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    解三角形何去從 隱圓直觀活水來

    2023-02-23 14:43:50張國川任曉紅
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年10期
    關(guān)鍵詞:想象素養(yǎng)情境

    張國川 任曉紅

    創(chuàng)設(shè)問題情境方能激發(fā)學(xué)生主動參與課堂學(xué)習(xí),才能讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地.如何立足直觀想象核心素養(yǎng)的落地來創(chuàng)設(shè)問題情境?筆者認(rèn)為在課堂中采用以問題串的探索形式是不錯的選擇,讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下,步步深入主動參與,深刻體會圖形的逐步形成過程.如果教師沒有創(chuàng)設(shè)一定的學(xué)習(xí)情境,核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是一句空話.直觀想象的成功運(yùn)用是依托圖形的,所以學(xué)會構(gòu)圖才是王道,注重過程性教學(xué),創(chuàng)設(shè)合適的學(xué)習(xí)情境是教學(xué)中提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵一環(huán).

    同樣地,試題研究和學(xué)習(xí)過程本質(zhì)是一致的,都是力求通過解題培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.本文借助泉州市質(zhì)檢試題談?wù)勅绾瓮ㄟ^直觀想象解決三角形問題,當(dāng)三角形“遇上”圓,解題將變得更加精彩,讓人回味無窮.

    爪子型三角形的解三角形問題方法很多,通常采用“鄰補(bǔ)角策略”“算兩次策略”,依據(jù)正余弦定理列方程求解;也可以采用作高、作平行線等手段,利用初等幾何知識求解;亦可借助向量工具采用基底法對向量進(jìn)行分解,并將向量平方轉(zhuǎn)化成模長和數(shù)量積問題求解;還可以建立坐標(biāo)系采用解析法求解等等.本文借助直觀想象核心素養(yǎng),探討如何“想圖”——“構(gòu)圖”——“解圖”,實現(xiàn)問題的有效解決.

    解后反思 本題構(gòu)圖的靈感源自題干中的條件“AB=AD=1”,自然聯(lián)想到“圓模型”,搭建起解三角形與圓中定理的聯(lián)系(圓中定理包括:切線長定理、切割線定理、割線定理、相交弦定理等),三角形中的一些線段長度便能很快求出.本題要求的是等腰三角形面積,要求面積只需要求出底邊的長度,利用勾股定理再求高便可解出;此處抓住圓的一個重要性質(zhì):直徑所對的圓周角是直角,搭建起直角三角形面積和等腰三角形面積的數(shù)量關(guān)系,也能很快求出面積.理論上講,利用正余弦定理解三角形本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題,可以借助方程思想搭建起邊角之間的等量關(guān)系,但有時二元方程對于學(xué)生來講并不容易求解,采用平面幾何知識能直觀地從圖形中尋找到隱藏于圖形背后的關(guān)系,也符合新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“多思少算”的核心理念.

    結(jié)束語

    本題的實測數(shù)據(jù)結(jié)果反饋學(xué)生的答題情況并不理想,這是為什么?明明“截長補(bǔ)短法”和“等距旋轉(zhuǎn)構(gòu)圓法”的解題策略初中就接觸過了,為何到高三有的同學(xué)還不會應(yīng)用呢?一個原因是部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本身就較弱,還有一個很重要的原因是把幾何問題過分代數(shù)化了,不論是“鄰補(bǔ)角策略”,還是“算兩次策略”,本質(zhì)都是“方程思想”,將所求問題化成二元二次方程或者方程組,最終幾乎都因“消元”錯誤而丟分.代數(shù)二次方程運(yùn)算再夾雜些本身就抽象的向量分解法,或是三角恒等變換、半角公式、倍角公式,對學(xué)生來說具有很大挑戰(zhàn),況且二次多元方程的消元過程其實并不是那么容易.過程性教學(xué)的缺失,運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的短板是造成這種結(jié)果的最根本原因.代數(shù)和幾何本身并不矛盾,但要善于取舍,要在代數(shù)運(yùn)算的黑夜里尋找亮光,在幾何花海中享受代數(shù)運(yùn)算點綴下的精彩.

    (本文系泉州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃(第一批)立項課題“基于直觀想象核心素養(yǎng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂問題導(dǎo)向模式教學(xué)實證研究”(課題編號:QG1451-042)、福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度科研課題“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)視域下的初中函數(shù)教學(xué)研究”(課題編號:FJJKXB20-1007)、福建省“十三五”第二批中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)帶頭人培養(yǎng)對象科研課題“高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略研究”(課題編號:DTRSX2019017)的階段性研究成果)

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