“展開與折疊”主題進(jìn)階學(xué)習(xí)

孫媛媛

一、“展開與折疊”進(jìn)階學(xué)習(xí)之正方體

例1 在學(xué)習(xí)“展開與折疊”后，小紅想利用相關(guān)知識來制作一個(gè)無蓋的正方體紙盒。

（1）圖1中哪個(gè)圖形經(jīng)過折疊可以圍成無蓋的正方體紙盒？

（2）在將紙盒制作好后，小紅給其中兩個(gè)面畫上了標(biāo)記并開口向上放置，如圖2所示，若小亮將這個(gè)盒子重新展開，請畫出其中一種展開圖。

（3）假設(shè)正方體的邊長為4dm，如果小紅想在無蓋紙盒內(nèi)部貼滿貼紙以便將其改裝為收納盒，則需要的貼紙面積至少是多少dm2？

【解析】（1）①③④可以。我們可以從立體實(shí)物出發(fā)，辨別給定圖形能否折疊成立體圖形。如果相鄰兩條邊粘貼成高，需要相鄰兩邊的夾角成九十度。

（2）把立體圖形展開時(shí)，可以剪取不同的棱，所以展開圖有多種類型，比如“1—4型”（圖3），“3—2型”（圖4）等。答案不唯一。

（3）要求正方體的內(nèi)部面積，關(guān)鍵要先求出1個(gè)面的面積。1個(gè)面是16dm2，5個(gè)面就是80dm2。

二、“展開與折疊”進(jìn)階學(xué)習(xí)之長方體

例2 小明將一個(gè)長方體沿某些棱剪開，展開成平面圖形時(shí)，不小心多剪了一條棱，把一個(gè)長方體紙盒剪成了圖5、圖6兩部分。

（1）小明總共剪開了幾條棱？

（2）小明想將剪斷的圖6重新粘貼到圖5上，再折疊成一個(gè)長方體紙盒。有幾種粘貼方法？

（3）求長方體紙盒的體積。

【解析】本題考查幾何體的展開圖，解題關(guān)鍵是掌握幾何體的展開圖特征。我們運(yùn)用逆向思維可發(fā)現(xiàn)，長方體共有12條棱，去掉4條未剪開的棱，剩下的就是剪開的棱的條數(shù)。

（2）根據(jù)長方形邊長關(guān)系，以及“相等長度的邊并排放，相同圖形要間隔一個(gè)圖形”的規(guī)則，可以得出4種情況（圖7）。

（3）用未知數(shù)表示長、寬、高，設(shè)高為xcm，則寬為（6-x），利用長相等列出方程10-（6-x）=12-6，解得x=2，則長方體體積為6×4×2=48。

三、“展開與折疊”進(jìn)階學(xué)習(xí)之棱柱

例3 如圖8，四個(gè)幾何體分別是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，說說他們各有幾個(gè)面、幾條棱、幾個(gè)頂點(diǎn)？由此猜想n棱柱的面、棱、頂點(diǎn)各有多少？

【解析】我們可以歸納棱柱特征的一般規(guī)律：n條棱對應(yīng)n個(gè)面，再加上、下底面，共有n+2個(gè)面；側(cè)面上有n條棱，上、下底面都是n邊形，共有3n條棱；上、下底面都是相同的n邊形，共有2n個(gè)頂點(diǎn)。

四、“展開與折疊”進(jìn)階學(xué)習(xí)之棱錐

例4 如圖9，D、E、F分別是等邊△ABC的邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著虛線折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后統(tǒng)一記為M點(diǎn)。（1）折起后得到的空間圖形是____________。

（2）將折疊的立體圖形沿著棱ME、MF、DF剪開展成平面圖，嘗試畫一畫展開圖。

（3）如圖10，由20個(gè)一樣的等邊三角形折疊得到的空間圖形是____________。

【解析】（1）三棱錐。（2）從立體圖形到平面二維圖形，我們可以動(dòng)手剪一剪。（3）由20個(gè)等邊三角形可以拼成正二十面體。它是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，也是柏拉圖多面體之一。醫(yī)學(xué)上，某些病毒如人類皰疹病毒的衣殼就是正二十面體結(jié)構(gòu)。可見，數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性工具學(xué)科，我們只有現(xiàn)在打好基礎(chǔ)，才能在其他學(xué)科研究中有長遠(yuǎn)發(fā)展。

（作者單位：江蘇省連云港市鳳凰學(xué)校）