胡坤 王旭
在“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)中,高斯計(jì)算“123100?+++???+=”的故事常作為典型數(shù)學(xué)史,鮮有其他數(shù)學(xué)史案例.事實(shí)上,我國(guó)有著悠久的歷史文化,很多方面都有豐富的典籍流傳于世,在數(shù)學(xué)教學(xué)上不能忘記自己的傳統(tǒng),不能忽略自己傳統(tǒng)中有重要價(jià)值的東西[1].《算經(jīng)十書(shū)》是具有代表性意義的十種數(shù)學(xué)著作,它們是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)史的必要文獻(xiàn).《算經(jīng)十書(shū)》中的《張丘建算經(jīng)》就有很多利用等差數(shù)列求和公式解決實(shí)際問(wèn)題的案例.若在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中融入這些案例,就能讓學(xué)生更深入了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,開(kāi)拓視野,從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].
1 史料閱讀,欣賞古代數(shù)學(xué)文化成就
《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問(wèn)題集,現(xiàn)傳本分為上、中、下三卷.卷中結(jié)尾及卷下開(kāi)頭現(xiàn)均已殘缺,共保存有92個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解答,雖其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相似,但在最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)、等差數(shù)列、不定方程等方面超過(guò)了《九章算術(shù)》的水平.其中,關(guān)于等差數(shù)列的同類結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn).下面通過(guò)閱讀史料具體了解一下《張丘建算經(jīng)》.
材料閱讀——《張丘建算經(jīng)》提要[3].《張丘建算經(jīng)》三卷,自序最后題“清河張丘建謹(jǐn)序”,不詳著書(shū)年代.清河是張姓郡望,未必是作者的籍貫.據(jù)卷中題目與魏書(shū)《食貨志》的記載,斷定《張丘建算經(jīng)》的編書(shū)年代是在公元466年~485年.
《張丘建算經(jīng)》繼承了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)遺產(chǎn),并且提供了很多推陳出新的創(chuàng)見(jiàn),主要有以下幾點(diǎn):(1)卷上第10、11題是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用題.(2)卷上第22、23、32題,卷中第1題和卷下第36題等是等差級(jí)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題.(3)有些算術(shù)問(wèn)題比較難解,在《九章算術(shù)》中用“盈不足術(shù)”來(lái)解答.張丘建對(duì)這些問(wèn)題一一加以分析,從而獲得直接的解答方法.(4)卷中第22題和卷下第9題都需要采用“開(kāi)帶從平方”(求二次方程正根)來(lái)解決,這推廣了“開(kāi)帶從平方”的應(yīng)用,是我國(guó)數(shù)學(xué)史上最早出現(xiàn)的不定方程問(wèn)題.
現(xiàn)在常見(jiàn)各種版本的《張丘建算經(jīng)》,皆出于南宋刻本.古本保存于上海圖書(shū)館.
問(wèn)題1 閱讀完材料,談?wù)勀銓?duì)我國(guó)數(shù)學(xué)史上取得的成就的感受.
設(shè)計(jì)意圖 將數(shù)學(xué)文化史料融入教學(xué),有利于開(kāi)拓學(xué)生視野、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).同時(shí),讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值,提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng).
教師可引導(dǎo)學(xué)生交流分享,亦可參與交流.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力產(chǎn)生欽佩之情,及對(duì)不屈不饒、精益求精的精神產(chǎn)生敬意.
2 合作交流,古今對(duì)比拓寬視野
教師引導(dǎo)各學(xué)習(xí)小組相互合作,合理分配任務(wù),讓學(xué)生帶著下列問(wèn)題登錄網(wǎng)上圖書(shū)館查閱《張丘建算經(jīng)》,并摘錄至學(xué)習(xí)共享平臺(tái).
問(wèn)題2 根據(jù)上述材料,找出《張丘建算經(jīng)》中的等差數(shù)列問(wèn)題.
設(shè)計(jì)意圖 注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢(shì),提高教學(xué)的實(shí)效性.利用網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)信息交流,為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建平臺(tái),讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提升溝通合作能力.
在各學(xué)習(xí)小組已經(jīng)完成任務(wù)后,一起來(lái)看學(xué)習(xí)共享平臺(tái):
(小組1)卷上第22題:今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月日織九匹三丈,問(wèn)日益幾何?
(小組2)卷上第23題:今有女不善織,日減功遲,初日織五尺,末日織一尺,今三十織迄,問(wèn)織幾何?
(小組3)卷上第32題:今有人與錢,初一人與三錢,次一人與四錢,次一人與五錢,以次與之,轉(zhuǎn)多一錢,與訖,還數(shù)聚與均分之,人得一百錢,問(wèn)人幾何?
(小組4)卷中第1題:今有戶出銀一斤八兩一十二銖,今以家有貧富不等,今戶別作差品,通融出之,最下戶出銀八兩,以次戶差各多三兩,問(wèn)戶幾何?
(小組5)卷下第36題:今有舉取他絹,重作券,要過(guò)限一日,息絹一尺,二日息二尺,如是息絹日多一尺.今過(guò)限一百日,問(wèn)息絹幾何?
我國(guó)古代著書(shū)都以文言文記載,《張丘建算經(jīng)》亦是如此.相對(duì)于現(xiàn)代漢語(yǔ),無(wú)文言文常識(shí)就難以理解.現(xiàn)在各小組根據(jù)自身組員情況,可以嘗試自譯,也可以尋求其他小組,或借助網(wǎng)絡(luò)幫助完成.
問(wèn)題3 嘗試將古漢語(yǔ)數(shù)學(xué)問(wèn)題翻譯為現(xiàn)代漢語(yǔ)數(shù)學(xué)問(wèn)題,并上傳至學(xué)習(xí)共享平臺(tái).
設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生養(yǎng)成能學(xué)習(xí)、會(huì)學(xué)習(xí)、善學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.同時(shí),充分發(fā)揮信息技術(shù)、教育大數(shù)據(jù)平臺(tái)在數(shù)學(xué)教學(xué)上的作用[5],鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.以上五個(gè)問(wèn)題譯文如下:
(小組1)卷上第22題:現(xiàn)有一女子善于織布,織得很快,織的尺數(shù)逐日增多.已知她某月的第一天織布5尺,一個(gè)月共織9匹3丈,問(wèn)該女子每天多織多少布?(注:1匹=4丈,1丈=10尺,一個(gè)月按30天計(jì)算.)
(小組2)卷上第23題:現(xiàn)有一女子不善于織布,每天比前一天少織同樣多的布,第一天織5尺,最后一天織1尺,30天織完,問(wèn)30天共織多少布?
(小組3)卷上第32題:現(xiàn)在有人要給大家發(fā)錢.第一人發(fā)3錢,第二人發(fā)4錢,第三人發(fā)5錢,依次類推,后一人比前一人多發(fā)1錢.若將所有人的錢都收上來(lái),再平均分給大家,這樣每人可以分得100錢.問(wèn),一共給多少人發(fā)錢?
(小組4)卷中第1題:每戶應(yīng)交稅銀1斤8兩12銖,經(jīng)協(xié)商,若考慮貧富的差別,貧者少交,富者多交.家最貧者交8兩,戶別差為3兩,則交稅銀的戶數(shù)是多少?(注:1斤=16兩,1兩=24銖)
(小組5)卷下第36題:債主拿欠債方的絹?zhàn)龅盅浩?,每過(guò)期一天便加收一天利息,債務(wù)過(guò)期一天要收利息1尺絹,過(guò)期二天則第二天便再收利息2尺絹,這樣,每天利息比前一天增加1尺絹.若過(guò)期100天,欠債方共交多少利息?
通過(guò)譯文,古今對(duì)比欣賞到了《張丘建算經(jīng)》的等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.雖然在《張丘建算經(jīng)》中給出了答案與解題過(guò)程,但出于是文言文,專業(yè)術(shù)語(yǔ)依然晦澀難懂.那么,這些問(wèn)題能不能古為今用,能不能今法解古?
3 古題今解,夯實(shí)基礎(chǔ)積累建模經(jīng)驗(yàn)
眾所周知,解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題常要數(shù)學(xué)化,即對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題.古題今解,就是讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,一是對(duì)先前知識(shí)的鞏固;二是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平,積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn).
問(wèn)題4 各小組能否建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決《張丘建算經(jīng)》中摘錄的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題?
設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)闹R(shí)(數(shù)列)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決.感悟數(shù)列是可以用來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中一類具有遞推規(guī)律事物的數(shù)學(xué)模型,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用.
教師巡視,與各學(xué)習(xí)小組交流溝通,了解學(xué)生情況,予以必要的提點(diǎn).完成后,請(qǐng)各小組選派一人來(lái)分享他們構(gòu)建的模型和解決問(wèn)題的思想過(guò)程.鼓勵(lì)學(xué)生在聽(tīng)取他人分享的時(shí)候,提出合理質(zhì)疑.如果可以的話,給出解決方案.
(小組1)本組認(rèn)為此題在現(xiàn)代實(shí)際生活中屬于工程模型問(wèn)題.
教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)各小組的分享,強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn)、注意點(diǎn),最后總結(jié),深化教學(xué)目標(biāo).在用數(shù)列模型解決問(wèn)題的過(guò)程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)列與方程思想,體會(huì)等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用展現(xiàn)的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美.大家都知道,問(wèn)題解決往往并非只有一種方法,尤其在數(shù)學(xué)建模中,問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出、模型的建立與求解,不同人有不同想法與方案,這就需要進(jìn)一步對(duì)模型檢驗(yàn)與完善,對(duì)問(wèn)題加以分析從而解決,讓得出的結(jié)論更加貼合實(shí)際.
4 總結(jié)、反思與展望
弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,在教育教學(xué)上如何將之落到實(shí)處?回顧全文可以發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中融入古代數(shù)學(xué)史,不僅能夠加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)[4],而且能夠讓學(xué)生通過(guò)閱讀了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)元素,體會(huì)其中的數(shù)學(xué)精髓,促使學(xué)生充分感受社會(huì)歷史文化、數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過(guò)程中蘊(yùn)涵的民族精神與情感,從而不斷健全學(xué)生的人格,培養(yǎng)學(xué)生高尚情感,讓學(xué)生獲得自信,實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展.在數(shù)學(xué)教學(xué)上,尤其是基礎(chǔ)知識(shí)上,教師不妨嘗試放“慢”一點(diǎn),膽子大一點(diǎn),預(yù)留一些傳統(tǒng)文化滲透的空間.
參考文獻(xiàn)
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