光腔衰蕩法數(shù)據(jù)截取對時間常數(shù)測量精度的影響分析

張金玉，金尚忠，張 彪，吳 磊，俞 兵,3，袁 良,3，黎高平

（1. 中國計量大學(xué) 光學(xué)與電子科技學(xué)院，浙江 杭州 310018；2. 西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065；3. 北京理工大學(xué) 光電學(xué)院，北京 100081）

引言

腔衰蕩技術(shù)是一種基于低損耗無源諧振腔的高精度光學(xué)檢測技術(shù)，自1977 年[1]提出以來，已應(yīng)用于高反射率（反射率R＞99.5%）測量[2]、痕量氣體濃度檢測[3]及光纖傳感[4]等領(lǐng)域，是目前在上述應(yīng)用領(lǐng)域中測量精度最高的一種測量方法[5-7]。高反射率反射鏡在引力波觀測、激光陀螺、高靈敏激光光譜、高功率激光器和激光系統(tǒng)中也有著非常重要的作用[8-9]。隨著高反射膜鍍制技術(shù)的發(fā)展和高反鏡的廣泛應(yīng)用，精確測量高反鏡的反射率顯得特別重要。光腔衰蕩技術(shù)測量的基本原理是向無源諧振腔（也稱初始腔）內(nèi)注入一束激光能量，用探測器監(jiān)視腔內(nèi)光強的損耗過程。一般采用直腔和折疊腔相結(jié)合的方法。結(jié)合原理公式，通過計算可得腔鏡和待測光學(xué)元件的反射率。關(guān)于光學(xué)元件超高反射率測量的研究，通過調(diào)查文獻(xiàn)可知，目前國內(nèi)無論在實驗研究[10-18]，還是在為實現(xiàn)高精度測量的理論建模分析上[19-21]，均取得了很大的進(jìn)步，在國內(nèi)多所院校的協(xié)同努力下，光腔衰蕩超高反射率技術(shù)也得到了很大的發(fā)展。

光腔衰蕩技術(shù)是目前唯一能夠精確測量超高反射率（反射率R＞99.9%）的方法。利用光腔衰蕩技術(shù)可以測量激光光源在衰蕩腔輸出的指數(shù)衰減信號，從而得到衰蕩時間進(jìn)而得到腔鏡反射率。由于腔內(nèi)光強衰減不隨脈沖強度的漲落而發(fā)生改變，所以測量結(jié)果與脈沖光強波動無關(guān)，測量精度高。本文通過分析實驗測得的光腔衰蕩法中激光衰蕩信號強度與時間的關(guān)系，對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合，通過與光腔衰蕩公式進(jìn)行對比計算求出衰蕩時間，進(jìn)而求出腔鏡的反射率。分析多組光強與時間的函數(shù)關(guān)系以及對比擬合過程中對應(yīng)的R-square 和RMSE 值進(jìn)行對比分析，統(tǒng)計分析出最接近腔鏡的反射率值。通過這種方式即可得到測量更為準(zhǔn)確的那種實驗方法。為提升光腔衰蕩法測量光學(xué)元件反射率提供了技術(shù)支撐。

1 測量原理

光腔衰蕩法(cavity ring down,CRD)整個測試系統(tǒng)的實驗裝置如圖1 所示，由激光光源、耦合光路、光學(xué)諧振腔、光電探測器和數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)組成。如果采用CRD 測量非可見波長腔鏡的反射率，為了精確調(diào)節(jié)腔鏡，一般引入可見激光（如633 nm He-Ne 激光）作為準(zhǔn)直光。在未插入被測元件前的光學(xué)諧振腔稱為初始光腔，插入被測元件后的光學(xué)諧振腔稱為測試光腔，如圖2 所示。

圖1 初始光腔測量系統(tǒng)框圖Fig. 1 Block diagram of initial optical cavity measurement system

圖2 測試光腔測量系統(tǒng)框圖Fig. 2 Block diagram of test optical cavity measurement system

在實驗中，當(dāng)激光器向衰蕩腔注入一束脈沖激光，光在衰蕩腔內(nèi)不斷地來回反射，若光源波長與衰蕩腔滿足縱膜匹配，則在衰蕩腔內(nèi)會產(chǎn)生諧振，衰蕩腔透射光強遵循單指數(shù)函數(shù)衰減規(guī)律。

實驗過程中，脈沖激光器發(fā)出激光脈沖信號，模式匹配系統(tǒng)由2 個透鏡組成，用于將激光光束匯聚到諧振腔的焦點處，光學(xué)諧振腔由2 個凹面鏡構(gòu)成諧振腔。具體過程為激光脈沖進(jìn)入衰蕩腔后，光腔輸出信號可表示為

式中：c 為光速；L為腔長；R為光學(xué)元件的反射率；n為腔內(nèi)介質(zhì)的折射率；α為腔內(nèi)吸收系數(shù)。當(dāng)腔內(nèi)介質(zhì)為空氣時，折射率n近似為1。若腔內(nèi)無吸收介質(zhì)，α=0，初始腔和折射測試腔的反射率為R1、R2，則可以根據(jù)衰蕩時間計算得到腔鏡平均反射率R，即：

實驗中，首先用圖1 所示的裝置測量直腔衰蕩信號。當(dāng)入射激光與衰蕩腔模式匹配，且激光脈沖較短時，衰蕩信號呈單指數(shù)衰減，測得的衰蕩信號按單指數(shù)衰減函數(shù)擬合，即可得到衰蕩時間。為了測量待測平面鏡的反射率，通常在圖1 的直腔中插入待測鏡，構(gòu)成折疊腔，如圖3 所示。

圖3 折疊腔示意圖Fig. 3 Schematic diagram of folding cavity

分別測量直腔和折疊腔信號并擬合得到相應(yīng)的衰蕩時間 τ1、 τ2，可計算得到初始腔和折射測試腔的反射率R1、R2，計算可得到待測鏡的反射率R3為

根據(jù)上述脈沖光腔衰蕩技術(shù)測量反射率的原理，將測光學(xué)元件反射率的問題轉(zhuǎn)化為通過測光強以及衰蕩時間 τ 的問題去進(jìn)行測量和計算。由公式（4）可知，樣片反射率測量結(jié)果取決于衰蕩時間常數(shù)，不受光源光強漂移的影響，同時具有極高的測量精度。

2 測試結(jié)果與實驗分析

搭建了一套用于測量光學(xué)元件高反射率的光腔衰蕩系統(tǒng)，其組成示意圖如圖4 所示。實驗系統(tǒng)采用中心波長為633 nm 的連續(xù)激光器作為激光光源，激光經(jīng)過2 個凸面鏡組成的模式匹配系統(tǒng)進(jìn)入衰蕩腔，使其產(chǎn)生衰蕩信號，衰蕩腔由M1、M2、M3 組成，其中M1 和M2 為曲率半徑為1 m 的平凹鏡，M3 為平面反射鏡。衰蕩腔的輸出信號經(jīng)過會聚透鏡聚焦被光電探測器采集到，探測器的輸出信號經(jīng)過數(shù)據(jù)采集卡采集后在電腦中進(jìn)行處理。通過處理對應(yīng)的光強與時間的關(guān)系得到衰蕩曲線，擬合可得到光強隨時間的變化，經(jīng)計算就可得到對應(yīng)的衰蕩時間和腔鏡的反射率。

圖4 實驗裝置系統(tǒng)連接示意圖Fig. 4 System connection diagram of experimental device

探測器每0.05 μs 采集一次激光強度信號，采集的信號數(shù)據(jù)由數(shù)據(jù)采集卡進(jìn)行存儲。在實驗過程中，衰蕩信號不可避免地會受到系統(tǒng)噪聲的影響而產(chǎn)生偏差。在已知腔鏡反射率情況下，對測得的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行計算分析，將計算得到的腔鏡反射率與已知腔鏡反射率進(jìn)行對比，通過比較就能很清楚地得到最接近光學(xué)元件反射率的測試方式與方法。首先將脈沖激光沿光軸耦合進(jìn)入初始光腔，調(diào)節(jié)腔鏡方位和俯仰，使其在腔內(nèi)形成振蕩。根據(jù)探測器輸出的信號，精確調(diào)節(jié)諧振腔，使得輸出的信號能形成穩(wěn)定的指數(shù)衰蕩波形，此時其對數(shù)曲線為一條直線。在相同條件下對測試腔進(jìn)行30 次實驗，采集初始光腔的衰蕩信號，并記錄數(shù)據(jù)，測量初始光腔的長度L，并記錄，對其中的實驗數(shù)據(jù)隨機選擇6 組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選取第3、8、13、18、23、28 這6 組實驗進(jìn)行處理。對處理數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合，通過對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到6 組實驗的函數(shù)擬合表達(dá)式，并且得到對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式的統(tǒng)計值 R2和RMSE值，統(tǒng)計結(jié)果如表1 所示，其中 R2值越接近于1，則表明實驗數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)之間的吻合程度越高；R2值越接近于0，則表明實驗數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)之間吻合程度越低。 RMSE為均方根誤差，是用來衡量測得的數(shù)據(jù)值同真值之間偏差的統(tǒng)計量，值越小說明實驗值與真值的偏差越小。通過統(tǒng)計6 組實驗的值 R2和 RMSE值，則可推斷出實驗裝置較為穩(wěn)定。

表1 6 組實驗數(shù)據(jù)的處理值Table 1 Processing values of six groups of experimental data

如圖5 與圖6 所示，分別為隨機抽查數(shù)據(jù)第23 組的一次指數(shù)函數(shù)以及二次指數(shù)函數(shù)擬合圖。

圖5 第23 組一次指數(shù)函數(shù)擬合曲線圖Fig. 5 Fitting curve of primary exponential function of group 23

圖6 第23 組二次指數(shù)函數(shù)擬合曲線圖Fig. 6 Fitting curve of quadratic exponential function of group 23

擬合得到對應(yīng)的一次指數(shù)與二次指數(shù)擬合的R2和 RMSE值。具體擬合統(tǒng)計值如表2 所示。結(jié)合擬合得到的擬合數(shù)據(jù)值和曲線圖可以看出一次指數(shù)擬合與二次指數(shù)擬合差別不大，這表明通過處理分析一次指數(shù)函數(shù)擬合圖形以及相關(guān)的統(tǒng)計值，就能滿足算法的處理要求。

表2 第23 組指數(shù)函數(shù)擬合統(tǒng)計值Table 2 Fitting statistics of exponential function of group 23

對采集的時間與光照強度的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，未插入被測元件前的光學(xué)諧振腔稱為初始光腔；插入被測元件后的光學(xué)諧振腔稱為測試光腔。按照原理將各儀器安裝完畢，未插入被測元件的初始光腔通過實驗得到幾組數(shù)據(jù)，對得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合、二次指數(shù)函數(shù)擬合以及多項式擬合，對求得的擬合參數(shù)的數(shù)值進(jìn)行對比分析，重復(fù)實驗發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)參數(shù)值差值波動很小，表明該實驗裝置比較穩(wěn)定。每次實驗采集的光照強度與時間的對應(yīng)數(shù)據(jù)有2 500 組，將數(shù)據(jù)分為5 組，每組實驗數(shù)據(jù)包含500 個數(shù)據(jù)對，將這500 個數(shù)據(jù)對分別通過一次指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，求出對應(yīng)參數(shù)的值。對比分析這5 組數(shù)據(jù)值，通過對擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，可知這5 組數(shù)據(jù)中R2的值在逐漸變小，說明擬合直線與原始數(shù)據(jù)的擬合程度在降低，從第3 組（1 001～1 500）開始下降非常明顯。如圖7 為第1 組（1～500）數(shù)據(jù)的擬合曲線圖，可以看出原始數(shù)據(jù)點與一次指數(shù)擬合曲線非常吻合。如圖8～圖11 所示，為其他各組數(shù)據(jù)的擬合曲線圖。

圖7 第1 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 7 Fitting curve of data of group 1

圖8 第2 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 8 Fitting curve of data of group 2

圖9 第3 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 9 Fitting curve of data of group 3

圖10 第4 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 10 Fitting curve of data of group 4

圖11 第5 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 11 Fitting curve of data of group 5

通過上面擬合曲線圖可知，第4 組（1 501～2 000）第5 組（2 001～2 500）這2 組擬合曲線與原始數(shù)據(jù)偏差較大，再結(jié)合求得 τ與R值進(jìn)行比較，如表3 所示，已知凹面反射率為99.990%，可以得到第3 組測試數(shù)據(jù)擬合求得的值最接近凹面鏡的真實值，并通過看擬合曲線與數(shù)據(jù)點的擬合曲線圖，可以看到前3 組擬合比較接近，所擬合的曲線方程更接近真實值。另外對比分析擬合曲線對應(yīng)的R2和 RMSE值 ，可以知道對應(yīng)R2值＞0.9,函數(shù)擬合結(jié)果很接近真實值，且值已經(jīng)比較小，表明了實驗的觀測值與真值之間的偏差也比較小。通過對實驗數(shù)據(jù)擬合能得到較為一致的結(jié)果，說明進(jìn)行衰蕩腔調(diào)試的實驗中，采集得到的40%數(shù)據(jù)值處理擬合的結(jié)果與真實值偏差較大，經(jīng)分析可能是實驗部分的數(shù)據(jù)噪聲更大，導(dǎo)致擬合數(shù)據(jù)偏差也較大。又通過比較擬合曲線對應(yīng)的R2和 RMSE值，根據(jù)擬合得到的計算結(jié)果與凹面鏡的反射率進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，每組測試數(shù)據(jù)的40%～60%部分?jǐn)M合曲線更接近真實值。求得的結(jié)果也更接近真實值。這樣的處理方法就能避免一些噪聲干擾，求得的值也更準(zhǔn)確。

表3 5 段數(shù)據(jù)求得的參數(shù)值Table 3 Parameter values obtained from five segments of data

3 結(jié)論

本文提出了一種分析光腔衰蕩時間與光照強度的分析方法，將測試腔數(shù)據(jù)分為數(shù)量大致相同的5 段數(shù)據(jù)進(jìn)行截取，通過分析一次指數(shù)擬合圖像中數(shù)據(jù)點與擬合圖像的關(guān)系，可以分析出最優(yōu)的擬合曲線，根據(jù)擬合出的統(tǒng)計量 R2與RMSE 值的比較，并通過擬合函數(shù)的表達(dá)式，得到衰蕩時間以及衰蕩腔的值。將求得的衰蕩腔鏡發(fā)射率值與腔鏡真實反射率值進(jìn)行比較，進(jìn)而分析出在一組光腔衰蕩曲線中，每組實驗數(shù)據(jù)40%～60%部分?jǐn)M合曲線更接近真實值，計算得到該段數(shù)據(jù)測得的光學(xué)元件反射率為99.988 977%。這樣的處理方法能提高光腔衰蕩法實驗中時間常數(shù)測量精度，減小實驗噪聲帶來的誤差，為提升光腔衰蕩法測量光學(xué)元件反射率提供了一些技術(shù)支撐。