關(guān)于樹指標(biāo)馬氏雙鏈隨機(jī)矩陣的一個強(qiáng)偏差定理

金少華 ,田雪然 ,王麗君

(1.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300401;2.保定學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)與軟件工程學(xué)院,河北 保定 071000)

1.引言

樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.文[1]研究給出了關(guān)于樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈的廣義熵遍歷定理.文[2]首先引入漸近對數(shù)似然比作為二叉樹上任意隨機(jī)場與分叉馬爾科夫鏈偏差的度量.然后,通過構(gòu)造一個非負(fù)鞅,建立了二叉樹指標(biāo)分支Markov鏈隨機(jī)場的一類強(qiáng)偏差定理.作為推論,得到了二叉樹指標(biāo)分叉馬爾科夫鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和漸近均分性.文[3]研究給出了非齊次樹上馬氏雙鏈的一個強(qiáng)極限定理.文[4]給出了連續(xù)狀態(tài)非齊次馬爾科夫鏈滑動平均的強(qiáng)大數(shù)定律.文[5]研究了隨機(jī)環(huán)境下具有一致有界度的樹上隨機(jī)場泛函的一類小偏差定理.文[6]給出了關(guān)于樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈的一個強(qiáng)偏差定理.本文通過引入非齊次樹指標(biāo)馬氏雙鏈樣本相對熵率的概念和構(gòu)造非負(fù)鞅,研究給出了關(guān)于非齊次樹指標(biāo)馬氏雙鏈的一個強(qiáng)偏差定理.

2.基本概念

設(shè){Nn,n ≥1}是一列正整數(shù)集,T是一個具有根頂點(diǎn)O的無限樹,如果T的第n(n ≥0)層上的每個頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個頂點(diǎn)相鄰,則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地,若對非負(fù)整數(shù)集N,用模m的同余關(guān)系對其分類得到模m的剩余類

定義2.1設(shè)I1{0,1,2,···,N}和I2{0,1,2,···,M}為兩個有限集,{Xτ,為定義在概率空間{?,F,P}上取值于I1的隨機(jī)變量族,{p(x),1}是{Xτ,的概率分布.{Yτ,是定義在概率空間{?,F,P}上并取值于I2的馬氏鏈,其轉(zhuǎn)移概率分布列為{ln(y1,y2),y1,y22}.若{Xτ,和{Yτ,滿足

則{Yτ,為馬氏環(huán)境,{Xτ,是馬氏環(huán)境{Yτ,中的馬氏鏈,此時稱{(Xτ,Yτ),為馬氏雙鏈,其隨機(jī)矩陣列為

設(shè)G是{?,F}上的另一概率測度,{(Xτ,Yτ),在概率測度G下的聯(lián)合分布為

稱r(ω)為概率測度P相對于概率測度G的樣本相對熵率.

定義2.2對于一組定義在上且取值于非負(fù)區(qū)間[0,b](b>0)的實(shí)值函數(shù)列{fn(Xξ0,Xξ1,···,Xξn)},令

則稱{Zn,n ≥0}為廣義賭博系統(tǒng).(傳統(tǒng)的賭博系統(tǒng)取值于兩點(diǎn)集{0,1}).

3.關(guān)于樹指標(biāo)馬氏雙鏈的一個強(qiáng)偏差定理

引理3.1設(shè){(Xτ,Yτ),為如前定義的樹T上的馬氏雙鏈,{fk(x,θ,y,β)}是定義在I1×I2×I1×I2上的四元實(shí)值函數(shù)列,{Zn,n ≥0}如前定義,λ>0為一常數(shù),令

證由(2.5)式,有

又由(3.1)式、(3.2)式、(3.3)式和(3.4)式,有

由(3.6)式與(3.7)式,有

定理3.1設(shè){(Xτ,Yτ),為如前定義的非齊次樹T上的馬氏雙鏈,{fk(x,θ,y,β)}是定義在I1×I2×I1×I2上的四元實(shí)值函數(shù)列,{Zn,n ≥0}與r(ω)均如前定義,設(shè)c ≥0為一常數(shù),α>0為一常數(shù),且

當(dāng)?α

因P(A?)1,故(3.10)式在c0時也成立.

故由(3.21)式和(3.22)式知(3.11)式成立.從而定理3.1成立.