海底控制點水聲定位測距誤差的近似數(shù)學(xué)表達式

孫文舟，曾安敏，喬正明，趙 翔

(1.地理信息工程國家重點實驗室，西安 710054；2.國家海洋技術(shù)中心漳州基地籌建辦公室，廈門 361007)

GNSS 結(jié)合聲學(xué)設(shè)備是實現(xiàn)絕對基準(zhǔn)向海底控制點傳遞的最有效方法[1-4]，影響該方法測量準(zhǔn)確性最大的誤差源是聲速的不確定性[5]，聲速的誤差由測量的不準(zhǔn)確、溫度的日變化以及內(nèi)波等因素引起[6,7]。由于斜距值(即海底應(yīng)答器至船底換能器直線距離)的計算方法復(fù)雜，且計算時需要以聲速剖面而非單一聲速值為基礎(chǔ)量，因此，聲速的不確定性引起的測距誤差規(guī)律難以把握，還沒有形成確定性的解釋[1]。

文獻[8]利用圓走航確定水下控制點的三維坐標(biāo)，認為當(dāng)水深一定，船底換能器與海底應(yīng)答器水平距離相等時，聲速誤差近似為常量；文獻[9]認為聲速誤差與聲傳播時間和聲波垂直發(fā)射到達海底應(yīng)答器時間之差的平方具有線性關(guān)系，其中，兩者偽距的計算都是采用某一代表性聲速與聲傳播時間的乘積。文獻[10]開展的實測試驗表明，當(dāng)聲速剖面存在某一固定偏差時，測距誤差與斜距值線性負相關(guān)，但具體原因仍未知。

為了解聲速不確定性引起測距誤差的變化規(guī)律，本文嘗試基于聲速剖面和傳播時間的線性關(guān)系理論（The linear relationship between sound velocity profile area and propagation time，簡稱“ST 定理”）對其進行推導(dǎo)分析[11]，建立測距誤差的數(shù)學(xué)模型，為海底控制點測定的測線布設(shè)，解算模型優(yōu)化提供相關(guān)依據(jù)。

1 控制點定位測距誤差分析

分析控制點定位測距誤差必須基于水下斜距值特有的計算方法，與陸地上斜距值的確定方法不同，船底換能器到海底應(yīng)答器斜距值的計算不能直接采用某一代表性聲速與傳播時間的乘積，而應(yīng)基于聲線跟蹤的原理計算，但由于初始入射角是未知數(shù)，因此采用迭代的方法來求初始入射角，進而得到所需的斜距值[12]，迭代計算初始入射角具體的計算原理可參考文獻[12]，若參考深度、聲速剖面和傳播時間等觀測量均不包含誤差，則由算法本身引起的測距誤差是可以忽略的，本文提出的測距誤差表達式主要針對由聲速不確定性引起的測距誤差，結(jié)合圖1來對這項誤差進行分析。

圖1 中，O點為聲源位置，P點為海底應(yīng)答器真實位置，在參考深度和聲速剖面精確已知的情況下，從O點開始，采用聲線跟蹤法經(jīng)過實測傳播時間t聲線腳印位置將到達P。若聲速剖面的測量不準(zhǔn)確或由于在時間上的變化造成擾動，則實際的聲線腳印位置可能落在P1或者P2。而在準(zhǔn)確的聲速剖面下，聲線從O點到P1點經(jīng)歷的傳播時間必然小于t，設(shè)差值為dt1，同理，聲線從O點到P2點經(jīng)歷的傳播時間必然大于t，設(shè)差值為dt2。顯然dt1、dt2相比于t是極小的，進而認為角度δθ也是極小的，所以由聲速的不準(zhǔn)確引起的測距誤差可表示為時間差與海底聲速cb的乘積，表示為：

圖1 測距誤差分析示意圖Fig.1 Schematic diagram of ranging error analysis

2 測距誤差的近似數(shù)學(xué)表達式

測距誤差表達式的推導(dǎo)基于ST 定理[11]，ST 定理描述了傳播時間與聲速剖面的關(guān)系，定義為當(dāng)船底換能器與海底應(yīng)答器的相對位置恒定時，在某一有限的聲速變化范圍內(nèi)，聲傳播時間與聲速剖面面積線性法負相關(guān)，表示為：

也可寫為：

式中，T0是背景聲速剖面下聲波從聲源傳播至海底應(yīng)答器經(jīng)歷的時間，T是瞬時聲速剖面下聲波從聲源傳播至海底應(yīng)答器經(jīng)歷的時間，S0是背景聲速剖面相對于z軸圍成的面積[11]，如圖2 中藍色陰影部分所示，S是瞬時聲速剖面相對于z軸圍成的面積，如圖2 中紅色陰影部分所示，k0=T0/S0是與初始入射角有關(guān)的系數(shù)，Δs=S－S0是聲速剖面面積在背景聲速剖面面積上的變化量，Δt=T－T0。

圖2 聲速剖面面積示意圖Fig.2 Schematic diagram of sound velocity profile area

根據(jù)ST 定理的描述，測時誤差可進一步表示為：

式中，ΔS是實際聲速剖面與用于計算聲速剖面的面積差，k0可用下式表示：

式中，ρ是應(yīng)答器到換能器的斜距值，ce是有效聲速值，為斜距值與實際傳播時間之比，隨初始入射角而變化。將式(5)和式(4)代入式(1)可得：

有效聲速ce是隨入射角變化的變量，為簡化表達式，用常量harmonic 平均聲速ch替換有效聲速ce可得[13]：

上式即為測距誤差的數(shù)學(xué)表達式。根據(jù)定義可知ch和ce在初始入射角為0 時相等，初始入射角越大偏差越大，定義相對聲速誤差為：

定義由于ch替換ce所引起的相對測距誤差為：

由式(9)可知相對聲速誤差與相對測距誤差相等，因此當(dāng)初始入射角越大時，相對測距誤差越大，即測距誤差表達式的估值與真實值的偏差越大。

3 仿真試驗分析

本文設(shè)計如下仿真試驗驗證表達式的有效性，坐標(biāo)系選用笛卡爾坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為海底應(yīng)答器的位置，x軸指向東，y軸指向北，z軸指向天頂，水深3000 m，測量船航速為3 m/s，每20 秒采樣一次，從應(yīng)答器正上方海面開始做遠離該點的直線運動。

試驗中的聲速剖面包括時變部分和非時變部分，非時變部分由Munk 標(biāo)準(zhǔn)方程構(gòu)建[14]：

式中，C1=1482 m/s 是聲道軸處的聲速，Z1=1000 m 是聲道軸的深度，ε=7.4×10-3是擾動系數(shù)，B=1300 是聲道尺度厚度，仿真得到背景聲速剖面如圖3 所示。

圖3 背景聲速剖面Fig.3 Background sound velocity profile

聲速剖面的時變部分包括溫度日變化引起的長周期項和內(nèi)波等引起的短周期項，根據(jù)文獻[15]的方法進行仿真得到，如圖4-5 所示。

圖4 溫度日變化引起的聲速剖面變化Fig.4 Variation of sound velocity profile caused by diurnal temperature variation

因為船底換能器和海底應(yīng)答器的相對位置已知，同時任意時刻的聲速剖面可以通過在背景聲速剖面上迭加長周期項和短周期項得到，基于常梯度聲線跟蹤法可計算觀測量傳播時間，方法是不斷調(diào)整初始入射角，當(dāng)聲線腳印位置與應(yīng)答器位置之間的距離小于某一限差時，對應(yīng)的傳播時間為所求值[16]。實際斜距值基于此觀測量、應(yīng)答器參考深度以及某一固定聲速剖面（本文選用背景聲速剖面），根據(jù)文獻[12]的方法迭代計算獲得。計算得到的斜距值減去斜距值真值即是測距誤差真值。最后用式(7)估計測距誤差，得到的結(jié)果如圖6 所示，圖7 是斜距值與初始入射角的對應(yīng)關(guān)系。

圖5 內(nèi)波引起的聲速剖面變化Fig.5 Variation of sound velocity profile caused by internal waves

圖6 測距誤差估計值與真實值對比Fig.6 Comparison of estimated and true range error values

圖7 斜距值與初始入射角對應(yīng)關(guān)系Fig.7 The corresponding relationship between the slant range and the initial incident angle

圖6 中的黑色實線是仿真試驗得到的測距誤差真值，紅色實線是根據(jù)式(7)估算的測距誤差，藍色實線是測距誤差真值與估值之差，可以看出估值絕對誤差的趨勢隨斜距值增大而上升。在斜距值為15000 m(初始入射角約80 °)以內(nèi)估值的絕對誤差在1 cm 以內(nèi)，當(dāng)斜距值增大至18000 m 左右時(初始入射角約86 °)估值出現(xiàn)約7 cm 的絕對誤差，證明了該表達式可以對測距誤差進行有效的描述。圖中測距誤差明顯的周期性變化規(guī)律是由仿真試驗設(shè)置的內(nèi)波和溫度日變化條件引起的聲速剖面變化導(dǎo)致。

圖8是harmonic平均聲速ch和有效聲速ce之差，差值隨斜距值的增大而增大，由前文分析可知這是造成測距誤差表達式估值的絕對誤差增大的主要原因。

圖8 ce 和ch 之差Fig.8 The difference between ce and ch

總體而言，該試驗驗證了本文提出的測距誤差表達式的準(zhǔn)確性，尤其初始入射角在80°以內(nèi)情況下，具有較高的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

本文基于ST 定理推導(dǎo)了海底控制點坐標(biāo)測定問題中，聲速不確定性引起測距誤差的數(shù)學(xué)表達式，結(jié)合仿真試驗分析得出了如下結(jié)論；

1）測距誤差可以近似用式(7)表示，且該式中僅有兩個是變量，聲速剖面面積差和應(yīng)答器到換能器的斜距值。

2）測距誤差與聲速剖面面積差和斜距值都是線性負相關(guān)的關(guān)系，聲速剖面面積差具有時變性，若忽略內(nèi)波，溫度日變化等因素對聲速剖面的影響，可認為聲速剖面面積差為常量，此時測距誤差僅與斜距值有關(guān)。

3）測距誤差隨初始入射角增大而增加，因此在進行海底控制點坐標(biāo)測定的作業(yè)時，應(yīng)盡量避免初始入射角過大。

本文提出的數(shù)學(xué)表達式描述了聲速不確定性引起測距誤差的規(guī)律，可用于聲學(xué)測距聲速誤差模型的建立，對解決水下靜態(tài)目標(biāo)定位以及水下載體動態(tài)導(dǎo)航定位中的聲速誤差修正問題有一定幫助。