一類Caputo-Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

潘欣媛 ,何小飛 ,陳國(guó)平 ,李治林

(1.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000;2.吉首大學(xué)張家界學(xué)院,湖南 張家界 427000)

1.引言

近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程得到了許多學(xué)者研究,并被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域.[1-3]關(guān)于分?jǐn)?shù)階邊值問題已有豐富的文獻(xiàn),例如: 具有Riemman-Liouville型導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階邊值問題,具有Caputo型導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階邊值問題,具有Hadamard型導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階邊值問題.[4-9]但是關(guān)于具有Caputo-Hadamard型導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階邊值問題的研究還相對(duì)較少.另一方面,當(dāng)微分系統(tǒng)具有兩個(gè)或多個(gè)變量且這些變量相互作用時(shí),運(yùn)用耦合微分方程組描述更加精確和簡(jiǎn)潔.耦合系統(tǒng)邊值問題作為分?jǐn)?shù)階微分方程的一個(gè)重要的研究方向,也受到了廣泛關(guān)注.[10-13]因此,對(duì)具有Caputo-Hadamard型導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題做出進(jìn)一步補(bǔ)充和更深入的探究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值.

本文研究如下具有Caputo-Hadamard型導(dǎo)數(shù)的序列分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

2.預(yù)備知識(shí)

定義2.1[1]函數(shù)f:(1,∞)R的α>0階Hadamard型分?jǐn)?shù)階積分定義如下

引理2.2[1](Banach不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)D為Banach空間E中的一個(gè)非空閉子集,映射T:為壓縮映射,即

其中k為常數(shù),則存在唯一點(diǎn)x?D,使得Tx?x?,即T在D內(nèi)存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

引理2.3[3](Leray-Schauder二擇一定理) 設(shè)X是一個(gè)Banach空間,T:為全連續(xù)算子,定義集合ε(T):xλT(x),[0,1]},則集合ε(T)無界或者T在X上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理2.4給定φ(t),ψ(t)([1,e],R),則邊值問題

通過應(yīng)用邊值條件x′(1)0,x(e)C,可得

3.主要結(jié)果

為了得到主要結(jié)果,我們給出以下假設(shè):

(H1) 存在正常數(shù)li,使得對(duì)任意的xi,yi,i1,2,[1,e]有

(H2) 存在正常數(shù)mi,ni,i0,1,2,使得對(duì)任意的[1,e]有

(H3) 存在正常數(shù)τ1≥0,τ2≥0,θ1>0,θ2>0,使得對(duì)任意的[1,e]有

我們首先證明T(Br)?Br.對(duì)任意的(x,y)有

所以T(Br)?Br.

下證算子T是壓縮映射.令(x1,y1),(x2,y2)×X,則對(duì)任意的[1,e]有

證首先證明算子T是全連續(xù)算子.設(shè)X×X中的序列{(xn,yn)}滿足(xn,yn)(x,y),則對(duì)任意的[1,e]有

由f的連續(xù)性可知,當(dāng)(xn,yn)(x,y)時(shí),有|f(s,xn(s),yn(s))?f(s,x(s),y(s))|0.那么,當(dāng)(xn,yn)(x,y)時(shí),有|H(xn,yn)(t)?H(x,y)(t)|0.同理可得,當(dāng)(xn,yn)(x,y)時(shí),有|G(xn,yn)(t)?G(x,y)(t)|0.由此可知,當(dāng)(xn,yn)(x,y)時(shí),有|T(xn,yn)(t)?T(x,y)(t)|0,則算子T連續(xù).

設(shè)? ?X×X且?有界,則存在正常數(shù)Q1,Q2,對(duì)任意的(x,y),有|f(t,x(t),y(t))|≤Q1,|g(t,x(t),y(t))|≤Q2.令(x,y),則存在r0使得∥(x,y)∥≤r0.那么對(duì)任意的(x,y),有

所以,算子T一致有界.

當(dāng)t21時(shí),有|H(x,y)(t1)?H(x,y)(t2)|0.同理可得,當(dāng)t21時(shí),有|G(x,y)(t1)?G(x,y)(t2)|0.那么,當(dāng)t21時(shí),有|T(x,y)(t1)?T(x,y)(t2)|0.即算子T等度連續(xù).由Arzela-Ascoli定理可知,算子T是全連續(xù)的.

下證算子T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).定義有界集合Φ{(x,y)×X: (x,y)λT(x,y)}.設(shè)(x,y),則有(x,y)λT(x,y),0<λ<1,那么對(duì)任意的[1,e]有

由此,可以得到集合Φ是有界的.由引理2.3可知,算子T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).即邊值問題(1.1)在[1,e]上至少有一個(gè)解.

證給出以下定義

要使邊值問題(1.1)有解,只要證明算子T存在不動(dòng)點(diǎn)即可.對(duì)于算子T:×X只要證明對(duì)于任意的(x,y),[0,1]有(x,y)λT(x,y).

由定理3.2可知算子T全連續(xù),那么Fλ(x,y)也是全連續(xù)的.

下證(x,y)λT(x,y)成立.設(shè)存在[0,1]使得對(duì)任意的[1,e]滿足(x,y)λT(x,y),則有

因?yàn)?x,y)λT(x,y),又由Leray-Schauder度的同倫不變形可得

其中I是到自身的映射.由Leray-Schauder度的性質(zhì)可知,F1(x,y)?T(x,y)0在BR中至少存在一個(gè)解.

4.舉例

例4.1考慮邊值問題