且通過(guò)對(duì)界面材料透水性的控制，相關(guān)模型能適用于不同排水條件的軟土地基，對(duì)連續(xù)排水邊界下土體固結(jié)理論的研究具有一定的工程實(shí)際意義[3]。

目前，已經(jīng)開(kāi)展對(duì)連續(xù)排水邊界下土體一維固結(jié)理論的相關(guān)研究[3-12]，但絕大多數(shù)研究基于連續(xù)排水邊界的固結(jié)理論，均假定土中滲流遵從達(dá)西定律。而實(shí)際上軟黏土中水的滲流規(guī)律可能存在偏離達(dá)西定律的現(xiàn)象[13-20]。例如，在水力坡降較低的情況下，土中水的實(shí)測(cè)流速很小。Miller等[21]認(rèn)為此時(shí)可以完全忽略低水力坡降下軟黏土中水的流速，即認(rèn)為當(dāng)且僅當(dāng)水力坡降i大于起始水力坡降i0時(shí)，土中水才會(huì)滲流?；谝陨险J(rèn)識(shí)，眾多學(xué)者對(duì)考慮起始水力坡降的固結(jié)理論展開(kāi)了研究[21-28]。但以上考慮起始水力坡降的固結(jié)理論均認(rèn)為土層邊界為完全透水或完全不透水邊界，同時(shí)考慮連續(xù)排水邊界和起始水力坡降影響的固結(jié)理論還很少見(jiàn)到。

考慮實(shí)際工程中施工荷載均隨時(shí)間逐漸增加的事實(shí)，對(duì)變荷載下同時(shí)考慮連續(xù)排水邊界和起始水力坡降的軟土地基一維固結(jié)理論展開(kāi)研究，建立其固結(jié)模型并獲得近似解答，基于該解答著重分析邊界系數(shù)b和起始水力坡降i0對(duì)固結(jié)性狀的影響及不同工況下固結(jié)性狀的異同。

1 固結(jié)模型的建立

如圖1所示，無(wú)限均布的變荷載P(t)施加于厚度為H的均質(zhì)地基上，土層性質(zhì)為飽和黏性土，其中：滲透系數(shù)為kv；壓縮模量為Es。除邊界條件、外荷載及土中滲流規(guī)律外，作與Terzaghi一維固結(jié)理論相同的基本假定。

圖1 軟土地基一維固結(jié)模型Fig.1 One-dimensional consolidation model of soft ground

梅國(guó)雄等[3]在研究瞬時(shí)加載的連續(xù)排水邊界（u（0,t）=qe-bt）的基礎(chǔ)上，根據(jù)孔壓疊加原理進(jìn)一步得到了隨時(shí)間變化的外荷載下的邊界條件，文獻(xiàn)[22]中對(duì)變荷載下的連續(xù)排水邊界已有一定研究，其連續(xù)排水邊界處的邊界條件為

式中：b為界面系數(shù)，與界面材料性質(zhì)有關(guān)，可通過(guò)實(shí)測(cè)孔壓反演得到；u為超靜孔隙水壓力；t為時(shí)間；e為 常 數(shù)；τ為 積 分 變 量；P”(τ)為 變 荷 載 的 一 階 導(dǎo)數(shù)；P(0)為變荷載的初始值。超靜孔壓的初始值為u(z,0)=P(0)。

由于起始水力坡降的存在，滲流過(guò)程中存在著移動(dòng)邊界問(wèn)題，在滲流移動(dòng)邊界處及以下的超靜孔壓沒(méi)有變化，故移動(dòng)邊界處的超靜孔壓應(yīng)滿(mǎn)足[15]

式中：z為深度；h（t）為t時(shí)刻移動(dòng)邊界距離透水面的距離；P(t)為變荷載；i0為起始水力坡降；γw為水的重度。土中水的滲流遵循起始水力坡降的滲流模型，其表達(dá)為[14]

式中：v為黏土層中水的流速；kv為黏土層的滲透系數(shù)；i為水力坡降。以式（4）所表達(dá)的滲流模型為基礎(chǔ)，根據(jù)土中單元體流入與流出的流量差等于單元體的體積改變量，得到變荷載下考慮起始水力坡降的一維固結(jié)控制方程

式中：cv為固結(jié)系數(shù)，cv=kvEs/γw。

2 單面排水下模型的解析求解

前面已建立了變荷載下考慮起始水力坡降的單面排水固結(jié)控制方程及其初始條件與邊界條件。為得到解析解答做如下變量代換，令

式中：w（z,t）為關(guān)于深度z與時(shí)間t的待定函數(shù)。

控制方程（5）變?yōu)?/p>

式中：f(t)為定解方程中關(guān)于外部荷載的待定函數(shù)，其表達(dá)式為

其定解條件變?yōu)?/p>

將定解函數(shù)w(z,t)和f(t)進(jìn)行傅里葉展開(kāi)

將式（12）和式（13）代入式（7）得

求解式（14）得到其通解

代入式（12）得

將w(z,t)代入定解條件w(z,0)=P(0)-i0γwz中，根據(jù)正弦函數(shù)的正交關(guān)系

故滲流前鋒未到達(dá)土層底面的超靜孔隙水壓力的表達(dá)式為

式中：

根據(jù)式（2），移動(dòng)邊界的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律為

滲流前鋒到達(dá)土層底部時(shí)孔壓表達(dá)式為

式中：

2.1 單級(jí)加載下加荷階段的解析解

單級(jí)加載為變荷載達(dá)到穩(wěn)定值qc前荷載大小與時(shí)間成正比例函數(shù)關(guān)系，荷載達(dá)到最大值后保持恒定不變。單級(jí)加載隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系為

式中：tc為外荷載達(dá)到最大值的時(shí)間。

當(dāng)0＜t＜tc時(shí)，外荷載處于加荷載階段，將式（21）代入式（14）得單級(jí)加載下超靜孔壓內(nèi)關(guān)于時(shí)間t的定解函數(shù)wn（t）所滿(mǎn)足的微分方程關(guān)系式

在處理移動(dòng)邊界問(wèn)題時(shí)，需要將t時(shí)刻下移動(dòng)邊界距離排水面的位置假定為常數(shù)h，對(duì)式（22）進(jìn)行Laplace變換，令Y（s）=L[wn（t）]，得到時(shí)間函數(shù)Tn（t）的像函數(shù)為

再利用Laplace逆變換對(duì)式（23）進(jìn)行求解，得

式中:

將式（24）代入式（6）和式（12），得到處于加荷階段的超靜孔壓表達(dá)式

式中：

若該時(shí)段內(nèi)移動(dòng)邊界未到達(dá)土層底面，則移動(dòng)邊界位置變化規(guī)律應(yīng)滿(mǎn)足式（2）和式（25），其表達(dá)式為

將式（26）中各參數(shù)無(wú)量綱化后，得到移動(dòng)邊界X隨時(shí)間因子Tv變化的關(guān)系式

若該時(shí)段內(nèi)滲流前鋒能到達(dá)土層底面，設(shè)移動(dòng)邊界到達(dá)土層底部的時(shí)間為tH，則當(dāng)tH＜t＜tc時(shí)，移動(dòng)邊界處于土層底部且不再變化，即h(t)=H，此時(shí)超靜孔壓表達(dá)式為

式中：

2.2 單級(jí)加載下恒載階段的解析解

當(dāng)tc＜t時(shí)，外荷載已處于恒定不變的值qc，該時(shí)段內(nèi)的關(guān)于t的定解微分方程為

同樣，對(duì)式(29)進(jìn)行Laplace變換，得到該式解的像函數(shù)為

通過(guò)對(duì)式（30）進(jìn)行Laplace逆變換，得到恒載階段的w（z,t），進(jìn)而得到超靜孔壓的表達(dá)式

式中:

當(dāng)固結(jié)時(shí)間t→∞時(shí)，此時(shí)滲流移動(dòng)邊界仍然未到達(dá)土層底部，殘留孔壓沿土層深度分布為

若滲流移動(dòng)邊界已經(jīng)到達(dá)土層底部，則殘留孔壓沿土層深度分布為

移動(dòng)邊界X隨時(shí)間Tv的變化規(guī)律為

若移動(dòng)邊界到達(dá)土層底部，此時(shí)超靜孔壓表達(dá)式為

式中：

3 模型的固結(jié)度解答

3.1 單級(jí)加載下加荷階段的固結(jié)度

若在該階段滲流前鋒始終不能到達(dá)土層底面，按孔壓定義的平均固結(jié)度計(jì)算式

將式（25）代入式（36），得到該模型下加荷階段的平均固結(jié)度為

根據(jù)有效應(yīng)力原理

結(jié)合應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，得到沉降量

同樣地，根據(jù)有效應(yīng)力原理，將式（32）代入式（38），同時(shí)結(jié)合應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，可以得到地基最終沉降量的計(jì)算公式

進(jìn)而得到按變形定義的平均固結(jié)度

若在該階段滲流前鋒已經(jīng)到達(dá)土層底面，即h（t）=H（X=1），按孔壓定義的平均固結(jié)度表達(dá)式為

式中：

若移動(dòng)邊界最終能到達(dá)土層底面，其按變形定義的平均固結(jié)度為

3.2 單級(jí)加載下恒載階段的固結(jié)度

若在該時(shí)段內(nèi)移動(dòng)邊界始終未到達(dá)土層底部，則按孔壓定義的平均固結(jié)度為

該時(shí)段內(nèi)沉降量隨時(shí)間變化的表達(dá)式為

根據(jù)式（39）及式（42），可以得到按變形定義的平均固結(jié)度

若滲流移動(dòng)邊界到達(dá)土層底部，則按孔壓定義的平均固結(jié)度表達(dá)式為

式中：

若滲流移動(dòng)邊界最終能到達(dá)土層底部，按變形定義的平均固結(jié)度表達(dá)式為

4 解析解的退化

4.1 退化為達(dá)西定律連續(xù)排水邊界下的固結(jié)解

水力坡降i0的存在導(dǎo)致土中滲流不滿(mǎn)足達(dá)西定律，故令i0(R)=0，則模型可以退化為僅考慮連續(xù)排水邊界的滲流模型。

1）當(dāng)0≤t＜tc時(shí)，超靜孔壓的表達(dá)式退化為

式中：

沉降量為

2）當(dāng)tc≤t時(shí)，該時(shí)段下外荷載達(dá)到峰值且不再變化（P(t)=qc），此時(shí)孔壓表達(dá)式退化為

式中：

沉降量的表達(dá)式退化為

4.2 退化為完全透水邊界下的固結(jié)解答

b越大，邊界透水性越好，因此，若b趨近于∞，則連續(xù)排水邊界可以退化為完全透水邊界。

1）當(dāng)0≤t＜tc時(shí)，超靜孔壓的表達(dá)式退化為

式中：

移動(dòng)邊界X關(guān)于時(shí)間因子Tv的變化規(guī)律退化為

沉降量的表達(dá)式退化為

2）當(dāng)tc≤t時(shí)，超靜孔壓表達(dá)式退化為

式中：

則移動(dòng)邊界X隨時(shí)間因子Tv的變化規(guī)律為

沉降量的表達(dá)式為

以上解答退化為文獻(xiàn)[27]中變荷載下考慮起始水力坡降的一維固結(jié)解析解。

這些退化解均是解析解的特例，進(jìn)一步驗(yàn)證了解析解的可靠性。

5 固結(jié)性狀分析

影響固結(jié)模型性狀的主要因素是變荷載的加載速度、起始水力坡降及邊界透水性能3個(gè)方面，具體體現(xiàn)為無(wú)量綱時(shí)間因子Tvc、無(wú)量綱變量R及無(wú)量綱變量B對(duì)固結(jié)性狀的影響，相關(guān)計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 固結(jié)性狀計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of consolidation characters

5.1 起始水力坡降對(duì)固結(jié)性狀的影響

由于起始水力坡降i0的存在，導(dǎo)致土層在固結(jié)過(guò)程中存在移動(dòng)邊界現(xiàn)象，并且土中的超靜孔壓在固結(jié)完成后并不能完全消散。若移動(dòng)邊界能到達(dá)土層底面，則整個(gè)土層均會(huì)發(fā)生滲流固結(jié)；若滲流鋒面最終不能到達(dá)土層底面，則僅移動(dòng)邊界之上的土層才發(fā)生固結(jié)，移動(dòng)邊界之下的土層中超靜孔壓則保持與外荷載大小一致。

圖2（a）、（b）分別給出當(dāng)R(i0γwH/q0)＞1和R≤1情況下的移動(dòng)邊界隨時(shí)間的發(fā)展過(guò)程?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)R≤1時(shí)，移動(dòng)邊界能到達(dá)土層底面；當(dāng)R＞1時(shí)，移動(dòng)邊界不能到達(dá)土層底面，且其最終到達(dá)的位置剛好是1/R。且移動(dòng)邊界的位置在施加荷載后瞬間發(fā)生變化，由排水面向不排水面方向移動(dòng)。R值的大小對(duì)移動(dòng)邊界移動(dòng)速率的大小影響較大，表現(xiàn)為R值與移動(dòng)邊界的速率成反比。R值越大，移動(dòng)邊界下移速率越小；R值越小，滲流移動(dòng)邊界下移速率越大。

圖2 R對(duì)X-Tv曲線(xiàn)的影響Fig.2 Influences of R on the X-Tv curves

圖3為T(mén)v=0.35時(shí)刻的超靜孔壓分布圖。

由圖3可知，R值越大，該時(shí)刻下超靜孔壓越大，當(dāng)R=0時(shí)，同一深度處土中超靜孔壓最小。這說(shuō)明超靜孔壓消散速率隨R值的增大而逐漸減小。

圖3 R對(duì)u/qc-z/H曲線(xiàn)的影響(Tv=0.35)Fig.3 Influences of R on the u/qc-z/H curves(Tv=0.35)

圖4為z/H=0.7處不同R值下超靜孔壓隨時(shí)間消散過(guò)程，可發(fā)現(xiàn)R=0時(shí)超靜孔壓消散速度最快，且R越大，超靜孔壓消散速率越小。當(dāng)滲流規(guī)律滿(mǎn)足達(dá)西定律時(shí)，超靜孔壓能夠最終消散至0，反之，超靜孔壓不能最終消散至0。

圖4 R對(duì)u/qc-Tv曲線(xiàn)的影響(z/H=0.7)Fig.4 Influences of R on the u/qc-Tv curves(z/H=0.7)

圖5為不同R值下土層固結(jié)度隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，同樣反映了土層中超靜孔壓的消散規(guī)律?？砂l(fā)現(xiàn)，當(dāng)固結(jié)最終完成時(shí)，其最終平均固結(jié)度的大小隨著R值的增大而減小。當(dāng)R等于0時(shí)，土層的最終平均固結(jié)度能達(dá)到100%。

圖6為不同R值下沉降量S隨時(shí)間變化曲線(xiàn)，同樣反映了圖5中描述的固結(jié)性狀?？砂l(fā)現(xiàn)，當(dāng)固結(jié)最終完成時(shí)，其最終沉降量的大小隨著R值的增大而減小。

圖5 R對(duì)Up-Tv曲線(xiàn)的影響Fig.5 Influences of R on the Up-Tv curves

圖6 R對(duì)S-Tv曲線(xiàn)的影響Fig.6 Influences of R on the S-Tv curves

5.2 不同邊界條件對(duì)固結(jié)性狀的影響

由式（1）可知，在土層厚度不變的情況下，通過(guò)改變無(wú)量綱變量B（bH2/cv），可得到具有不同排水能力的邊界條件。邊界透水性能的好壞與B值成正比，B值越小，排水面的透水能力越差；B值越大，排水面的透水能力越好，且當(dāng)B值足夠大時(shí)，其邊界條件則退化為完全透水邊界。

由于超靜孔隙水壓力的消散，滲流前鋒會(huì)隨著固結(jié)時(shí)間的推移而逐漸下移。如圖7所示，B值越小，邊界透水情況越差，移動(dòng)邊界到達(dá)底部的時(shí)間越長(zhǎng)；B值越大，邊界透水情況越好，移動(dòng)邊界到達(dá)土層底部的時(shí)間越少。當(dāng)邊界條件為完全透水邊界時(shí)，移動(dòng)邊界下移速度最快。

圖7 B對(duì)滲流移動(dòng)邊界的影響Fig.7 Influences of B on the moving boundary of seepage flow

圖8為T(mén)v=0.35時(shí)超靜孔壓隨深度分布曲線(xiàn)圖。從圖中可以看出超靜孔壓隨深度的分布規(guī)律，即同一深度處超靜孔壓值隨B值的增大而逐漸減小，且當(dāng)B取無(wú)窮大時(shí)，殘留的超靜孔壓值最小。說(shuō)明在該時(shí)刻超靜孔壓在完全透水邊界下消散速度最快。

圖8 B對(duì)u/qc-z/H曲線(xiàn)的影響(Tv=0.35)Fig.8 Influences of B on the u/qc-z/H curves(Tv=0.35)

圖9為z/H=0.5處超靜孔壓隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，該曲線(xiàn)進(jìn)一步描述了圖7所展示的消散規(guī)律及邊界透水情況對(duì)超靜孔壓消散的影響。B值越大，邊界透水性越好，相同深度處的超靜孔壓消散速率越大，同時(shí)也越接近于完全透水邊界條件下的超靜孔壓隨時(shí)間分布的曲線(xiàn)。

圖9 B對(duì)u/qc-Tv曲線(xiàn)的影響Fig.9 Influences of B on the u/qc-Tv curves

圖10為固結(jié)度隨時(shí)間發(fā)展曲線(xiàn)圖，上述固結(jié)性狀在圖10中得到進(jìn)一步展示。從圖10可以發(fā)現(xiàn)，B值越大，相同時(shí)間下地基固結(jié)度越高，且完全透水邊界下土層的平均固結(jié)度最大。

圖10 B對(duì)固結(jié)度Up的影響Fig.10 Influences of B on the consolidation degree Up

圖11為沉降量隨時(shí)間發(fā)展曲線(xiàn)圖，從圖11可以發(fā)現(xiàn)，B值越大，固結(jié)完成之前同時(shí)刻下沉降量越大，且邊界透水情況對(duì)最終沉降量無(wú)影響。

圖11 B對(duì)沉降量S的影響Fig.11 Influences of B on the steelement amount S

5.3 施加荷載速率大小(Tvc)對(duì)固結(jié)性狀的影響

針對(duì)外荷載加載速率對(duì)固結(jié)性狀的影響，選取不同Tvc值對(duì)超靜孔壓及按空壓定義的平均固結(jié)度進(jìn)行固結(jié)性狀分析。

如圖12所示，土層中同一位置處的超靜孔壓與荷載施加完成的時(shí)間因子Tvc(Tvc=0.1、0.2、0.5、0.8、1.2、1.5)息息相關(guān)，Tvc越小，移動(dòng)邊界到達(dá)土層底部的時(shí)間越短，超靜孔壓達(dá)到最大時(shí)的值越大，且超靜孔壓達(dá)到最大值的時(shí)間越短。

圖12 Tvc對(duì)u/qc-Tv曲線(xiàn)的影響Fig.12 Influences of Tvc on the u/qc-Tv curves

圖13所示為按孔壓定義的平均固結(jié)度隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)，相同時(shí)間下加載時(shí)間Tvc越小，土層固結(jié)度越大。隨著加載速率的減小，土層固結(jié)速率逐漸緩慢，到固結(jié)后期，這種現(xiàn)象逐漸消失。由圖可知，Tvc的變化不影響平均固結(jié)度的最終大小，且該固結(jié)性狀可以由圖11中超靜孔壓隨時(shí)間變化曲線(xiàn)得到進(jìn)一步證明。

圖13 Tvc對(duì)Up-Tv曲線(xiàn)的影響Fig.13 Influences of Tvc on the Up-Tv curves

圖14表示沉降量隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，加載時(shí)間Tvc越小，加載速率越大，固結(jié)完成前同時(shí)刻下地基沉降量越大。其加載速率大小對(duì)最終沉降量沒(méi)有影響。

圖14 Tvc對(duì)S-Tv曲線(xiàn)的影響Fig.14 Influences of Tvc on the S-Tv curves

6 結(jié)論

考慮實(shí)際中的變荷載、土中存在的起始水力坡降及不同透水性能的排水邊界條件，以傳統(tǒng)Terzaghi一維固結(jié)理論為基礎(chǔ)，重新建立并推導(dǎo)單級(jí)荷載下考慮起始水力坡降和連續(xù)排水邊界的一維固結(jié)控制方程及其解析解，結(jié)論如下：

1）給出了基于變荷載下連續(xù)排水邊界和起始水力坡降的軟土一維固結(jié)的解析解答，并給出了特殊的單級(jí)加載下該模型的固結(jié)解析解。目前考慮起始水力坡降在完全透水邊界下的固結(jié)解和達(dá)西定律下考慮連續(xù)排水邊界的固結(jié)解均是本文解析解的特例。

2）本文解為變荷載下同時(shí)考慮連續(xù)排水邊界和起始水力坡降的固結(jié)問(wèn)題提供了固結(jié)計(jì)算的理論支撐。

3）與在完全透水邊界下相比，連續(xù)排水邊界下起始水力坡降和加載速率對(duì)軟黏土固結(jié)性狀的影響并未發(fā)生明顯改變。在考慮連續(xù)排水邊界的情況下，與完全透水邊界下相比，加載速率的大小對(duì)軟土固結(jié)性狀的影響并未發(fā)生明顯改變。連續(xù)排水邊界對(duì)起始水力坡降所引起的移動(dòng)邊界下移速度影響較大，其透水性越好，移動(dòng)邊界下移速度越快。