帶p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性與多重性

周文學(xué),吳亞斌,宋學(xué)瑤

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

1.引言

隨著自然科學(xué)的發(fā)展,分數(shù)階微分方程得到了廣泛的應(yīng)用,尤其是在物理[1]、工程力學(xué)[2]、建筑科學(xué)[3]等領(lǐng)域.而邊值問題作為微分方程領(lǐng)域的一個重要課題,也得到了越來越多的關(guān)注.近些年來,為了解決復(fù)雜多變的問題,許多學(xué)者致力于帶p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性與多重性研究,且相關(guān)的理論與研究結(jié)果也越來越成熟.[4-12]文[12]運用Schauder不動點定理研究了如下一類帶p-Laplacian算子的分數(shù)階邊值問題

值得注意的是,以上大量工作都是在Riemann-Liouvill與Caputo導(dǎo)數(shù)定義下完成的.2014年Khalil等人在文[13]提出了一種新的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義,稱為一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù).接著有學(xué)者在文[14]中證明了一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的一些重要性質(zhì)與基本理論,如：鏈式法則、Gronwall不等式、分部積分法、分數(shù)階Laplace變換等.顯然,研究新分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的相關(guān)理論對分數(shù)階微分方程領(lǐng)域的發(fā)展具有積極的推動作用.

因此,受以上杰出工作啟發(fā),本文使用錐上不動點定理及單調(diào)迭代技巧在一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義下討論了如下帶p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題

2.預(yù)備知識

定義1[13]設(shè)(n,n+1],函數(shù)f:[0,∞)R的α階一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中t>0,常用f(α)表示,「α?表示小于等于α的最小整數(shù).

注1一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)詳細性質(zhì)可參考文[13-14].

定義2[13]設(shè)(n,n+1],函數(shù)f:[0,∞)R的α階一致分數(shù)階積分定義為

引理1[14]設(shè)(n,n+1],若Dαf(t)在[0,∞)上連續(xù),則

定義3[15]設(shè)E是Banach空間,P ?E是E中的錐,θ:[0,∞)是連續(xù)泛函且對任意x,,[0,1]都有θ(tx ?(1?t)y)≥tθ(x)+(1?t)θ(y)成立,則稱θ是P上的非負連續(xù)凹泛函.

1) 對任意(θ,b,d),(θ,b,d):θ(u)>b}?并且θ(Qu)>b;

2) 對任意∥u∥

3) 對任意(θ,b,c)且∥Qu∥>b有θ(Qu)>b,則Q至少存在三個不動點u1,u2,u3.

引理4設(shè)2<α≤3,函數(shù)([0,1],R),則邊值問題

證對方程兩端α階積分得

證畢.

引理5若2<α≤3,1<β ≤2,函數(shù)([0,1],R),則分數(shù)階微分方程邊值問題

證對方程兩邊β階積分得

這里a0,a1為常數(shù).根據(jù)邊界條件?pDαu(0)+(?pDαu)′(0)0,?pDαu(1)+(?pDαu)′(1)0.得

因此根據(jù)引理4,問題(2.7)存在解滿足

證畢.

引理6Green函數(shù)G(t,s),H(s,τ)具有如下性質(zhì):

1)G(t,s)≥0,H(s,τ)≥0,對t,s,[0,1];

2)G(t,s)≤G(1,s),H(s,τ)≤H(0,τ),對t,s,[0,1];

證Green函數(shù)G(t,s)相關(guān)性質(zhì)證明參考文[16].下證H(s,τ)性質(zhì).

由H(s,τ)表達式不難看出對所有的s,[0,1],有H(s,τ)≥0.可知性質(zhì)1)成立.固定(0,1),考慮H(s,τ)關(guān)于s的偏導(dǎo)數(shù),有

由上可知H(s,τ)關(guān)于s單調(diào)遞減.因此有

則可得性質(zhì)2)、3)成立.證畢.

3.主要結(jié)果

即uu(t)是問題(1.2)的解當(dāng)且僅當(dāng)u滿足算子方程uQu(t).

引理7算子Q:為全連續(xù)算子.

證首先,考慮到f(t,u(t)),G(t,s),H(s,τ)的連續(xù)性可知Q:為連續(xù)算子.

即得Q(?)一致有界.

另一方面,考慮到G(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù),則可知G(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致連續(xù).固定[0,1],對任意的ε>0,存在δ>0 使得對任意的t1,t2[0,1],|t1?t2|<δ時,有

可得Q(?)等度連續(xù).綜上,由Arzela-Ascoli定理得算子Q:為全連續(xù)算子.證畢.

下面將使用不同的方法研究邊值問題(1.2)正解的存在性.為方便計算,引入記號

Ⅰ 運用不動點定理證明邊值問題(1.2)正解的存在性

定理1設(shè)f(t,u)是連續(xù)函數(shù),若存在常數(shù)r1,r2>0使得

(Hl) 對?(t,u)[0,1]×[0,r1],有f(t,u)≤?p(L1r1);

(H2)對?(t,u)[1/4,3/4]×[0,r2],有f(t,u)≥?p(L2r2),則邊值問題(1.2) 至少存在一個正解u且滿足min{r1,r2}≤∥u∥≤max{r1,r2}.

證由引理7知算子Q:全連續(xù).

首先,令?1:∥u∥

因此,對1,有∥Qu∥≤∥u∥.

其次,令?2:∥u∥

即對2,有∥Qu∥≥∥u∥.

由引理2知算子Q至少存在一個不動點u.即問題(1.2)至少存在一個正解且有r1≤∥u∥≤r2.證畢.

定理2設(shè)f(t,u)是連續(xù)函數(shù),若存在常數(shù)0

(H3)對?(t,u)[0,1]×[0,a],有f(t,u)≤?p(L1a);

(H4)對?(t,u)[1/4,3/4]×[b,c],有f(t,u)≥?p(L2b);

(H5)對?(t,u)[0,1]×[0,c],有f(t,u)≤?p(L1c),則邊值問題(1.2)至少存在三個正解且滿足

因此有∥Qu(t)∥≤a,即引理3的條件2)成立.

即θ(Qu)≥b.取dc,得引理3的條件1)滿足.

同理,若任意(θ,b,c)且∥Qu∥>cd,可得θ(Qu)>b,則引理3條件3)滿足.

綜上,邊值問題(1.2)至少存在三個正解滿足

Ⅱ 運用單調(diào)迭代技巧證明邊值問題(1.2)正解的存在性

定理3設(shè)f(t,u)是連續(xù)函數(shù),f(t,0)0,0≤t ≤1,且存在常數(shù)m>0使得以下條件成立:

證定義Pm|∥u∥≤m}.由條件(H6)得

首先說明u?是邊值問題(1.2)的一個正解.令u0(t)0,顯然有u0(t).又對,則有0≤u(t)≤m.根據(jù)條件(H7)得

又u1,u1(t)Qu0(t)≥0u0(t),即

根據(jù)條件(H6)可知函數(shù)f(t,u)單調(diào)遞增,從而可知Q為增算子.即有Qu1(t)≥Qu0(t),因而有

由上式歸納可得

即序列{uk}單調(diào)遞增.有uku?()成立.由ukQuk-1及Q的連續(xù)性有

即u?是Q在Pm上的一個不動點.進一步由假設(shè)條件知u?是問題(1.2)的一個正解且有0<∥u?∥≤m.

其次說明v?也是邊值問題(1.2)的一個正解.類似的,令v0(t)m,有v0(t).進一步vkQ(Pm)?Pm.同上可知{vk}是列緊集.

由條件(H7)有

即有v1(t)≤v0(t).從而有

進一步歸納可得

由上知序列{vk}單調(diào)遞減.類似前半部分證明過程知v?也是問題(1.2)的一個正解且0<∥v?∥≤m.

此外,因u0(t)≤v0(t),有

以此類推uk(t)≤vk(t)(k0,1,2,···).

綜上,所得結(jié)論成立.問題(1.2)存在正解u?和v?且有0<∥u?∥≤∥v?∥≤m.證畢.

4.舉例

例1考慮如下邊值問題:

滿足定理1假設(shè)條件.故邊值問題(4.1)至少存在一個正解u且有0.0315≤∥u∥≤75.

例2考慮如下邊值問題:

滿足定理2假設(shè)條件,故邊值問題(4.2)至少存在三個正解.