一類含有梯度項的非局部橢圓微分不等式解的Liouville型定理

杜燁,方鐘波

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

1.引言與主要結(jié)論

我們考慮一類具有卷積型非局部項的擬線性橢圓不等式非負(fù)非平凡弱解的非存在性

其中m,q >0,r ≥0,微分算子LAu:=divA(x,u,?u),A: RN ×[0,∞)×RN →RN為常見的Carath′eodory函數(shù),使得

且LA為強p-強制算子(具體定義見第二節(jié)),其典型例子為通過多孔介質(zhì)的非牛頓流體的研究中常出現(xiàn)的p-Laplacian算子.符號?表示標(biāo)準(zhǔn)卷積算子,即

其中K ∈C(RN{0}),K >0滿足lim infx→0K(x)>0,且存在ρ>0和β >0使得

其中c0為正常數(shù).注意到,微分不等式(1.1)并非逐點意義下成立,因此稱為非局部微分不等式.同時,卷積型非局部項出現(xiàn)于許多領(lǐng)域的實際物理現(xiàn)象的描述中,如人口動力學(xué)、生物種群理論和滲流理論[1?3].

非線性偏微分方程(不等式及組)整體解的非存在性是一類非線性Liouville定理,除了可用于分析有界區(qū)域上解的某些性質(zhì)外,它還是爆破理論或奇點理論的一種本質(zhì)體現(xiàn).1844年,Cauchy在文[4]中首次證明了有界整函數(shù)的Liouville定理以來已有許多方向的延伸和結(jié)果.特別是,我們首先回顧Gidas和Spruck[5]的非常巧妙且深刻的結(jié)果.他們考慮了經(jīng)典的Lane-Emden方程

其中N >2且當(dāng)1

事實上,當(dāng)q >N/(N ?2)(N >2)時,取充分小的正常數(shù)c,使得

是前述微分不等式的一個正解,因此臨界指標(biāo)N/(N ?2)是最優(yōu)的.從此之后,橢圓型微分方程(組)及不等式(組)整體解的非存在性、臨界指標(biāo)等問題的研究受到了許多學(xué)者的高度關(guān)注.

不等式的右邊含有梯度非線性項的擬線性問題

其中1

0,r ≥0且q+r >p ?1.Mitidieri和Pohozaev[7]考慮了α=0的情形,首次利用試驗函數(shù)法得到了當(dāng)q+r <(p ?1)(N ?r)/(N ?p)時只存在常數(shù)解的結(jié)論.之后是有Filippucci[8]及LI和LI[9]的工作.特別是,LI和LI[9]在有界區(qū)域? ?RN(邊界奇異)及整體空間?=RN上(原點奇異)考慮了奇異擬線性橢圓微分不等式并改進試驗函數(shù)法證明了非負(fù)非平凡弱解的非存在性,得到了臨界指標(biāo)(p ?1)(N ?α ?r)/(N ?p).此外,關(guān)于不含梯度項的擬線性微分不等式整體弱解的非存在性問題的開創(chuàng)性的工作,可參考文[10-11].

關(guān)于非局部微分不等式的研究方面,Mitidieri 和Pohozaev[12]首次考慮了具有卷積型非局部項的橢圓微分不等式

其中m >1,L為線性微分算子,且Kβ(x)=cβ/|x|N?β表示階數(shù)為β ∈(0,N)的Riesz勢,cβ >0.他們利用由試驗函數(shù)構(gòu)造的非線性容度法證明了問題解的Liouville型定理.最近,Ghergu等[13]在有界及無界區(qū)域上考慮了含卷積型非局部源項和擬線性算子的微分不等式：?LAu ≥(Kβ ?um)uq,m >0,q ∈R,Kβ為β階的Riesz勢且擬線性算子LA包括p-Laplacian算子,p-平均曲率算子等.他們利用試驗函數(shù)方法建立了正解的存在性與非存在性的最優(yōu)條件,并推廣到了相應(yīng)的擬線性橢圓不等式組.值得注意的是,目前我們所考慮的具有卷積型非局部項和梯度項的橢圓微分不等式的研究很少.

本文中,我們受Mitideri和Pohozaev[7]及Filippucci和Ghergu[14]的研究結(jié)果啟發(fā),在試驗函數(shù)理論框架內(nèi)討論一大類含卷積型非局部源項和梯度源項的擬線性橢圓微分不等式(1.1)非負(fù)非平凡弱解的非存在性.

我們指出,不等式(1.1)左端的擬線性算子及右端的卷積型非局部項、乘冪型源項、梯度源項等各種成分的存在使得對非線性Liouville型定理的研究非常精致.特別是,由于各種因子的出現(xiàn),使先驗估計的推導(dǎo)也更加復(fù)雜.

現(xiàn)在,我們陳述本文的主要結(jié)論.

定理1.1假設(shè)1

0,r ≥0,0<β <,且令LA為強p-強制算子,K:RN{0}→(0,∞)為連續(xù)函數(shù)滿足lim infx→0K(x)>0和(1.2).如果

則非局部不等式(1.1)在

中的非負(fù)弱解恒為常數(shù),其中0

定理1.1表明,當(dāng)算子LA的原型為p-Laplacian算子時,即滿足如下不等式

其源項的整體指數(shù)q+m+r的臨界指標(biāo)為.尤其是,當(dāng)β →0時,我們可猜測到如下范數(shù)型非局部不等式

本文的剩余部分結(jié)構(gòu)如下.在第2節(jié)中,我們引入一些預(yù)備知識.在第3節(jié)中,我們證明一些預(yù)備引理并得到精細(xì)的先驗估計值.最后,本文的主要結(jié)論的詳細(xì)證明過程在第4節(jié)中給出.

2.預(yù)備知識

本節(jié)中,我們引入一些記號、定義并構(gòu)造試驗函數(shù).為了方便起見,在下文中,我們記C為不依賴于u的正常數(shù),其行數(shù)不同可能表達不同常數(shù).

定義2.1如果函數(shù)A(x,z,ζ):RN ×[0,∞)×RN →RN滿足

其中c1,c2>0為常數(shù),,則函數(shù)A(x,z,ζ)稱為強p-強制的(S-p-C).

由(2.1),我們可推出,存在正常數(shù)c3,c4使得對于固定的p>1滿足

且如下不等式成立：

我們定義集合

其中d為實參數(shù).

同時,對任意R>0,我們令BR是在RN中以原點x=0為中心,半徑為R的球且定義截斷函數(shù);[0,1])使得

其中C為正常數(shù).

現(xiàn)在,我們仔細(xì)選取試驗函數(shù).對任意τ >0,我們定義

3.先驗估計值

本節(jié)中,我們介紹一些預(yù)備引理及精細(xì)的先驗估計值.

我們首先引入一些預(yù)備引理,將在證明先驗估計中起到關(guān)鍵作用.

引理3.1假設(shè)u ∈Sd為(1.1)的非負(fù)解,則

證令R>ρ充分大,其中ρ在(1.2)式中出現(xiàn).對于x ∈BR,由假設(shè)(1.2) 式,我們有

由(3.1)式和(3.2)式,我們易知

因此,.由于R>ρ充分大,則我們可得引理3.1結(jié)論成立.

引理3.2假設(shè)u ∈Sd為(1.1)的非負(fù)解,則如下不等式成立：

由S-p-C的定義(2.1)式及Cauchy-Schwarz不等式和(2.2)式,我們有

結(jié)合(3.4)式和(3.5)式,我們推出

由帶ε的Young不等式,我們得到

由于1<σ1<,因此uτ的指數(shù)大于0.由Beppo-Levi定理[15],此時我們可令τ →0,即可得(3.3)式.引理3.2證畢.

引理3.3我們定義

證在弱解的定義(2.3)式中選擇φ=ξλ,則我們有

其中σ2>1待定.結(jié)合引理3.2的(3.3)式可推出

即σ1滿足引理3.2的條件,σ3滿足上述條件.下面,我們估計(3.11)式的另一項.利用Hlder不等式,我們導(dǎo)出

即σ2和σ4滿足上述條件.

將(3.12)式和(3.13)式代入(3.11)式,利用J的定義(3.8)式,我們有

由此可得(3.9)式.引理3.3證畢.

接下來,我們給出J的精細(xì)先驗估計式,將在定理1.1的證明中起關(guān)鍵作用.

命題3.1假設(shè)u為(1.1)的非負(fù)解,J由(3.8)式定義且,則如下不等式成立：

其中R>ρ充分大.因此,由(3.15)式,我們推出

結(jié)合(3.16)式和(3.17)式,我們得到

應(yīng)用引理3.3中的(3.9)式,我們有

由此可得(3.14)式成立.命題3.1證畢.

4.主要結(jié)論的證明

本節(jié)中,我們給出定理1.1的詳細(xì)證明過程.

再由(3.10)-(3.13)式,我們得到

結(jié)合(3.18)式和(4.2)式,我們導(dǎo)出

其中R的指數(shù).現(xiàn)在,對(4.3)式取極限R →∞并由(4.1)式易得,u恒為非負(fù)常數(shù).定理1.1證畢.