采樣點數(shù)對圓柱體計算尺寸評定結(jié)果的影響*

趙則祥,史鑫朝,趙新宇,席建普

(1.中原工學(xué)院 機電學(xué)院,河南 鄭州 450007;2.中原工學(xué)院 計算機學(xué)院,河南 鄭州 450007)

0 引 言

圓柱體尺寸除了常用的兩點尺寸(點對尺寸)[1]外,為了使圖樣標(biāo)注含義更加清晰明確,適應(yīng)機械制造業(yè)向精密制造、智能制造方向發(fā)展趨勢,新一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范(geometrical product specifications, GPS)中,對圓柱體尺寸進行了系統(tǒng)的規(guī)定。

在該規(guī)范中,規(guī)定了以下尺寸:(1)局部尺寸。包括兩點尺寸、球面尺寸、截面尺寸、部分尺寸;(2)全局尺寸。包括直接全局尺寸(最小二乘直徑、最小外接直徑、最大內(nèi)切直徑和最小區(qū)域直徑)和間接全局尺寸;(3)計算尺寸。包括周長直徑、面積直徑、體積直徑;(4)統(tǒng)計尺寸。包括最大尺寸、最小尺寸、平均尺寸、中位尺寸、極值平均尺寸、尺寸范圍、尺寸的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

有關(guān)上述尺寸的含義見文獻(xiàn)[2]4-11。

按照上述尺寸的規(guī)定,設(shè)計人員可以根據(jù)零件功能需要,在圖樣上標(biāo)注相適應(yīng)的尺寸;檢驗人員可依據(jù)圖樣上標(biāo)注的尺寸,選擇相應(yīng)的測量與評定方法。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]7-9中有關(guān)圓柱體計算尺寸的含義,計算尺寸較合適的測量與評定方法為:在柱坐標(biāo)測量儀上對圓柱體要素采用圓周法進行輪廓提取,并基于其對應(yīng)的評定模型進行評定。采用圓周法對圓柱體要素對輪廓進行提取時,需要設(shè)置每個圓周的采樣點數(shù)。采樣點數(shù)設(shè)置過多,將造成信息冗余,測量和評定時間較長,測量過程中可能引入粗大誤差;采樣點數(shù)設(shè)置過少,將造成信息不足,提取的輪廓不能代表圓周要素的實際面貌。

采樣點數(shù)不僅對圓柱體計算尺寸的評定結(jié)果有影響,對圓度誤差等圓柱體幾何誤差的評定結(jié)果也具有影響,一些學(xué)者對此進行了研究。

謝夢敏等人[3]采用最小區(qū)域圓法(minimum zone circle, MZC)的圓度誤差評定方法,對圓度誤差檢測精度進行研究,得出了不同采樣點數(shù)對圓度精度的影響規(guī)律。鄭育軍等人[4]在三坐標(biāo)測量機上,對不同對象的圓進行了不同點數(shù)的均勻分布采樣,采用最小二乘法(least squares circle, LSC)評定了其圓度,并對其結(jié)果進行了分析總結(jié)。文學(xué)等人[5]提出了基于粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)及遺傳算法(genetic algorithm, GA)的三測點角度優(yōu)化策略,研究結(jié)果表明,采用該策略提升了回轉(zhuǎn)件圓度信息的測量精度。趙前程等人[6]對圓度測量中測量點數(shù)的確定進行了研究。林志熙等人[7]對具有最少采樣點的圓度誤差測量進行了研究。陳隆德等人[8]對圓度誤差測量中測點數(shù)的確定進行了研究。鄭鵬等人[9]通過計算機模擬分析與工件實測,對圓柱度精確測量進行了研究,研究得出結(jié)論,圓柱度精確測量評定的關(guān)鍵是提高軸向采樣頻率和采樣面密度。CHAN F M M等人[10]使用坐標(biāo)測量機測量了圓柱體截面,研究了測量時其對采樣策略的影響規(guī)律,確定了采樣點數(shù)和計算結(jié)果之間的關(guān)系。GAPINSKI B等人[11]研究了測量點數(shù)和圓度偏差類型對測量結(jié)果的影響,并給出了關(guān)于測量點數(shù)的建議。MIAN S H等人[12]采用灰色關(guān)聯(lián)度分析法(grey relation analysis, GRA)和優(yōu)劣解距離法(technique for order preference by similarity to ideal sulution, TOPSIS),估計出了圓柱體最佳的采樣點數(shù)分布方案、采樣點數(shù),并得到了其評定算法。SUMMERHAYS K D等人[13]對內(nèi)圓柱面的離散采樣點模型進行了優(yōu)化。

上述有關(guān)采樣點的問題研究,主要是基于對圓柱體的幾何誤差評定結(jié)果的影響展開的,其對圓柱體計算尺寸評定結(jié)果的影響是不相同的。

因此,筆者將通過用折線和弧線兩種方法表征圓周輪廓,從理論和實驗兩方面系統(tǒng)研究采樣點數(shù)對圓柱體計算尺寸評定結(jié)果的影響,以便計算尺寸測量時選取較合適的圓周輪廓表征方法和采樣點數(shù),為標(biāo)準(zhǔn)GB/T 38762.1—2020在機械制造業(yè)的貫徹實施提供技術(shù)支持。

1 輪廓要素提取與徑向尺寸確定

1.1 輪廓要素的提取

當(dāng)在圓柱度儀上采用圓周法對被測圓柱體進行輪廓提取時,在輪廓提取前,通常要對被測圓柱體進行調(diào)心和調(diào)平處理(即被測圓柱體的軸線與圓柱度儀的回轉(zhuǎn)工作臺的軸線間的平行度誤差盡可能小,被測圓柱體的第一個圓周輪廓的最小二乘圓圓心與回轉(zhuǎn)工作臺的軸線間的偏心量盡可能小);

調(diào)心調(diào)平后,還需對圓柱度儀設(shè)置相關(guān)參數(shù),如圓周輪廓的采樣點數(shù)、兩相鄰圓周輪廓的軸向間距、圓周輪廓數(shù)、是否濾波、濾波參數(shù)等;之后,即可開始對被測圓柱體進行圓周輪廓提取。

1.2 徑向尺寸的確定

圓柱度儀采用圓周法測量圓度誤差、圓柱度誤差和軸線直線度誤差時,不需要測量各采樣點到工作臺回轉(zhuǎn)軸線之間的距離。圓柱度儀是否配置線位移光柵尺均是準(zhǔn)柱坐標(biāo)測量儀,且得到的徑向尺寸所形成的圓周(或圓柱體)輪廓對幾何誤差評定結(jié)果幾乎沒有影響。

但是針對圓柱體計算尺寸,采用圓周法提取圓周輪廓時,需要精密測得圓周輪廓采樣點到工作臺回轉(zhuǎn)軸線間的徑向尺寸。不配置線位移光柵尺的圓柱度儀無法精密測量徑向尺寸,而配置線性位移光柵尺的測量儀,通過對標(biāo)準(zhǔn)柱或標(biāo)準(zhǔn)環(huán)以及相關(guān)模型圓周輪廓的測量,實現(xiàn)圓周輪廓采樣點與工作臺回轉(zhuǎn)軸線間徑向尺寸的精密測量。

筆者將標(biāo)準(zhǔn)柱放置在配置線性位移光柵尺的圓柱度儀的工作臺上,經(jīng)調(diào)心調(diào)平處理,將測頭移至已知的標(biāo)準(zhǔn)柱的圓周位置處,提取此處標(biāo)準(zhǔn)柱的圓周輪廓。

此處以Talyrond 585LT圓柱度儀為例,由橫臂配置線位移光柵傳感器和電感傳感器,測得的圓周輪廓第j采樣點的準(zhǔn)徑向尺寸如下式所示:

(1)

式中:xB0j,yB0j—第j采樣點的在x軸和y軸的坐標(biāo);xSij,ySij—第i圓周輪廓的第j采樣點的x軸和y軸的坐標(biāo);m—被測圓柱體測量的圓周數(shù);n—每個圓周輪廓的采樣點數(shù),采用等角度間隔采樣;φj—第j采樣點的采樣間隔,rad。

筆者用標(biāo)準(zhǔn)柱消除徑向測量所存在的系統(tǒng)誤差Δρ[14]。

由于在圓柱度儀上提取圓柱體輪廓采用的是準(zhǔn)柱坐標(biāo)系,基于準(zhǔn)柱坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系分別測得的標(biāo)準(zhǔn)柱圓周輪廓的最小二乘圓及其參數(shù),如圖1所示。

圖1 最小二乘圓及其參數(shù)

由于圓周輪廓最小二乘圓圓心坐標(biāo)僅與圓周輪廓各采樣點的微小變動量有關(guān),因此,圖1所示兩圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標(biāo)相同。

基于準(zhǔn)柱坐標(biāo)系提取圓周輪廓時,各采樣點到工作臺回轉(zhuǎn)軸線的徑向尺寸所存在的系統(tǒng)誤差可表示為:

(2)

各采樣點消除徑向尺寸的系統(tǒng)誤差后,可得到各采樣點到工作臺回轉(zhuǎn)軸線的徑向尺寸,即:

ρij=ρSij-Δρ,i=1～m,j=1～n

(3)

2 計算尺寸的確定

2.1 輪廓周長、面積、體積及其確定

第1至m圓周輪廓的周長、面積與體積如圖2所示。

圖2 周長、面積與體積圖示V—第1至第m圓周輪廓間的體積;Pi—第i圓周輪廓的周長;Ai—第i圓周輪廓的面積

對于圖2所示的周長,可有兩種方式確定:(1)用折線(相鄰點的連線)所組成的輪廓封閉線的長度,作為提取圓周輪廓的周長;(2)用弧線(兩個相鄰點的采樣點到回轉(zhuǎn)工作臺軸線的徑向尺寸的均值作為半徑的弧)所組成的輪廓封閉線的長度,作為提取圓周輪廓的周長。

局部圓周輪廓長、面積確定方法如圖3所示。

圖3 局部圓周輪廓周長、面積確定方法示意圖ρij,ρi(j+1)—第i圓周輪廓上第j采樣點和第j+1采樣點與回轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)軸線上oi間的徑向尺寸;ΔPLij—第i圓周輪廓上第j采樣點和第j+1采樣點間直線距離;ΔPAij—第i圓周輪廓上以ρij和ρi(j+1)的均值為半徑ρaij的弧長;Δφ—兩相鄰采樣點間的夾角;ΔALij—所示三角形的面積;ΔAAij—圓弧與兩邊所圍的面積

已知ρij和ρi(j+1),ΔPLij和ΔALij的計算式為:

(4)

其中:

(5)

當(dāng)j=n時,j+1用1代替。

ΔPAij和ΔAAij的計算式為:

(6)

其中:

ρaij=(ρi(j+1)+ρij)/2

(7)

當(dāng)j=n時,j+1用1代替。

與式(4,6)相對應(yīng),第i圓周輪廓的周長和面積均有2種方式確定,如下式所示:

(8)

式中:m—被測圓柱體的圓周輪廓數(shù)。

由式(8)可得到第1～m個圓周輪廓的面積,則被測圓柱體的體積也有2種方式確定,如下式所示:

(9)

式中:Δz—兩相鄰圓周輪廓的軸向距離,mm。

依據(jù)圓錐臺的體積計算公式,圓柱體體積的另一種計算公式如下式所示:

(10)

2.2 周長直徑、面積直徑、體積直徑的確定

圓周輪廓的周長、面積和圓柱體體積確定后,依據(jù)其與直徑的關(guān)系式,圓周輪廓的周長直徑為:

(11)

式中:dPLi,dPAi—由基于直線和圓弧連接方式的圓周輪廓周長計算得到的周長直徑,mm。

圓周輪廓的面積直徑為:

(12)

式中:dALi,dAAi—由基于直線和圓弧連接方式的圓周輪廓面積計算得到的面積直徑,mm。

被測圓柱體的體積直徑為:

(13)

式中:dLV,dAV—由基于直線和圓弧連接方式的圓柱體體積計算得到的體積直徑,mm;Δz—相鄰兩圓周輪廓的軸向間距,mm;k—兩種不同體積計算方式參數(shù),k=1,2分別表示由式(9,10)計算得到的體積;m—被測圓柱體的圓周輪廓數(shù)。

3 采樣點數(shù)對評定結(jié)果的影響

3.1 對圓周和橢圓輪廓周長、面積的影響

對于圓周理想輪廓和橢圓理想輪廓,筆者均采用等角度間隔Δφ采樣,其理想輪廓和替代輪廓示意圖如圖4所示。

圖4 理想輪廓與替代輪廓示意圖

為了研究采樣點數(shù)對圓周輪廓和橢圓輪廓周長、面積計算結(jié)果的影響,筆者將采樣點數(shù)n設(shè)置為1 000,2 000,3 000,4 500,6 000,9 000,18 000這7種情形,在不同采樣點下,按式(8)計算得到圓周和橢圓替代輪廓的周長和面積。圓周的公稱直徑和橢圓長軸公稱軸長依據(jù)參考文獻(xiàn)[15]公差表中的尺寸段設(shè)置,即,6 mm,10 mm,18 mm,30 mm,50 mm,80 mm,120 mm,180 mm,250 mm,315 mm,400 mm,500 mm,630 mm,800 mm,1 000 mm,1 250 mm,1 600 mm,2 000 mm,2 500 mm和3 150 mm;橢圓的短半軸長與長半軸長之比設(shè)置為0.85。

依據(jù)上述參數(shù)設(shè)置,筆者由式(8)計算替代輪廓的周長,并計算其與理想輪廓的周長的差,結(jié)果如圖5所示。

圖5 圓周直徑(橢圓長軸長)、采樣點數(shù)與周長偏差之間的關(guān)系

由式(8)再計算替代輪廓的面積,計算其與理想輪廓的面積的差,結(jié)果如圖6所示。

圖6 圓周直徑(橢圓長軸長)、采樣點數(shù)與面積偏差之間的關(guān)系

由圖(5，6)可以看出:在采樣點數(shù)相同的情況下,公稱直徑越大,折線表征的圓周(或橢圓)輪廓的周長(或面積)與理想圓周(或橢圓)輪廓的周長(或面積)間的差就越大;當(dāng)采用弧線表征橢圓輪廓時,弧線表征的橢圓輪廓的周長(或面積)與理想橢圓輪廓的周長(或面積)間的差的量值非常小。

同樣,由圖3(b)也可以看出:當(dāng)兩相鄰采樣點間的夾角Δφ較小時,用圓弧弧長ΔPAij代替橢圓弧長ΔPEij,兩者相差非常小;另一方面,由Δφ和ρaij形成的圓弧面積和由Δφ與ρij、ρi(j+1)所形成的橢圓弧面積相比,其面積增加了ΔA+ij,同時也減少了面積ΔA-ij,增加和減少的面積相差較小,因此,圓弧面積與橢圓弧面積相差也比較小。

3.2 對周長直徑、面積直徑和體積直徑的影響

由上述分析可知,當(dāng)用替代輪廓表征理想輪廓時,表征輪廓與理想輪廓的周長和面積具有一定的偏差。

對于某一公稱直徑的圓周輪廓和橢圓半軸長的橢圓輪廓,當(dāng)采樣點數(shù)達(dá)到一定要求,以及替代輪廓與理想輪廓的周長和面積偏差小到其測量精度要求時,這種偏差可以忽略不計,可以用式(11～13)分別計算其周長直徑、面積直徑和體積直徑。

由圖5(a)和圖6(a)所示圓周輪廓的周長和面積偏差,可得到采樣點數(shù)、圓周直徑與(折線表征)圓周輪廓周長直徑偏差和面積直徑偏差的關(guān)系,如圖7所示。

圖7 圓周直徑、采樣點數(shù)與直徑偏差之間的關(guān)系——折線表征輪廓

因圖5(b,c)和圖6(b,c)均是基于橢圓的,無法與直徑偏差比較,但從采樣點數(shù)、公稱直徑長(或半軸長)對其周長偏差和面積偏差的影響可知,折線表征橢圓輪廓與圓周輪廓所產(chǎn)生的周長和面積偏差基本上是相同的。

而用弧線表征橢圓輪廓時,由于其周長、面積偏差均較小,因此,采用弧線表征的輪廓,采樣點數(shù)對其周長直徑和面積直徑的影響不敏感。

根據(jù)體積直徑的評定模型可知,采樣點數(shù)對體積直徑的影響與對面積直徑的影響基本相同。

4 實驗與結(jié)果分析

4.1 實驗

4.1.1 徑向尺寸系統(tǒng)誤差的確定

筆者使用Talyrond 585LT圓柱度儀對標(biāo)準(zhǔn)柱進行了圓周輪廓的提取,提取的圓周輪廓如圖8所示。

圖8 標(biāo)準(zhǔn)柱圓周輪廓及其最小二乘圓

此處采用的Talyrond 585LT圓柱度儀如圖9所示。

圖9 實驗裝置圖

其中,標(biāo)準(zhǔn)柱的精密測量直徑為60.897 2 mm,圓周的采樣點數(shù)為18 000,圓周輪廓圖的局部放大倍數(shù)為5 000。

在該次實驗檢測中,圓周輪廓的最小二乘圓的x和y的圓心坐標(biāo)分別為0.000 1 mm和-0.000 03 mm;徑向尺寸的系統(tǒng)誤差sy=55.989 2 mm。

4.1.2 試樣規(guī)格及其輪廓提取時的參數(shù)設(shè)置

筆者使用圓柱度儀對一個試樣的圓柱體要素進行圓周輪廓提取,試樣的規(guī)格及其輪廓提取時的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 試樣規(guī)格及其輪廓提取時的設(shè)置參數(shù)

fcut—采樣截止頻率;upr—每周波數(shù),undulations per revolution

依據(jù)表1中的輪廓提取參數(shù),筆者對試樣的圓柱體要素進行了輪廓提取,并由式(3)對提取的輪廓要素的徑向尺寸進行消除系統(tǒng)誤差處理。

消除系統(tǒng)誤差,并經(jīng)局部放大后的提取輪廓如圖10所示。

圖10 試樣的提取輪廓

試樣的第1、15和30圓周的輪廓如圖11所示。

圖11 試樣的3個圓周輪廓

圖(10，11)中的局部放大倍數(shù)為2 000,采樣點數(shù)n=1 000。

在18 000采樣點的輪廓中,每隔18個點選取1點,即可得到采樣點為1 000的提取輪廓。

4.1.3 計算尺寸評定

依據(jù)式(1～13),筆者編制了計算尺寸評定程序。

為了研究采樣點數(shù)對計算尺寸的影響,筆者針對采樣點數(shù)為1 000,2 000,3 000,4 500,6 000,9 000和18 000的試樣提取輪廓,分別進行了計算尺寸評定。對采樣點數(shù)為18 000時提取的圓周輪廓分別按每隔18,9,6,4,3,2選取1點,即可得到各個采樣點的提取輪廓。

該試樣7種采樣點數(shù)的提取輪廓的計算尺寸評定結(jié)果,如圖12所示。

4.2 結(jié)果分析

由圖12可以看出:用折線表征被測試樣的圓周輪廓時,隨著采樣點數(shù)的增加,采樣點數(shù)對周長直徑、體積直徑評定結(jié)果的影響逐漸減小,與其相比,采樣點數(shù)對面積直徑評定結(jié)果的影響相對較小;用弧線表征被測試樣的圓周輪廓時,采樣點數(shù)對周長直徑、面積直徑和體積直徑評定結(jié)果的影響均非常小。

圖12 7種采樣點數(shù)下圓周輪廓的計算尺寸

由此可見,上述實驗結(jié)果與理論分析結(jié)果比較一致。

在相同采樣點情況下,為了比較不同計算公式確定的周長直徑和面積直徑,筆者計算出了采樣點數(shù)分別為1 000,3 000,6 000,18 000時試樣30個圓周輪廓的周長直徑和面積直徑,如圖13所示。

圖13 試樣的周長直徑和面積直徑

由圖13可以看出:在采樣點數(shù)相同的情況下,由折線表征輪廓得到的周長直徑dPL值偏小(若輪廓不濾波,輪廓波動較大的情況下,周長直徑也可能偏大),但由折線表征輪廓得到的面積直徑dAL值和由弧線表征輪廓得到的周長直徑dPA值,和面積直徑dAA值間相差較小,可見采樣點數(shù)對折線表征輪廓得到的周長直徑dPL值影響較大。

5 結(jié)束語

針對在進行圓柱體計算尺寸評定時采樣點數(shù)選取的問題,筆者提出了一種基于折線和弧線表征圓周輪廓的方法,分別建立了其周長和面積評定模型。

筆者對表征輪廓的周長、面積與其相應(yīng)理論值間的差進行了理論計算,對采樣點數(shù)對周長、面積和體積及其直徑評定結(jié)果的影響進行了分析;用7種采樣點數(shù)對圓柱體試樣進行了圓周輪廓提取,基于所建立的計算尺寸評定模型,對試樣的周長直徑、面積直徑和體積直徑進行了評定;依據(jù)理論計算和實驗,較系統(tǒng)地研究了采樣點數(shù)對圓柱體計算尺寸的影響。

研究結(jié)論如下：

(1)用折線表征圓周輪廓時,采樣點數(shù)對圓柱體周長直徑、體積直徑的評定結(jié)果影響較大,隨著采樣點數(shù)的增加,其對周長直徑評定結(jié)果的影響逐漸減小;與其相比,采樣點數(shù)對面積直徑評定結(jié)果的影響相對較小;

(2)用弧線表征圓周輪廓時,采樣點數(shù)對圓柱體計算尺寸評定結(jié)果的影響均非常小。

在之后的研究過程中,筆者將對圓柱體其他的幾種線性尺寸進行研究,以期通過建立評定模型,研究采樣點數(shù)對其評定結(jié)果的影響。