基于數學單元的整體教學探索與實踐：問題驅動的視角①

王海青 吳有昌

(1.惠州學院數學與統(tǒng)計學院 516007；2.廣東省教育科學研究院 510035)

1 研究的背景與理論依據

正如康德的觀點：“知識在本質上是一個整體，正確使用人的理性可以指導主體將支離破碎的、不完整的知識統(tǒng)整上升到更高原則的整體知識．”[1]隨著基礎教育課程改革的推進，強調知識的整體性和單元整體作用的教學觀愈加受到重視．“單元設計不僅僅是對知識點與技能訓練的課時安排及單元重難點知識的分析”[2]，教師應該學會有機地、模塊化地處理教學內容進行“單元設計”，它是“撬動課堂轉型的一個支點”[3]．以單元為主體進行整體教學設計，可以解決由“課時主義”造成的教學內容碎片化、知識技能訓練過度化等問題，“整體化有序設計單元教學”[4]還可以改變重細節(jié)輕整體的教學思維．整體教學理論強調遵循“整體→部分→整體”[5-8]的步驟開展單元教學，重視單元整體的功能與作用，突出單元與具體課時之間的融會貫通．它要求對任何一門學科的教學,應使學生不僅要理解各部分的內容,而且要理解各部分內容間的關系；不僅要掌握該學科知識間的內在聯(lián)系，而且要掌握該學科與相鄰學科的外在聯(lián)系．

近年來，關于單元教學設計或整體教學設計的研究與實踐日趨增多[2-4，9]．由于基礎教育教材編寫遵循“螺旋式上升”原則以及知識結構的整體性特征，以單元為主體強調學習內容相互聯(lián)系的整體教學設計是提升課堂教學質量的有效選擇．基礎教育各學科課程標準也特別強調教材與教學內容的整體實現，如《全日制義務教育數學課程標準(2011版)》[10]與《普通高中數學課程標準(2017版)》[11]在“實施建議”中指出“教材編寫應體現整體性”，注重教材的整體結構與內容間的有機銜接；教學活動要整體把握教學內容，注重課程目標的整體實現．同時數學教學也具有自身的學科特性．美國數學家Halmos曾直言：問題是數學的心臟，學習數學唯一的方法就是做數學．基礎教育數學課程標準倡導“從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境”[10]，“教學活動應該把握數學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數學問題……教學情境包括：現實情境、數學情境、科學情境”[11]．這也凸顯了問題與情境對數學教學的重要性，教師需通過問題與情境引導學生經歷知識的生成過程、揭示數學的本質并學會思考．

科學研究始于問題，問題是促進學科發(fā)展的原始動力．數學也不例外，美國數學史家M. Kline就曾指出“每一個數學分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的”[12]．因此，合乎情理和邏輯的數學教學也應圍繞問題展開，以問題驅動教學讓學生在經歷數學發(fā)現的過程中揭示數學思想、生成“形式化”的數學概念與原理，并“教學生學會思考”[13]．《問題驅動的中學數學課堂教學·理論與實踐卷》[14]則系統(tǒng)地探討了問題驅動教學理論以及相應的教學案例分析．那么，怎樣的問題才是適當的？初等數學中的概念或原理的形成大都源于現實生活問題或是數學內部的問題，只要是“具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數學本質、能夠在教學中起統(tǒng)帥作用的”[15]問題都是好問題．這也就要求教師需依據對歷史和數學學科結構的整體理解挖掘知識產生的背景與價值，再結合學生的實際創(chuàng)設真實有效的問題及相應的情境．

可見，就數學教學而言，適當的問題與情境是實現數學單元整體教學設計的重要支點，以數學單元為主體的整體教學設計需重視問題驅動課堂的教學方式，整體教學觀與問題驅動理論是指導數學單元教學設計的重要理論依據．教師需根據數學的歷史發(fā)展脈絡與學科架構，發(fā)現知識產生的本原性問題、挖掘教學內容的價值與揭示學習內容相互之間的聯(lián)系，然后依據學生的現實創(chuàng)設合適的問題與情境以問題驅動教學，教給學生豐富的充滿聯(lián)系的整體知識結構，并促進學習的遷移．以單元為單位圍繞核心數學問題展開整體教學設計，有助于實現教學內容在學科內部的融合與學科間的整合，有助于實現抽象知識與具體現實的有效連接，有助于實現既面向全體又考慮差異的彈性教學．

2 中學數學單元的知識結構

準確剖析中學數學單元的整體結構，涉及到對數學的知識結構、教學結構和認知結構三個概念的辨析，三者之間既有密切聯(lián)系又有嚴格區(qū)別．數學的知識結構就是教材內容的邏輯結構；認知結構就是經過學生主觀改造后頭腦里獲得的知識結構．[16]而教學結構是教師基于對教材邏輯結構和學生的數學現實形成的教學內容設計與組織形式，它是實現由知識結構向認知結構轉化的橋梁．數學教學的目的之一是幫助學生形成可利用的、可辨別的和穩(wěn)定的認知結構[17]以促進學習的遷移．即要求教師在教學中應使知識間盡可能多地建立相互聯(lián)系，且新知識的學習應在原有的基礎上建立意義聯(lián)系，使之有機嵌入已有的知識體系并得以保持．顯然，良好認知結構的形成有賴于教師對數學知識結構的整體認知以組織合理的教學結構．

為便于討論，下面以“平面向量”單元為例，剖析單元知識結構及其對具體教學的指導作用．

2.1 中學數學單元知識結構的四個層次

中學數學單元的知識結構可從宏觀到微觀四個層次進行剖析，即：數學學科內部之間及其與相鄰學科的聯(lián)系、高等數學與初等數學的聯(lián)系、中學數學單元之間的聯(lián)系、單元內部各個課時之間的聯(lián)系．

2.1.1 數學學科內部之間及其與相鄰學科的聯(lián)系

數學的概念、原理或規(guī)則大都是為解決某個實際問題而慢慢形成，有些則演變?yōu)橐粋€數學分支．它們的起源與物理、天文、軍事和經濟生活等密切相關，所以數學與其它學科及數學內部之間的聯(lián)系形成了一個宏觀的整體結構．M. Kline認為“數學史是教學的指南”，它記載著數學思想的形成過程．因此，數學史有助于認識這一宏觀的知識結構，由此深入理解相關內容產生的背景及應用價值，明確教學內容的重要性．

向量是一個可以表示力、速度或加速度的大小和方向的有向線段的概念．向量的概念及平行四邊形運算法則，早在亞里士多德時期就已經知道．1830年左右德國數學家Gauss指出復數能用來表示平面上的向量，于是復數就提供了表示向量及其運算的一個代數形式．復數的加法與減法就表示向量的加法與減法，定量的代數形式運算代替了平行四邊形法則或三角形法則的定性幾何描述，大大簡化了向量的計算．復數的加法和乘法運算可以表示平面上物體的平移、旋轉和伸縮運動，這給物理研究帶來極大的便利，也是復數最終被廣泛接受的直接原因．代數上為了處理空間中的物體運動需要一個復數的三維類似物，愛爾蘭的數學與物理學家Hamilton于1843年在復數的基礎上發(fā)明了四元數，并試圖將之系統(tǒng)化應用于數學和物理學科．

四元數因為脫離了空間直角坐標系而受到物理學家的忽視，也未像復數那樣應用廣泛．人們評價四元數的發(fā)現是“愛爾蘭的悲劇”[18-19]，但它的發(fā)明間接推動了向量代數和向量分析的建立．四元數啟發(fā)物理學家Gibbs和Heaviside提出了三維向量的概念并定義了數量積和向量積兩類乘法，它們都有直接的物理背景，可以表示空間中物體的運動情況．比如，向量的數量積運算的物理意義[20]為：如圖1，設v1是一個方向和大小由O到P1的線段表示的力，則這個力推動O點的物體在OP方向上的作用(OP代表向量v)是OP1在OP上的投影OP1·cos∠P1OP．當OP是單位長度時，OP1的投影正好是乘積v·v1的值．

圖1 向量數量積的物理意義

數學史展現了向量與數學及物理學科間的脈絡關系，相應的知識結構如圖2．

圖2 向量與數學及物理學科的聯(lián)系

2.1.2 高等數學與初等數學的聯(lián)系

事實上，初等數學的許多知識是高等數學的特殊情形，而高等數學則是初等數學的進一步延伸和一般化，它們之間在數學內部構成了有機整體．德國數學家F. Klein認為，只有觀點高了，事物才顯得明了而簡單．[21]許多初等數學現象的本質只有在非初等的理論結構內才能被清晰地揭示．高觀點的數學思想對初等數學教學具有高屋建瓴的指導作用，教師能從更高的視角審視初等數學知識的整體架構，有助于整體設計教學和對問題的變式與引申．

結合圖2和中學數學教材內容可描繪出以“向量”為紐帶的高等數學與初等數學之間的關系脈絡，如圖3．可見，線性代數與空間解析幾何的許多結論特殊化后就是平面與空間向量的性質定理，體現了“一般與特殊”的數學思想．為便于后面的說明，這里給出“n維向量”的部分知識結構圖，如圖4．

圖3 向量與高等數學之間的聯(lián)系

圖4 n維向量的部分知識結構圖

2.1.3 中學數學單元之間的聯(lián)系

數學學科內部之間的聯(lián)系有助于建立中學數學各單元間的聯(lián)系．中學數學的內容涉及數學學科的許多重要分支，這些分支在初等數學的框架下構成相互聯(lián)系的整體結構．如代數、幾何與三角之間通過坐標系建立起密切聯(lián)系，向量也成為溝通幾何、代數與三角函數的橋梁．其中蘊含著數與形、類比、轉化與化歸、函數與方程等重要的數學思想．“平面向量”與中學數學其它單元的聯(lián)系如圖5．

圖5 平面向量與中學數學其它單元之間的聯(lián)系

2.1.4 單元內部各個課時之間的聯(lián)系

數學教材每個單元內部各個課時的內容相互聯(lián)系構成一個整體，是教師和學生最為熟悉的一個知識結構．這里整體表現為一個單元，部分則是具體的課時內容．備課時教師通常以單元為整體思考知識產生的背景、知識點間的關系、分析教學目標和重難點，在此基礎上分配課時內容并選擇適當的教學方法進行教學設計．“平面向量”單元知識結構如圖6．

圖6 平面向量單元知識結構圖

2.2 四個層次知識結構的相互關系與功能

整體由部分構成，部分依附于整體．要深刻理解部分，需對整體有完善的認知；要掌握整體，則需了解部分與部分之間的有機聯(lián)系．各個課時內容是最細微的部分，每個單元是最小的整體．單元作為部分構成中學數學的整體知識結構，中學數學作為部分與高等數學在數學內部構成有機整體，而數學學科分支與其它學科間的互動聯(lián)系形成一個更寬廣的整體．

對數學知識結構的剖析有利于理清知識的本原及相互間的聯(lián)系．就功能而言，四個層次的知識結構都是為了服務最細微的部分——具體課時的教學．前兩個層次即數學學科內部之間及其與相鄰學科的聯(lián)系、高等數學與初等數學的聯(lián)系能揭示數學知識產生的本質問題與其重要價值，解決了“為什么教”的困惑，也部分回答了“如何教”，能從宏觀上指導教師的教學．中學數學單元之間的聯(lián)系、單元內部各個課時之間的聯(lián)系這兩個層次則是要通過教學呈現給學生并使之掌握的知識結構．從表現形式看，后兩個層次的知識結構能在教材中體現出來，可稱之為外顯的結構．前兩個層次的知識結構則可稱為內隱的結構，它無法通過教材直接獲得，需要教師對數學學科有整體的理解和認識，是教師個人數學專業(yè)素養(yǎng)的有力體現．教師對內隱結構的把握直接影響著對外顯結構和具體知識的理解，進而影響教學設計．

3 基于問題驅動的中學數學單元整體教學設計模式

根據對數學學科特點的把握和中學數學單元結構的分析，教師只有圍繞數學史、數學教材內容、教學目標、學生的數學現實四個方面整體理解單元內容，才能真正實現中學數學單元的整體教學設計，做到以問題驅動教學．強調問題驅動的中學數學單元教學更多地關注教師對教學內容的本質剖析，而不僅僅是停留在教學法層面的教學組織．它或多或少可以改變在基礎教育數學課程改革中產生的“有時候過多地強調了教學法，對教學內容有關注不夠的地方”[22]的現象．結合整體教學法遵循的教學步驟，可以構建出具有學科特點的問題驅動中學數學單元的整體教學設計模式，基本框架如圖7[23]．

圖7 基于問題驅動的中學數學單元整體教學設計模式

要落實基于問題驅動的中學數學單元整體教學設計模式，教師須從數學史與教材內容兩方面剖析教學內容，以整體把握數學知識的產生過程與內在聯(lián)系、數學規(guī)律的形成與思想方法的提煉過程．進而從教學目標和學生的數學現實兩個方面組織單元內容和實施具體課時教學，主要按以下三個步驟組織和呈現單元教學設計．

第一步，單元起始課的教學設計．在具體講授新課之前通過開篇課對單元作整體性的介紹，讓學生對將要學習的內容有大致了解．這恰是美國數學教育家Ausubel所提倡的“先行組織者”教學策略，其核心是指在學生正式學習新知識前，介紹他們熟悉的、要比新知識本身具有更高的抽象、概括和綜合水平的，并且能使學生原有的認知結構與新知識相關聯(lián)的引導性材料，為新舊知識的連接做準備．[17]因此，單元起始課主要介紹單元知識產生的背景、應用與價值，它們與舊知的聯(lián)系等．目的是為新的學習內容提供觀念上的固著點以促進學生的學習，也為后面具體教學的問題情境創(chuàng)設提供預設和鋪墊．起始課也能化解學生“為什么要學”的困惑，在情感上獲得意義學習的心向．

第二步，具體課時的教學設計．數學本身就是由許許多多的問題及其解決過程構成，以“問題驅動教學”的方式有利于激發(fā)學生的探索精神并獲得相應的數學思想方法．數學史強調知識產生的背景、關注問題出現的序列及重視數學思想的形成過程，能為問題情境創(chuàng)設提供幫助．比如“向量的數量積”不同于學生之前所掌握的乘法意義，可以結合它的物理意義來引入新課，幫助學生直觀理解．此外，從高等數學的框架下解讀初等數學知識，有助于對具體教學內容的深刻認識和直觀理解，有效突破重點和化解難點．

比如，“平面向量基本定理”的內容為：“如果e1,e2是平面內不共線的兩個向量,那么對于這個平面內的任一向量α,有且只有一對實數λ1,λ2，使得α=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1,e2叫做這一平面內所有向量的一組基底．”這種高度抽象和形式化的數學語言使學生難以從本質上真正理解定理．結合圖4從n維向量的知識體系看，“平面內不共線的兩個向量”表明e1,e2是二維向量空間的一個極大線性無關組，即為一組基．n維向量空間的任一向量都能由它的一組基線性表出，且表示法唯一．當n=2時就表述為“平面向量基本定理”的內容．

顯然，基相當于一組“代表”，起到坐標系的作用，其它的向量由這組“代表”線性刻畫實現定量研究．所以，“平面向量基本定理”將平面中看似繁雜無章的向量及其相互關系變得簡潔有序，化繁為簡實現定量計算；對無窮多平面向量的研究轉為對有限部分的討論，實現了無限向有限的轉化．[24]這恰是定理的重要價值．在了解定理重要性的基礎上利用平行四邊形法則或三角形法則能使學生直觀理解向量α的“任意性”、實數λ1,λ2的“存在性”與“唯一性”及e1,e2的“不唯一性”問題，利用“數形結合”化解教學難點．平面內基底的選擇不唯一，為便于計算通常選取與平面直角坐標系對應的一組基．這自然為下一節(jié)內容“平面向量的正交分解及坐標表示”的教學埋下伏筆．由此可以給出“平面向量基本定理”的教學流程圖，如圖8．

圖8 “平面向量基本定理”課時教學流程

第三步，復習課的教學設計．一個單元講授完畢，復習課教學的作用不可小覷．教師在引導學生回顧具體知識時應特別強調相互間的聯(lián)系和相應的數學思想方法，最終也形成一個與開篇課中相似的整體知識網絡圖．但此時的圖不再是一個大致的、模糊不清的框架，而是具體的、部分間相互聯(lián)系的、有血有肉的網絡圖．復習課中的拓展訓練則是為了培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力和發(fā)散思維能力，同時也為學有余力的學生提供深入學習的方向，學會“數學地”思考．如若教師了解數學知識與其它學科、高等數學與初等數學及其單元知識之間的聯(lián)系，自然能基于教材對問題進行恰當的變式引申，對綜合題的編制與拿捏也成竹在胸、游刃有余．

4 整體把握數學單元知識結構的困難與對策

我國傳統(tǒng)的中學數學課堂教學有許多亮點．比如，著重于對具體教學內容的剖析，關注課堂的教學模式及強調對課堂組織、提問、語言表達等的細致探察．但少有對數學教材內容作整體考量．這會導致學生獲得的知識“碎片化”，造成“只見樹木不見森林”的缺陷，以致缺乏綜合運用知識處理問題的能力．教師的專業(yè)知識結構也會偏重于學科教學知識，而忽視學科內容知識的重要性．基于問題驅動的中學數學單元整體教學設計強調數學內部及學科間的相互聯(lián)系，使數學知識形成緊密的整體結構，讓學生能“既見樹木又見森林”并運用知識解決實際問題．此外，問題驅動數學教學就是結合學生的實際對教學內容再創(chuàng)造，創(chuàng)設真實有效的問題情境驅動教學，注重數學的本質探求和知識的直觀解釋，有助于學生體驗“做數學”和“發(fā)現數學”過程．

“單元教學的核心思想是系統(tǒng)思維”[25]，教師需對數學知識結構及其本質有深刻的認識，從整體視角剖析單元內容研究單元目標與任務，才能實現以問題驅動教學促成學生對數學的整體認知并實現學習的正遷移．但要基于數學單元整體設計并創(chuàng)設適當的“問題”驅動教學，對教師也提出了很高的要求，需從宏觀到微觀四個層次對單元知識結構進行解構．掌握內隱的知識結構能更好地揭示數學知識背后的問題起源及價值，以便更深入理解中學數學單元之間的聯(lián)系、單元內部各個課時之間的聯(lián)系這兩個外顯的知識結構．而要整體理解和把握數學學科內部之間及其與相鄰學科的聯(lián)系、高等數學與初等數學的聯(lián)系這兩個內隱的宏觀知識結構，對中學數學教師來說有一定的困難和挑戰(zhàn)．這需要教師具備較豐富的數學史知識，對數學學科的整體架構包括高等數學知識與學科分支有一定的了解．在把握數學單元知識結構的基礎上，教師還應具有將數學史中知識的原始形態(tài)和數學教材中知識的學術形態(tài)轉化為學生容易接受的教育形態(tài)的能力，才能創(chuàng)設適當的問題與情境驅動數學教學．為突破對中學數學單元知識結構四個層面的理解困難，更準確地整體把握數學單元內容及其教育形態(tài)進行有效的教學設計，教師可從以下四個方面加強思考．

第一，掌握一定程度的數學學科整體結構以及一定量的數學史知識和高等數學知識．教師所需的與學生所要掌握的整體知識結構不完全相同．正如F. Klein所言，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導學生繞過懸?guī)r，渡過險灘．[18]數學教師既要掌握外顯的知識結構，更要具備前兩個宏觀的內隱知識結構，才能從更高的視角直觀理解教學內容和把握數學的思想方法．倘若教師也僅囿于對中學數學單元之間的聯(lián)系與單元內部各個課時之間的聯(lián)系這兩個層次知識結構的思考，教學就很難揭示數學的本質．數學史知識和高等數學觀念有助于教師了解數學的整體架構和揭示本質，深刻理解教學內容的地位、作用和價值．第二，整體把握中學數學教學內容與目標．教師要熟悉不同學段數學教科書的內容分布，從課程標準的總體目標確定具體課時目標．并要思考如何通過短期的課時目標實現長遠的課程目標，以真正發(fā)展和養(yǎng)成學生的數學核心素養(yǎng)．第三，恰當把握學生的數學現實．新知在舊知的基礎上生成，并將成為后面新知的鋪墊．只有了解學生已有的生活經驗與數學基礎才能判斷創(chuàng)設的問題與情境是否有效以及“數學化”的過程是否恰當，才能實現有效乃至高效教學．第四，恰當使用教材．教材的編寫立足于中國全部地區(qū)全體學生的共同需要，考慮學生和教學環(huán)境的共性．而教師面對的是不同地區(qū)不同學生的情況，更要重視其特性．所以，對于教材的使用應堅持“‘用好教材’，而不是‘按教材去教’”[26]的原則，結合學生實際“再創(chuàng)造”教材，對教學內容問題化，以問題驅動教學．