四耦合非線性薛定諤方程的矢量孤子解及疊加解

胡雪原,郭睿

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

1.引言

眾所周知,非線性發(fā)展方程在非線性科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,如水波、非線性光學(xué)和流體力學(xué)中都發(fā)揮著重要作用.其中,非線性薛定諤方程更是幾十年來科研工作者的重點(diǎn)研究對(duì)象.如在物理學(xué)的光纖通信系統(tǒng)中,非線性薛定諤方程可以用來描述光脈沖的傳播.但是由于自然現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)世界和某些實(shí)驗(yàn)環(huán)境中下更為復(fù)雜,耦合方程的研究比單分量方程受到了更多研究人員的關(guān)注.

時(shí)至今日,非線性偏微分方程的求解一直都是非線性科學(xué)的重要內(nèi)容之一.近來,對(duì)于非線性偏微分方程提出多種求解方法,如廣田雙線性方法、達(dá)布變換方法、反散射方法等.廣田雙線性方法[1?3]是通過一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q,將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為雙線性形式,再通過截?cái)嘈?shù)多項(xiàng)式得到精確解.達(dá)布變換方法[4?6]是利用不同的種子解,然后進(jìn)行迭代得到新解.這兩種方法,在高維非線性偏微分方程的求解與相關(guān)問題的研究中被廣泛應(yīng)用.文[7-8]利用發(fā)展的廣田雙線性方法分別得到了二耦合和三耦合非線性薛定諤方程的矢量孤子解,并分析了這些解的動(dòng)態(tài)行為.文[9-10]利用達(dá)布變換方法分別得到了二耦合和三耦合非線性薛定諤方程的怪波解及怪波與孤子、呼吸子相互作用的疊加解.

本文基于文[7-10],研究了以下的四耦合非線性薛定諤方程的矢量孤子解及一階怪波及疊加解[11]:

首先,通過發(fā)展的廣田雙線性方法得到方程(1.1)的單、雙孤子解,然后通過選取不同參數(shù),得到三類矢量孤子解并分析這些解的性質(zhì).最后,通過一階的達(dá)布變換得到一階怪波及怪波與孤子、呼吸子的疊加解.

2.矢量單、雙孤子解

為了得到方程(1.1)的孤子解,對(duì)方程(1.1)中的變量?α做有理變換.令,α=1,2,3,4,得到方程(1.1)的雙線性形式：

將Gα和F展開成小參數(shù)ε的冪級(jí)數(shù):

單孤子解為了得到單孤子解,將方程(2.2)截?cái)酁橐韵滦问?

雙孤子解為了得到雙孤子解,將方程(2.2)截?cái)酁橐韵滦问?

因此,得到方程(1.1)的雙孤子解為:

3.矢量孤子解的性質(zhì)

情形1選擇參數(shù)γ0=0,其他參數(shù)在滿足限制條件的情況下任意取值.我們可以得到亮孤子.方程(2.5)可以如下表達(dá):

其中θ1R=k1Rx?2k1Rk1It+φ1R,θ1I=.根據(jù)方程(2.5)和方程(2.8)的特點(diǎn),下面我們只給出?1的圖像.由方程(3.1)可知,亮孤子的振幅和速度為:

由圖3.1可以觀察到,亮單孤子在傳播過程中保持振幅、速度不變.而為了研究雙孤子解的性質(zhì),我們將對(duì)方程(2.8)進(jìn)行漸近分析.

圖3.1 a=b=c=d=m=u=1, n=v=?1, γ0=0, k0=1.2,(a) k1=2 ?i,φ1=1;(b) k1=2.1 ?1.4i,k2=1.5+2.8i,φ1=1,φ2=1;(c) k1=1.5+2.8i,k2=1.6+2.8i,φ1=1,φ2=1

圖3.2 a=n=1,b=d=m=u=0,c=v=?1,γ0=1,k0=1.2,φ1=1,k1=2 ?i

碰撞前(t →?∞):

碰撞后(t →+∞):

通過觀察圖3.1以及比較碰撞前后孤子的振幅、速度、相位:

情形2選擇參數(shù)γ0≠0,b=d=m=u=0.我們可以得到亮暗孤子.方程(2.5)可以如下表達(dá):

根據(jù)方程(2.5)和方程(2.8)的特點(diǎn),下面我們只給出?1和?2的圖像.由方程(3.6)可知,解?2和?4為亮孤子,解?1和?3為暗孤子.亮暗孤子的振幅和速度為:

同樣地,為了分析亮暗雙孤子解的性質(zhì),我們對(duì)方程(2.8)進(jìn)行漸近分析.

碰撞前(t →?∞):

碰撞后(t →+∞):

通過觀察圖3.3以及比較碰撞前后的振幅、速度、相移:

圖3.3 a=n=1,b=d=m=u=0,c=v=?1,γ0=2,k0=1.2,φ1=1,φ2=1,k1=1.5+2.8i,k2=1.6 ?2.8i

圖3.4 a=b=c=d=m=v=1, n=u=?1, γ0=2,k0=1.2,(a) k1=1.5 ?2i,φ1=1;(b) k1=1 ?2i,k2=0.8 ?2i,φ1=3,φ2=1

同樣地,我們發(fā)現(xiàn)亮暗雙孤子解之間的碰撞也是彈性的.

情形3令所有參數(shù)都不為0.方程(2.5)可以如下表達(dá):

根據(jù)方程(2.5)和(2.8)的特點(diǎn),我們只給出?1的圖像.在這樣的參數(shù)下,我們可以得到一種具有呼吸行為的新解.

4.一階怪波及疊加解

方程(1.1)的Lax對(duì)如下所示:

其中Ψ=(?1,?2,?3,?4,?5)T,?α(α=1,2,3,4)是勢(shì)函數(shù),ζ是譜參數(shù).經(jīng)驗(yàn)證,上述Lax對(duì)滿足相容性條件Ut ?Vx+[U,V]=0.

基于AKNS譜問題,可以構(gòu)建方程(1.1)的達(dá)布變換[4]:

其中?α=?α[0],Ψ1=Ψ(x,t,ζ1)(c1,c2,···,cN)T,ζ1是復(fù)數(shù),c1,c2,···,cN是常數(shù).下面我們給出證明.

如果Tx+TU=T,且與U有相同的形式,那么我們有

類似地,如果Tt+TV=T,且與V有相同的形式,那么我們有

事實(shí)上,我們?nèi)菀昨?yàn)證T保持與U有相同的形式.下面我們驗(yàn)證T保持與V有相同的形式.

即下面等式成立:

當(dāng)ζ/=ζ1,時(shí),達(dá)布變換T是一個(gè)非退化的矩陣.另一方面,我們可以計(jì)算上面兩式左端關(guān)于ζ矩陣函數(shù)在ζ=ζ1,是留數(shù)為零,且在無窮遠(yuǎn)處趨于0.那么,由劉維爾定理可得上面兩式在整個(gè)復(fù)平面恒成立.進(jìn)而由相容性條件(4.4)(4.5)可以推出

直接計(jì)算,我們可以推出

證畢.

通過上面的定理,我們得到勢(shì)函數(shù)之間的變換:

上式的參數(shù)如下:

情形1δ1=δ2=δ3=0,χ1,χ2,χ3,χ4可以任意取值.我們可以得到一階怪波解.

圖4.1中展示的圖像和單分量非線性薛定諤方程的一階怪波相同.

圖4.1 δ1=δ2=δ3=0,χ1=χ2=χ3=χ4=1

情形2δ1,δ2,δ3≠0,χ1,χ2≠0,χ3,χ4=0.我們可以得到一階怪波與孤子的疊加解.

圖4.2中的一階怪波因?yàn)槌霈F(xiàn)在零振幅背景波峰處,因此它們的振幅非常小.

情形3δ1,δ2,δ3,χ1,χ2,χ3,χ4≠0.我們可以得到一階怪波與呼吸子的疊加解.

通過對(duì)比圖4.3和圖4.4,可以發(fā)現(xiàn)改變?chǔ)?,δ2,δ3的值,呼吸子和怪波發(fā)生了分離.并且當(dāng)δ1,δ2,δ3的值由時(shí),解?4的波形發(fā)生改變.

圖4.3

圖4.4