數(shù)學(xué)說題在建構(gòu)運算能力中的關(guān)鍵作用

周本圣

【摘? ?要】在運算教學(xué)的過程中引入學(xué)生說題活動，可以幫助學(xué)生理解算理、掌握算法。教師圍繞“在數(shù)學(xué)說題中滲透數(shù)學(xué)思想”“在數(shù)學(xué)說題中理解算理”“在數(shù)學(xué)說題中構(gòu)建算法”的探索，切實提升學(xué)生的運算能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)說題；運算能力；算理；算法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》指出：運算能力主要指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力。主要表現(xiàn)為：能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。學(xué)生在運算學(xué)習(xí)的過程中，往往“受到問題中所牽涉到的‘?dāng)?shù)的類型‘問題的情境模式及‘它們之間的互動所影響” ［1］，而消除這些影響的方法在于學(xué)生對算理的深刻理解以及運算能力的提升。數(shù)學(xué)說題——讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視可聽［2］，是“說數(shù)學(xué)”的一個基本形式。在運算教學(xué)的過程中引入學(xué)生說題活動，可以幫助學(xué)生理解算理、掌握算法；在說題的思維表達過程中，可以幫助學(xué)生理解運算問題，掌握合理簡潔的運算策略。在教學(xué)實踐中，要以理解算理和構(gòu)建算法為落腳點，通過概念、性質(zhì)、定律、法則理解算理，通過轉(zhuǎn)化、優(yōu)化、湊整、化簡構(gòu)建算法，發(fā)揮數(shù)學(xué)說題在其中的關(guān)鍵作用，推動學(xué)生運算能力的發(fā)展（如圖1）。

一、在數(shù)學(xué)說題中滲透數(shù)學(xué)思想

從小學(xué)到高中，數(shù)學(xué)書越學(xué)越多、越學(xué)越厚。那么如何能夠越學(xué)越薄呢？最好的方法就是，適當(dāng)掌握雙基，提煉思想方法，學(xué)會運用思想方法。雖然在小學(xué)階段無須過度強調(diào)數(shù)學(xué)思想，但適當(dāng)?shù)臐B透是必要的。正如顧沛教授所言：“數(shù)學(xué)思想的滲透是長期的，應(yīng)該從小學(xué)一年級開始，也完全可以從小學(xué)一年級開始。” 在豐富的數(shù)學(xué)思想中，涉及運算能力的思想方法，主要有轉(zhuǎn)化、演繹、代換、消元、化簡、數(shù)形結(jié)合等。數(shù)學(xué)說題在形成這些思想方法的過程中，有著重要的作用。說題為學(xué)生提供了將零星的想法歸納成語言并展現(xiàn)出來的機會，加上有效的說題評價的指引，可以促進學(xué)生積極思考，逐步形成思想方法。在說題實踐中，需關(guān)注內(nèi)容的一致性、表達的有序性、方法的有效性和選擇的靈活性。

（一）內(nèi)容的一致性

同一類型的題目往往蘊含的思想方法是一致的。在階段性練習(xí)中，為了滲透某種思想方法，在選擇內(nèi)容時需要保持一致性。比如在計算“[1/2]+[1/4]+[1/8]+[1/16]”時滲透數(shù)形結(jié)合思想，那么在“[1/3]+[2/9]+[4/27]+[8/81]”中同樣也能體現(xiàn)。數(shù)學(xué)說題時，同桌互說互聽互評，給學(xué)生一個具體的探索平臺，經(jīng)歷思想方法形成的過程。學(xué)生在說題過程中的“旁征博引”“抽絲剝繭”，可以將相關(guān)現(xiàn)象關(guān)聯(lián)起來思考，從而感悟思想方法。

（二）表達的有序性

在計算教學(xué)中，學(xué)生說題能規(guī)范數(shù)學(xué)語言表達，對幫助說題者梳理解題思路有著很強的支撐作用，對于傾聽者也有著很好的引領(lǐng)和示范作用。然而，小學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達時，往往受其自身邏輯思維的不完善和語言表達的不完美的限制，表現(xiàn)出前后顛倒、循環(huán)重復(fù)、過度跳躍等現(xiàn)象。說題過程中，教師要以有序性為指引，幫助學(xué)生進行合理調(diào)整，如通過說題記錄表格的形式作規(guī)范引導(dǎo)，將涉及思想方法的語言確定下來，使得表達邏輯更加明晰。

（三）方法的有效性

促進說題有效性的方法是多種多樣的。計算教學(xué)中，讓學(xué)生在說題過程中穿插畫圖，以達到數(shù)形結(jié)合、視聽并舉的目的，可以幫助學(xué)生溝通數(shù)與數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，效果立竿見影。例如，除數(shù)是分數(shù)的除法相關(guān)內(nèi)容，算理的理解是難點所在，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在多樣化的表征中，比較、分析各種算法的思維路徑，感受數(shù)的運算的有效性。在計算“2÷[2/3]”的說題中，鼓勵學(xué)生創(chuàng)新表達，把重點放在除以[2/3]是如何轉(zhuǎn)化為乘[3/2]的，感受轉(zhuǎn)化的有效性。

（四）選擇的靈活性

思想方法的靈活性旨在提高運算效率。如估算就是體現(xiàn)靈活性很好的方法，估算涉及理解數(shù)的大小、倍數(shù)關(guān)系和調(diào)整數(shù)字等能力，估算思想包括重組、轉(zhuǎn)換以及調(diào)整等。估算的過程往往不容易書寫，或者不用書寫，但是口頭表達是必要的，也很關(guān)鍵，因此，結(jié)合說題在估算中培養(yǎng)數(shù)感，恰如其分。例如，用估算教學(xué)“[7/16+10/19]”時，教師可以先提問：兩個加數(shù)具有什么共同特征？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個加數(shù)都接近[1/2]。再啟發(fā)他們利用參照數(shù)進行合理估算。在將[1/2分別調(diào)整為與7/16和10/19]等分母或等分子的過程中，感受同分母看分子和同分子看分母的較為靈活的運算思想。

二、在數(shù)學(xué)說題中理解算理

（一）算理的內(nèi)在結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)運算過程中所運用的數(shù)學(xué)知識是程序性知識［3］，主要表現(xiàn)為特定的數(shù)學(xué)運算方法和運算步驟，其背后有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識和原理作為支撐。數(shù)學(xué)運算的過程是進行數(shù)學(xué)推理的過程［4］，即基于概念、性質(zhì)、定律與法則，指向“為什么要這樣算”。例如，在小數(shù)乘法中，為什么可以先按照整數(shù)乘法進行計算再確定小數(shù)位數(shù)呢？學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，需要明白其中的道理，掌握其算理的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。教師可以把圖2中的方法①、方法②兩種方法結(jié)合起來，將乘除法相關(guān)定律與性質(zhì)蘊含其中，這有利于學(xué)生理解小數(shù)乘法的算理。

（二）數(shù)學(xué)說題在理解算理中的關(guān)鍵作用

課時教學(xué)容易將單元整體結(jié)構(gòu)割裂，難以形成知識的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。運算教學(xué)尤其如此，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等相關(guān)知識與運算被安排在不同學(xué)段和不同年級。這樣的安排時間跨度大，基本算理的一致性很難得到關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)說題正是為學(xué)生搭建了自主學(xué)習(xí)的平臺，他們可以通過說題將自己碎片化的認知整合起來，結(jié)合運算法則、運算律和運算性質(zhì)等分析算理。如圖2中“0.8×0.3”的兩種表達方式，通過說題讓學(xué)生把每一步的算理說出來，可以強化理解，很好地實現(xiàn)對算理內(nèi)在結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。再如“只有計數(shù)單位相同的數(shù)才能直接相加減”，這是加減法的算理。無論是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，都要根據(jù)此算理進行加減運算，體現(xiàn)了數(shù)的運算一致性。在書面練習(xí)中，很難將這些算理一一展示出來。而說題則彌補了這一缺憾，即學(xué)生在說題過程中，數(shù)學(xué)語言的表達過程要依據(jù)算理。因此，數(shù)學(xué)說題在理解算理中起著關(guān)鍵作用。

三、在數(shù)學(xué)說題中構(gòu)建算法

選擇合理簡潔的運算方法決定了運算的繁簡程度。如何幫助學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)倪\算方法呢？ 數(shù)學(xué)說題開辟了一條新路徑，將傳統(tǒng)的“練”與新穎的“說”有機結(jié)合。為此，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)說題如何突破運算中的常見問題作了一些討論。

（一）賦予意義辨明運算順序

教學(xué)中經(jīng)常遇到類似“30-30×0.5=0”“25×4÷25×4=1”的計算錯誤。學(xué)生是憑著“感覺”計算的，湊整思想的干擾以及視覺效應(yīng)上追求“方便”，導(dǎo)致了錯誤的產(chǎn)生。究其原因還是不明算理，不明白“四則混合運算時為什么要先算乘除，再算加減”“同一級運算時為什么要按照從左往右算”。

解決這樣的問題，可以通過學(xué)生說題，引導(dǎo)他們結(jié)合生活實際賦予算式一個意義，實現(xiàn)對運算順序的理解。如“糖果每千克30元，甲買了1千克，乙買了0.5千克，甲比乙多花了多少錢？”就可以很好地幫助學(xué)生理解“30-30×0.5”先乘后減的道理。

（二）優(yōu)化思想開拓方法多樣化

在優(yōu)化思想的指引下，開拓計算方法的多樣化可以引導(dǎo)學(xué)生在運算廣度上探尋，多層次、多角度地理解算理、構(gòu)建算法。例如，“87+99”的計算（如圖3）。

在學(xué)生說題中呈現(xiàn)多種計算方法，可以引發(fā)他們在算法廣度上的思考，提升他們算法的構(gòu)建水平。教學(xué)中可以結(jié)合說題讓學(xué)生在方法①中領(lǐng)會“只有計數(shù)單位相同的數(shù)才能相加減”和“滿十進一”的道理；在方法②中領(lǐng)會先分后合的道理；在方法③中領(lǐng)會“加多了減回去”的盈虧法則；在方法④中領(lǐng)會加法計算中“和不變”的道理。方法③和方法④還蘊含了“湊整”思想。這些道理和思想，恰恰是構(gòu)建算法合理性的支柱，也是學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)的基石。一個學(xué)生在說題中，可以促使其他學(xué)生“耳濡目染”，很好地將這些道理和方法進行放大。

（三）湊整思想指引簡便運算

簡便計算的本質(zhì)是“湊整”。借助于說題可以有效促進學(xué)生對湊整的認識，強化湊整意識，落實湊整思想。例如，“13.23+11.98-3.23” “7 ×0.8 ×[1/7]×125”“999 × 888÷666÷444”等題型，在說題中，學(xué)生可以通過自己的語言去表達想法與做法，構(gòu)建起屬于自己獨特的一套“理論”。在說題“13.23+11.98-3.23”時，學(xué)生會用到“消滅干凈”“剛好剩10”等說法；在說題“7 ×0.8 ×[17]×125”時，學(xué)生會用到“連乘”“找好朋友數(shù)”“鐵桿朋友”“剛好約掉”等說法；在說題“999 × 888÷666÷444”時，學(xué)生會用到“倍數(shù)關(guān)系”“共同因數(shù)”“數(shù)字特征”“轉(zhuǎn)化”等說法。這些個性化說法的使用過程，就是“湊整”思想的建立過程。

綜上，將說題應(yīng)用于運算教學(xué)的關(guān)鍵之處，可以為理解算理和構(gòu)建算法提供有效途徑，切實提升學(xué)生的運算能力。

參考文獻：

［1］鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［2］趙洪貴，吳立寶.小學(xué)數(shù)學(xué)有效說題框架與案例剖析［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報（基礎(chǔ)教育版），2019，20（4）：36-39.

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［4］董林偉.傾聽學(xué)生的思考：例談運算能力及其培養(yǎng)途徑［J］.數(shù)學(xué)通報，2009，48（9）：13-16，20．