數(shù)還是一個“點”嗎？

朱昭偉 林志輝

［摘 要］數(shù)源于數(shù)，準確數(shù)的教學使學生建立“數(shù)對應數(shù)直線上一個點”的認知，而近似數(shù)的教學則打破了“數(shù)對應數(shù)直線上一個點”的認知，使學生認識到近似數(shù)表示一個區(qū)間內的所有數(shù)，是一次“由點到線”的數(shù)的概念的認知突破。文章結合“小數(shù)的近似數(shù)”教學實踐，通過緣起、實錄、反思三部分，闡述如何帶領學生在多元表征互譯中實現(xiàn)“由點到線”的數(shù)的概念的認知突破，進而全面理解近似數(shù)的意義，發(fā)展數(shù)感。

［關鍵詞］小數(shù)；近似數(shù)；數(shù)直線

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）32-0066-03

一、緣起

在學習近似數(shù)之前，學生對數(shù)的認識都對應著一個具體的物象，即數(shù)在數(shù)直線上對應一個具體的點。近似數(shù)表示一個區(qū)間范圍內的所有數(shù)，在數(shù)直線上它對應的不是一個點，而是一條線段。在“小數(shù)的近似數(shù)”之前，教材安排了近似數(shù)的初步認識、整數(shù)近似數(shù)等內容（首次提出用“四舍五入”法求近似數(shù)）。教材在“小數(shù)的近似數(shù)”中創(chuàng)設身高情境，通過與原有認知的連接，以對話的方式介紹了求小數(shù)近似數(shù)方法的探索過程。

另外，筆者通過前測（見表1）發(fā)現(xiàn)：近似數(shù)這一概念對四年級的學生來說并不陌生，學生已有了用“四舍五入”法求整數(shù)近似數(shù)的經(jīng)驗，對近似數(shù)的意義有了一定的感悟。學生對求小數(shù)近似數(shù)的基本方法已不教而會，但對近似數(shù)1和1.0哪一個更精確卻無法理解。由此可見，學生在這里出現(xiàn)了一個思維上的斷層，也就是對近似數(shù)的意義缺乏深層次的理解。

那么，本節(jié)課如何帶領學生突破認知障礙，全面理解近似數(shù)的意義呢？筆者嘗試在多元表征互譯中實現(xiàn)“由點到線”的數(shù)的概念的認知突破，將教學目標確定為：（1）理解小數(shù)近似數(shù)的意義，會用“四舍五入”法求一個小數(shù)的近似數(shù)；（2）經(jīng)歷求小數(shù)近似數(shù)的探索過程，通過類比、推理、想象，發(fā)展學生的數(shù)感；（3）感受數(shù)學知識之間的聯(lián)系，收獲成功的體驗，提高學習興趣。

二、實錄

1.情境激活，遷移方法

（1）情境引入

師：猜一猜，老師的身高大約是 。若給你幾個選項，你選哪一個？

（課件出示選項：A.1米? ? B.2米? ? C.1.8米? ? D.1.7米）

生1：老師的身高大約是1.7米，也可能是1.8米。

生2：老師的身高大約是2米。

（課件出示條件：老師的實際身高是1.745米）

師：現(xiàn)在你肯定不會選哪個選項？

生3：我肯定不選“1米”，因為1米太矮了。

生4：我覺得2米、1.8米、1.7米都有可能。

（2）聚焦“2米”

師：為什么2米也可以？

生4：實際身高是1.745米，省略個位后面的尾數(shù)時要看十分位，“五入”后就是2米。

（板書：保留整數(shù) 1.745≈2）

（3）推廣方法

師：為什么1.7米、1.8米也可以？

生5：我覺得1.8米不可以，1.745保留一位小數(shù)時要看百分位，“四舍”后就是1.7，因此我認為可以是1.7米。

（板書：保留一位小數(shù)1.745≈1.7）

師：為什么1.745既可以約等于2，也可以約等于1.7？

生6：因為兩者保留的位數(shù)不一樣，如果保留整數(shù)，就看十分位，約等于2；如果保留一位小數(shù)，就看百分位，約等于1.7。

師：如果保留兩位小數(shù)、三位小數(shù)，更多數(shù)位呢？

生7：無論保留到哪一位，都要看它的下一位。

（4）小結

師：求小數(shù)的近似數(shù)和求整數(shù)的近似數(shù)一樣，即省略某一數(shù)位后面的尾數(shù)，要看那個數(shù)位的后一位。

【設計意圖】此環(huán)節(jié)緊抓學生的認知沖突點，圍繞新舊知識的連接點，厘清思維的模糊點。通過創(chuàng)設教師身高情境，以選擇題為牽引，在“猜一猜”“正向選”“反向選”等活動中充分激活學生已有的知識經(jīng)驗，進而聚焦“2米”的沖突，使學生順利將求整數(shù)的近似數(shù)的方法遷移到求一位小數(shù)的近似數(shù)活動中，再進行推廣、延伸，使學生認識求小數(shù)近似數(shù)的方法，同時順利將求小數(shù)、整數(shù)的近似數(shù)的方法相融合，實現(xiàn)正向遷移、方法同化。

2.以數(shù)助形，理解意義

（1）理解“近似數(shù)2”

①問題驅動

師：保留整數(shù)，約等于2的小數(shù)有哪些？請在數(shù)直線上表示出來。

②分層反饋

師（展示如圖1所示的作品）：猜猜看，1.5是怎么想到的？2.4又是怎么想到的？

生1：保留整數(shù)，要看十分位，2的左邊是“五入”，最小是1.5；2的右邊是“四舍”，最大是2.4。

師（展示如圖2所示的作品）：還可以是哪些小數(shù)？

生2：我覺得三位小數(shù)也可以，四位小數(shù)也可以，只要是在1.5和2.4999之間的小數(shù)都可以。

師：約等于2的小數(shù)在數(shù)直線上怎么表示？

生3：約等于2的小數(shù)要看十分位，最小是1.5，最大是2.49999…，也就是最大不超過2.5的小數(shù)。

師：最大不超過2.5我們可以用空心圈的方式來表示（適時教學不超過2.5在數(shù)直線上的表示方法）。

（2）對比“近似數(shù)2”和“準確數(shù)2”

師：近似數(shù)2和以前學過的準確數(shù)2有什么不一樣？

生4：準確數(shù)2是一個點，近似數(shù)2是從1.5到2.5（不包括2.5）范圍中的所有小數(shù)（如圖3）。

【設計意圖】本環(huán)節(jié)作為本課的課眼，以關鍵問題“保留整數(shù)，約等于2的小數(shù)有哪些？”為驅動，引題激趣后充分放手，讓學生自主思考、實踐和組內交流、全班反饋交流。多形式的思考、操作、觀察、交流等，使學生的學習在時間和空間上有了充分的保障。另外，通過多層次的作品反饋、對比交流、數(shù)形結合，讓學生經(jīng)歷“點—連續(xù)區(qū)間”這樣一個小數(shù)近似數(shù)意義理解的過程。繼而通過“近似數(shù)2”與“準確數(shù)2”的對比研究，數(shù)形結合，再次深化對近似數(shù)“從點到線”的認識。

3.數(shù)形結合，破難延伸

（1）突破“末尾0”難點

師：近似數(shù)是2.0，末尾的0能去掉嗎？

生1：我認為能去掉，根據(jù)小數(shù)的性質，小數(shù)末尾的0能省略。

生2：我認為不能去掉，去掉后就成了近似數(shù)2了，近似數(shù)2.0和近似數(shù)2的范圍不一樣。

師（出示圖4）：現(xiàn)在你覺得2.0末尾的0能去掉嗎？

（學生通過對比后認為不能去掉2.0末尾的0）

（2）想象延伸

師：想象一下，近似數(shù)2.000在數(shù)直線上是怎樣表示的？近似數(shù)2.0000…呢？

【設計意圖】“用小數(shù)表示近似數(shù)時，小數(shù)末尾的0不能去掉”這一知識始終是學生的認知難點。在本環(huán)節(jié)中，教師通過數(shù)形結合的方式，將近似數(shù)2、2.0、2.00進行多層次直觀對比，幫助學生順利破難。另外，在延伸環(huán)節(jié)讓學生想象近似數(shù)2.0000…如何表示，向學生滲透了極限思想。

三、反思

近似數(shù)表示一個區(qū)間范圍內的所有數(shù)，在數(shù)直線上是一段線。雖然課后學生及時做了大量練習，卻依然對“用小數(shù)表示近似數(shù)時，小數(shù)末尾的0不能去掉”存疑。那么，這節(jié)課是要學生掌握方法還是理解意義？筆者認為這節(jié)課的教學關鍵是讓學生深度理解小數(shù)近似數(shù)的意義。理通則法明，意義理解了，學生對求小數(shù)近似數(shù)的方法自然就清楚了，數(shù)感也隨之得到相應發(fā)展。

1.順勢遷移，正向豐富

學生已經(jīng)會了的不教，學生能自己學會的不教，教學要落在學生困惑迷思處，落在學生思維發(fā)展處。學生在之前的學習及生活中對近似數(shù)有著豐富的感性認識，前測也發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生對于求小數(shù)的近似數(shù)的方法已有一定了解，且對近似數(shù)的意義已有所感悟?；谶@樣的學情，教師在課始創(chuàng)設身高的情境，通過“猜身高”“正向選”“反向選”等活動激活學生已有的知識經(jīng)驗，順勢遷移，將求小數(shù)的近似數(shù)的方法很好地“嫁接”在求整數(shù)的近似數(shù)的方法上。同時，采用問題沖突的方式進一步明確方法，并進行推廣聯(lián)結，使求小數(shù)的近似數(shù)與求整數(shù)的近似數(shù)方法相融合，順利實現(xiàn)知識的同化，從而在正向上對近似數(shù)的意義進行豐富。

2.以數(shù)助形，逐步豐富

形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合是常用的教學策略。小學教學以形助數(shù)多見，而以數(shù)助形時常缺失。在本課中，從“1.745保留整數(shù)約等于2”引出“保留整數(shù)，約等于2的小數(shù)有哪些”，然后放手讓學生探索，最大限度保障學生的自主權。通過多層次展示學生數(shù)形皆備的作品，在數(shù)直線上從“10個一位小數(shù)”到“100個兩位小數(shù)”再到“最小1.5，最大不超過2.5范圍內的所有數(shù)”，重點引導學生從“要思考哪一位？”“最小是多少？”“最大不超過多少？”等關鍵處進行思考，助力小數(shù)意義的理解。

3.以形助數(shù)，再次豐富

數(shù)缺形時少直觀，以形助數(shù)能使教學更直觀。本課在多次問題沖突對比中借助形的直觀豐富學生對小數(shù)意義的理解。先是近似數(shù)2與準確數(shù)2的對比（一段線與一個點），清楚地讓學生感知兩者的區(qū)別。再是近似數(shù)1.7、1.8、2.0這些保留相同數(shù)位近似數(shù)的動態(tài)對比，使學生對小數(shù)近似數(shù)的意義有了更深的理解。還有近似數(shù)2、2.0、2.00這些不同數(shù)位近似數(shù)的直觀對比，幫助學生順利突破近似數(shù)“從點到線”的認知難點，再次深度理解“近似數(shù)是一條線”。

（責編 覃小慧）