磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計混合磁懸浮建模與控制研究

李博文，李得天，*，習(xí)振華，郭美如，周明旭

（1.蘭州空間技術(shù)物理研究所 真空技術(shù)與物理重點實驗室，蘭州 730000；2.東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819）

0 引言

磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計（Spinning Rotor Gauge，SRG）具有優(yōu)異的長期穩(wěn)定性和重復(fù)性，在真空計量領(lǐng)域作為傳遞標準使用[1-2]。但是，受殘余阻尼、溫度、外部振動等因素影響，磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計的量限拓展、準確度提高以及使用范圍受到了嚴重制約。混合磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計利用永磁-電磁合力使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮在真空中，轉(zhuǎn)子與支撐件之間沒有任何機械接觸，僅憑借測量氣體分子對轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)阻尼作用的大小來測量真空壓力[3]。

混合磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計是基于Beams等的純電磁磁懸浮真空計發(fā)展而來的[4]。上世紀80年代，F(xiàn)remery等[5]完善了真空計的混合磁懸浮結(jié)構(gòu)，解決了純電磁磁懸浮真空計的功耗大、發(fā)熱大、懸浮不穩(wěn)定導(dǎo)致的測量失真等問題[6]。至今為止，鮮有人對于這種獨特的混合磁懸浮系統(tǒng)中永磁力與電磁力在磁懸浮過程中的影響與配比關(guān)系作出報道。為進一步探索提高磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計的測量精度，本文將推導(dǎo)磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計的混合磁懸浮的磁場關(guān)系，得到頻域模型；并將電磁線圈參數(shù)與永磁體參數(shù)引入模型，研究SRG獨特的混合磁懸浮系統(tǒng)物理模型的建立及其控制；最后利用數(shù)學(xué)模型中引入的參數(shù)指導(dǎo)實際磁懸浮系統(tǒng)的搭建，并進行壓力測量實驗。為磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計懸浮穩(wěn)定性的進一步提高和測量上下限的擴展提供理論基礎(chǔ)[7-13]。

1 永磁-電磁混合磁懸浮模型

1.1 純電磁懸浮模型

要實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的無摩擦懸浮，通常首先考慮采用電磁懸浮系統(tǒng)。這是一種較為成熟的技術(shù)，在各個領(lǐng)域都有較為成熟的模型可以參考。在本文所研究的問題上，純電磁磁懸?。磧H僅使用電磁線圈使球形轉(zhuǎn)子懸?。┮彩且环N值得考慮的選擇。模型示意如圖1所示。

圖1 球形轉(zhuǎn)子電磁懸浮示意圖Fig.1 Schematic diagram of electromagnetic levitation of rotor

實際工作中，要求真空計長期不停機工作，磁懸浮系統(tǒng)盡可能功耗低，因此會增加一個外力承載一部分轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，減輕電磁線圈的負載。為此，引入永磁體，形成電磁-永磁混合磁懸浮結(jié)構(gòu)。

1.2 混合磁懸浮模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計的混合磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，球形轉(zhuǎn)子位于中間位置，上下各有一塊極性同向的永磁體，兩個串聯(lián)的電磁線圈在轉(zhuǎn)子上下對稱布置。在實際應(yīng)用中，在這一對串聯(lián)的電磁線圈上加載直流信號用以產(chǎn)生電磁力。為準確估計閉環(huán)系統(tǒng)的固有特性，必須對轉(zhuǎn)子懸浮系統(tǒng)進行精準的建模，盡可能地考慮到影響軸向懸浮系統(tǒng)中的所有因素。為研究方便，在不影響模型建立與實驗的前提下，做如下假設(shè)：

圖2 混合磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of hybrid magnetic levitation system

（1）永磁體均勻磁化，且軸向磁場的磁勢不隨時間或溫度發(fā)生衰減；

（2）鐵磁材料（即球形轉(zhuǎn)子與永磁體材料）的磁導(dǎo)率無限大；

（3）忽略線圈與永磁體在氣隙中的漏磁；

（4）假定球形轉(zhuǎn)子、線圈、永磁體剛度無限大，不發(fā)生任何彈性形變；

（5）忽略測量氣體對轉(zhuǎn)子的作用；

（6）忽略法蘭管對電磁場的影響。

圖2中紅框為實際系統(tǒng)中的法蘭管，連接至真空系統(tǒng)并限制轉(zhuǎn)子的運動。Fm與Fup（x，i）和Fdown（x，i）作用，轉(zhuǎn)子懸浮的動力學(xué)方程為：

首先對永磁體在中心軸線處的磁感應(yīng)強度進行分析，建立如圖3所示的圓柱形永磁體中心軸線上的磁感應(yīng)強度模型。

由假設(shè)（1），永磁體均勻磁化，磁化強度M為常矢量，因此體電流密度為零。由安培分子環(huán)流定律，可將圓柱形永磁體等效為一個沿圓柱側(cè)面切線方向流動的，電流大小為M且上下頂面無電流的圓筒形環(huán)流。取如圖3所示的圓柱面微分長度為dz0，圓柱面到底面距離為z0，a為永磁體半徑，θ0為環(huán)流電流通過的角度，在dz0上流動的面電流為Mdz0θ，則此面電流在P點產(chǎn)生的dBm為[14]：

圖3 圓柱形永磁體軸向磁感應(yīng)強度模型Fig.3 Model of axial magnetic field strength of a cylindrical permanent magnet

沿圓柱高度積分，可以得到圓柱形永磁體在中心軸線上P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度Bm為：

即在P點處有：

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率；為由原點指向坐標軸z方向的單位矢量。

由式（3）可以看出，若兩塊永磁體以中心位置對稱，則永磁體在軸線中心位置產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度會相互抵消，不能起到平衡轉(zhuǎn)子的部分重力的作用。在實際設(shè)計中也考慮到了這個問題，因此上下永磁體為非對稱布置，如圖2所示，上下永磁體與線圈距離不同，上方永磁體更靠近線圈，提供更強的磁力。

根據(jù)以上推導(dǎo)，得到永磁體在中心軸線方向上產(chǎn)生的永磁力與磁感應(yīng)強度方程組為：

式中：Bmup為下永磁體在轉(zhuǎn)子徑向平面處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度；Bmdown來自上永磁體；S為轉(zhuǎn)子截面積。綜合上述方程組，可以得到在空間中某位置永磁體對轉(zhuǎn)子的磁力為：

由式（6）可知，永磁體對轉(zhuǎn)子的作用力僅與轉(zhuǎn)子軸向懸浮位置x有關(guān)。因此，一旦通過電磁線圈控制回路的設(shè)計確定了轉(zhuǎn)子軸向懸浮位置x，轉(zhuǎn)子所受永磁力就僅受永磁體的安裝位置sdown與sup制約。因此在混合磁懸浮系統(tǒng)的設(shè)計中可以根據(jù)轉(zhuǎn)子質(zhì)量調(diào)整永磁體的相對安裝位置。

由磁路的基爾霍夫定律與畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)電磁線圈產(chǎn)生的電磁力，線圈對轉(zhuǎn)子的吸引力可以表示為：

式中：N為線圈匝數(shù)；0.01為上下線圈距離，單位為m，為簡化計算，令常數(shù)項：

綜合式（1）～（9），可得轉(zhuǎn)子懸浮的運動學(xué)方程：

當工作在平衡點時（即兩線圈間幾何中心點，距下線圈5 mm處），由式（10）知，此時上下線圈的電磁力大小相同、方向相反，力學(xué)平衡中電磁力項為零，永磁體的磁力與球形轉(zhuǎn)子所受重力相互抵消。物理意義為：當球形轉(zhuǎn)子到達這一理想位置，即形成力學(xué)平衡，線圈上將不加載電流。而這是不符合實際工況的，由恩紹定理可知，單一永磁體的磁力不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的磁懸浮，因此在計算時，結(jié)合實際情況，選擇一微小偏差量作為修正，即取x0=0.005 1 m。工作電流為i0，為盡可能達到小功率甚至零功率控制，此處設(shè)置期望電流為0.01 A。

由式（10）可以看出轉(zhuǎn)子的磁懸浮控制是一個非線性系統(tǒng)，在平衡位置附近進行線性化處理，得到線性化后的運動學(xué)方程為：

其中：

式中：Kx與Ki為永磁懸浮位移剛度系數(shù)和永磁懸浮電流剛度系數(shù)。

將式（11）進行拉普拉斯變換，可得：

移項化簡得到：

由式（15）可知，混合磁懸浮系統(tǒng)頻域模型與電磁懸浮系統(tǒng)相似[15]，均由“電流剛度系數(shù)”與“位移剛度系數(shù)”來表征線圈電流變化與懸浮轉(zhuǎn)子位移變化對系統(tǒng)影響的系數(shù)，但從式（12）可以看出，推導(dǎo)出的位移剛度系數(shù)中含有與永磁體磁化強度、尺寸、安裝位置等參數(shù)相關(guān)的變量。具體參數(shù)如表1所列。

表1 混合磁懸浮系統(tǒng)部分參數(shù)表Tab.1 Partial parameters of hybrid magnetic suspension system

代入表中參數(shù)得到混合磁懸浮系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這是一個二階系統(tǒng)：

由勞斯判據(jù)可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須增加控制器來保證轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

表1中，模型采用空心線圈實現(xiàn)電磁懸浮部分，且球形轉(zhuǎn)子直徑小于線圈內(nèi)徑，因此可以認為轉(zhuǎn)子僅受穿過其徑向截面的磁通作用，因此在計算電磁力時均采用轉(zhuǎn)子的截面積S。

2 仿真分析

使用PID控制器對推導(dǎo)出的二階系統(tǒng)進行控制，選取較為快速的懸浮控制參數(shù)。參照第一章搭建磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計的混合懸浮模型，為更接近實際工況，采用離散模式，采樣周期T=0.001，系統(tǒng)的仿真模型框圖如圖4所示。

圖4 二階系統(tǒng)的仿真模型框圖Fig.4 Simulation model block diagram of second-order system

2.1 階躍響應(yīng)實驗

通常的外來噪聲，如抽氣系統(tǒng)產(chǎn)生的噪聲信號、實驗環(huán)境中其他噪聲等干擾會引發(fā)振動，為此，在階躍信號的基礎(chǔ)上，加入幅值為0.000 01的白噪聲信號以模擬環(huán)境噪聲，進行仿真實驗，結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，由于式（16）表示的混合磁懸浮系統(tǒng)在頻域表達式上為二階系統(tǒng)，其固有特性類似“低通濾波器”的作用，系統(tǒng)響應(yīng)受白噪聲信號的高頻分量影響較小，低頻噪聲保留較多，因此可知此混合磁懸浮系統(tǒng)易受低頻噪聲的干擾。

圖5 模擬噪聲下混合磁懸浮系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of hybrid magnetic levitation system under simulated noise

2.2 頻域分析

為定量檢驗對高頻噪聲的抑制效果，對圖5中的懸浮響應(yīng)信號進行傅里葉變換，觀察其頻域特征，結(jié)果如圖6所示。

圖6 加入白噪聲的混合磁懸浮系統(tǒng)響應(yīng)信號與白噪聲信號頻譜對比圖Fig.6 Spectral comparison plot of the response signal of the hybrid magnetic levitation system and the white noise signal

從圖6可以看出，懸浮信號的低頻振動集中在150 Hz以內(nèi)，遠離磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計的工作頻率350～550 Hz，對測量系統(tǒng)獲得較優(yōu)質(zhì)的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)信號影響較小。

3 控制器設(shè)計

設(shè)計模擬比例-積分-微分控制電路。控制器原理框圖與實物圖如圖7所示。

圖7 PID混合磁懸浮系統(tǒng)控制器原理框圖與實際電路圖Fig.7 Hybrid magnetic levitation system controller block diagram and actual circuit diagram

4 模型驗證

為驗證混合磁懸浮模型的正確性，以蘭州空間技術(shù)物理研究所自研的磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計為對象進行試驗。利用頻率計數(shù)器對磁懸浮控制系統(tǒng)的懸浮位移響應(yīng)進行頻域分析。

通過前一章節(jié)搭建的磁懸浮PID控制電路實現(xiàn)懸浮轉(zhuǎn)子懸浮，并采集其懸浮信號，以便對其懸浮響應(yīng)進行時域與頻域研究。

調(diào)整PID參數(shù)至穩(wěn)定懸浮后記錄懸浮位移響應(yīng)曲線，如圖8所示。

圖8 混合磁懸浮系統(tǒng)中球形轉(zhuǎn)子的懸浮響應(yīng)信號Fig.8 The suspension response signal of a spherical rotor in a hybrid magnetic levitation system

由圖8可以看出，懸浮較為穩(wěn)定，軸向位置波動量在±0.06 mm以內(nèi)。

懸浮實物圖如圖9所示。設(shè)空間中心位置為參考位移點，調(diào)整PID參數(shù)，將位移信號引至頻率計數(shù)器，進行12 000個頻率點的采樣，結(jié)果如圖10所示。

圖9 混合磁懸浮系統(tǒng)實物圖Fig.9 Physical drawing of hybrid magnetic levitation system

圖10 混合磁懸浮系統(tǒng)中球形轉(zhuǎn)子懸浮信號的頻率直方圖Fig.10 Histogram of the frequency of the levitation signal of a spherical rotor in a hybrid magnetic levitation system

由實驗結(jié)果可以看出，圖8與圖10顯示的懸浮過程中的低頻振動現(xiàn)象與圖5、圖6的仿真結(jié)果吻合。通過頻譜計數(shù)結(jié)果（圖10）可以看出，在PID控制器的控制下，懸浮信號頻域顯示150 Hz以內(nèi)存在低頻振動，振動頻率譜峰值處位于59.5 Hz處。與仿真結(jié)果（圖6）基本一致。

5 壓力測量實驗

將磁懸浮控制模塊電路接入到磁懸浮系統(tǒng)中進行壓力測量實驗，一個月內(nèi)進行4次9×10-5～1 Pa的壓力測試，將得到的壓力結(jié)果與標準壓力進行對比，如圖11所示。

圖11 壓力測量實驗結(jié)果對比Fig.11 Comparison of pressure measurement experiment results

由圖中實驗數(shù)據(jù)可以看出，混合磁懸浮系統(tǒng)可以長期穩(wěn)定工作，保證了混合磁懸浮真空計對壓力的準確測量?；旌洗艖腋∞D(zhuǎn)子頻域數(shù)學(xué)模型的建立，量化了永磁體與線圈在磁懸浮過程中的影響，為穩(wěn)定、低功耗、長期工作的磁懸浮系統(tǒng)搭建打好了基礎(chǔ)。

6 結(jié)論

本文設(shè)計了永磁-電磁混合磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)并建立了該系統(tǒng)的頻域模型，根據(jù)勞斯判據(jù)分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性。最后通過搭建模擬PID電路，進行了閉環(huán)PID控制的實驗，對信號進行頻域分析，驗證了頻域模型的正確性。通過以上的研究得到了以下結(jié)論：

（1）通過數(shù)學(xué)模型仿真與實驗對比，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的低頻振動來自混合磁懸浮控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制固有頻域特性與白噪聲的激發(fā)，印證了混合磁懸浮二階模型的正確性；

（2）經(jīng)過近30天的壓力測試實驗，磁懸浮測量頭持續(xù)準確地測量出壓力，證明未發(fā)生轉(zhuǎn)子懸浮的不穩(wěn)定帶來的本底變化，磁懸浮系統(tǒng)維持低功耗懸浮運行。驗證了由數(shù)學(xué)模型得到的線圈參數(shù)、永磁體參數(shù)與安裝位置的合理性。

仿真結(jié)果與實驗結(jié)果的細微差別和實際懸浮中的低頻抖動表明，磁懸浮系統(tǒng)中仍有部分因素在建立模型時未被考慮到。有待進一步實驗研究，細化模型。