非交換剩余格上的直覺模糊濾子

左衛(wèi)兵，宋金繁

（華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450046）

為了給不確定性信息處理理論提供可靠、 合理的邏輯基礎(chǔ)，許多學(xué)者研究了各種非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)。各種邏輯代數(shù)作為非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的語義系統(tǒng)， 也受到了廣泛關(guān)注，這些邏輯代數(shù)包括剩余格、MTL 代數(shù)、BL 代數(shù)、MV 代數(shù)和R0代數(shù)等，也包括諸如非交換剩余格、偽MTL 代數(shù)、偽BL 代數(shù)、偽MV 代數(shù)等它們的非交換推廣形式［1-5］。 在邏輯代數(shù)中，剩余格和非交換剩余格是最基本和重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)， 其他邏輯代數(shù)均是它們的特殊情況。

濾子理論在邏輯代數(shù)中起著非常重要的作用。 目前，人們已將諸如蘊涵濾子、奇異濾子、正則濾子和固執(zhí)濾子等一些特殊濾子引入非交換剩余格和其他邏輯代數(shù)，并獲得了許多重要的結(jié)果［6-12］。

K. T. Atanassov［13］給出直覺模糊集以后，直覺模糊集理論得到了迅速發(fā)展。 S. Boudaoud 等［14］研究了格上的直覺模糊濾子及其等價刻畫， 給出了主直覺模糊濾子。 M. A. Kologani 等［15］給出了Hoop 代數(shù)上的直覺模糊濾子，證明了所有直覺模糊濾子能構(gòu)成有界分配格。Z. A. Xue 等［16］將直覺模糊集引入BL 代數(shù)，研究了直覺模糊濾子的性質(zhì)。 S. Ghorbani［17］將直覺模糊集的概念應(yīng)用于剩余格，引入剩余格的直覺模糊濾子，并研究了它的一些相關(guān)性質(zhì)。 H.R. Zhang 等［18］在剩余格中定義了與文獻［17］不同的直覺模糊濾子，研究了剩余格上幾種直覺模糊濾子之間的關(guān)系。

在文獻［17-18］的基礎(chǔ)上，我們在非交換剩余格上定義了直覺模糊濾子， 給出了它們的基本性質(zhì)及幾種等價刻畫， 找到了由直覺模糊集生成直覺模糊濾子的方法， 證明了非交換剩余格上由全體直覺模糊濾子能構(gòu)成有界完備分配格。

1 預(yù)備知識

定義1［4］：設(shè)(L, ∧, ∨, ? ,→,0,1)是一個2,2,0,0)-型代數(shù)， 稱L 為非交換剩余格要求L 滿足以下條件：（1）(L, ∧, ∨,0,1)是一個有界格；（2）(L, ?,1)是非交換幺半群；（3）對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,且x?y≤z,有x≤y→z?y≤。

注1：在本文中，設(shè)定L為非交換剩余格。

性質(zhì)1［5］：設(shè)L是一個非交換剩余格，對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,有以下性質(zhì)成立：

1.x≤y?x→y= 1?xy=1;

2.(x→y)?x≤y,x?(xy)≤y;

3.若x≤y,則有x?z≤y?z,z?x≤z?y;

4.x→y≤ (y→z)(x→z),xy≤(yz)→ (xz);

5.z→ (x∧y) = (z→x) ∧ (z→y),z(x∧y)=(zx) ∧(zy);

6.x→(y→z) = (x?y)→z,x(yz)=(y?x)z。

定義2［5］：設(shè)F是L的一個非空子集，稱F為濾子要求F滿足以下條件：

（1）若x∈L,y∈L,x≤y,且x∈F,則有y∈F;

（2）如果x∈F,y∈F,則有x?y∈F。

定理1［5］：設(shè)F是L上的非空子集，則以下結(jié)論等價：

1.F是濾子；

2. 1∈F,對于任意的x∈L,y∈L,若x,x→y∈F,則有y∈F;

3. 1∈F,對于任意的x∈L,y∈L,若x,xy∈F,則有y∈F。

定義3［11］：μ:X→[0,1]是L上的模糊集，對于任意的x∈L,y∈L,稱μ為L的模糊濾子要求μ滿足以下條件：

（1）若x≤y,則有μ(x)≤μ(y);

（2）μ(x)∧μ(y)≤μ(x?y)。

定理2［12］：若μ是L上的模糊集，則以下結(jié)論等價：

1.μ是模糊濾子；

2. 對于任意的x∈L,y∈L,有μ(x)≤μ(1),μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y);

3. 對于任意的x∈L,y∈L,有μ(x)≤μ(1),μ(x)∧μ(xy)≤μ(y)。

定義4［11］：設(shè)X是一個非空集合，μ是非空集合X上的模糊集，對于任意的t∈[0,1]，定義μ的水平截集為(μ)t= {x∈L:μ(x) ≥t} 。

定理3［11］：L上的模糊集μ為模糊濾子的充要條件是對于任意的t∈[0,1],μ的水平截集(μ)t={x∈L:μ(x) ≥t}是L的濾子。

2 非交換剩余格上的直覺模糊濾子

定義5［13］：設(shè)X是非空集合，對于任意的x∈X,若映射A=(μA,νA):X→[0,1] ×[0,1]滿足0≤μ(x)+ν(x) ≤1,則稱映射A=(μ A,νA)是X上的一個直覺模糊集，其中映射μA:X→[0,1]和νA:X→[0,1]分別為x屬于A的隸屬度(μA(x))與非隸屬度(νA(x))。直覺模糊空集記為0～=(0x,1x),直覺模糊全集記為1～=(1x, 0x)，其中 0x和 1x分別表示常值為0 和1 的模糊子集。

定義6［13］：設(shè)X是非空集合，A=(μA,νA)和B=(μ B,νB)是L上的直覺模糊集。 對于任意的x∈X,y∈X,定義如下運算：

（1）A?B?μA(x)≤μB(x),νA(x)≥νB(x);

（2）A∩B=(μA∩B(x),νA∩B(x)) =(μA(x)∧μB(x),νA(x)∨νB(x));

（3）A∪B=(μA∪B(x),νA∪B(x)) =(μA(x)∨μB(x),νA(x)∧νB(x));

定義7：設(shè)A=(μ A,νA)是L上的直覺模糊集，若對于任意的t1∈[0,1],t2∈[0,1],且t1+t2≤1,(μA)t1和要么為空集，要么為L的濾子，則稱A是直覺模糊濾子，其中= 1?νA。

定義8： 設(shè)A=(μA,νA)是非交換剩余格L上的直覺模糊集，若A對于任意的x∈L,y∈L,有（1）μA(x)≤μA(1),νA(x)≥νA(1),（2）μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y),（3）μA(y)≥μA(x)∧μA(xy),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy),則稱A=(μA,νA)是L上的直覺模糊濾子。

定理4：定義7 與定義8 是等價的。

證明：證明由定義8 推出定義7。假設(shè)A是直覺模糊濾子，對于任意t1∈[0,1],t2∈[0,1],且t1+t2≤1,(μA)t1和要么為空集， 要么為L的濾子，則對于任意的x∈L,有x∈μAμ(x)和x∈,即μAμ(x)和是L的濾子。 由于1( )(),則有μA(x)≤μA(1),≤(1),即νA(x)≥νA(1)。

對于任意的x∈L,y∈L,設(shè)η=μA(x)∧μA(x→y),則有x,x→y∈(μA)η，故有y∈(μA)η,即μA(y)≥η=μA(x)∧μA(x→y)。同理可得μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)。

設(shè)γ=(x)∧(xy),則有x,xy∈()γ,故有y∈,因而(y)≥γ=(x)∧(xy),即νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。同理可得νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)。

證明由定義7 推出定義8。 假設(shè)對于任意t1∈[0,1],t2∈[0,1],t1+t2≤1,(μA)t1和不是空集，則存在x∈L,使得x∈(μA)t1和x∈。由t1≤μA(x)≤μA(1)和1?t2≤(x)≤(1)可得，1∈和1∈。假設(shè)x,x→y∈(μA)t1和x,x→y∈,則有μA(x)≥t1,μA(x→y)≥t1,和(x)≥ 1?t2,(x→y)≥ 1?t2。因此有μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y)≥t1,νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)≤t2,即(y)≥(x)∧(x→y) ≥ 1?t2。設(shè)x,xy∈(μA)t1和x,xy∈,則有μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)≥t1,(y)≥(x)∧(xy) ≥ 1?t2。因此，有y∈(μA)t1和y∈,故(μA)t1和是L 的濾子。

例1：設(shè)L1={0,a,b,c,1}是一個格，其中0≤a≤b≤c≤1。分別定義二元算子?、→和如下：

由文獻［10］可知L1是一個非交換剩余格。設(shè)A=(μA,νA)是L 上的直覺模糊集，其中μA(0) =0.1,μA(a)=μA(b) =0.2,μA(c) =0.4,μA(1) =0.85,νA(0)=0.8,νA(a)=νA(b) =0.7,νA(c) =0.45,νA(1) =0.1,可以驗證，A 是L1上的直覺模糊濾子。

定理5：若直覺模糊集A=(μA,νA)是L 上的直覺模糊濾子，則對于任意的x∈L,y∈L,有以下結(jié)論成立：

1.若x≤y,則有μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y)。

2.μA(x∧y)=μA(x)∧μA(y),νA(x∧y)=νA(x)∨νA(y)。

證明：證明第一個結(jié)論。 因為x≤y,所以有xy=1。由定義8 可得μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)=μA(x)∧μA(1)=μA(x),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)=νA(x)∨νA(1)=νA(x)。類似地，由x→y=1可推得μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y)。

證明第二個結(jié)論。 一方面，由x∧y≤x,x∧y≤y及第一個結(jié)論可得μA(x∧y)≤μA(x)∧μA(y),νA(x∧y)≥νA(x)∨νA(y)。另一方面，有μA(x∧y)≥μA(x→ (x∧y))∧μA(x)=μA((x→x)∧ (x→y))∧μA(x)=μA(x→y)∧μA(x)≥(μA(y(x→y))∧μA(y))∧μA(x)=μA(x)∧μA(y),又有νA(x∧y)≤νA(x→(x∧y))∨νA(x)=νA(x→y)∨νA(x)≤(νA(y(x→y))∨νA(y))∨νA(x)=νA(x)∨νA(y)。

綜合上述，有μA(x∧y)=μA(x)∧μA(y),νA(x∧y)=νA(x)∨νA(y)。

定理6： 直覺模糊集A=(μA,νA)為L 上直覺模糊濾子的充要條件是模糊集μA和為L 上的模糊濾子，其中= 1?νA。

證明：證明必要性。 因為A 是直覺模糊濾子，所以有μA(x)≤μA(1),μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),?(y)≥μA(x)∧μA(xy)。由定理2可知，模糊集是模糊濾子。對于任意的x∈L,y∈L,有(1)=1?νA(1) ≥ 1?νA(x)=(x),即(1)≥(x)。由于(y) = 1?νA(y) ≥ 1 ?(νA(x)∨νA(x→y)) = (1?νA(x))∧ (1?νA(x→y))=(x)∧(x→y),則有(y)≥(x)∧(x→y)。同理可得(y)≥(x)∧(xy)。由以上證明過程可知，模糊集是模糊濾子。

證明充分性。 設(shè)μA和是L 上的模糊濾子，則對于任意的x∈L,有μA(x)≤μA(1)。由(x)≤(1)可得1?νA(x) ≤ 1?νA(1),即νA(x)≥νA(1)。

因為對于任意的x∈L,y∈L,有μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),μA(y)≥μA(x)∧μA(xy),(y)≥(x)∧(x→y),所以有1?νA(y) ≥ (1?νA(x))∧(1?νA(x→y)) = 1?(νA(x)∨νA(x→y)),即νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)。用類似的方法，由(y)≥(x)∧(xy)可推出νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。因此由定義8 可知A 是L 上的直覺模糊濾子。

定理7：設(shè)A=(μA,νA)是L 上的直覺模糊集，A 為直覺模糊濾子的充分必要條件是A1=(μ A,)和為直覺模糊濾子，其中= 1?νA。

證明：證明必要性。 設(shè)A 是直覺模糊濾子，對于任意的x∈X,有0≤μA(x)+νA(x) ≤1。因為μ A+=1,+νA=1,所以A1和A2是直覺模糊集。 由于μA(x)≤μA(1),故有即

由于對于任意的x∈L,y∈L,有μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),故有(y) ≤ 1 ?(μA(x)∧μA(x→y))=(1?μA(x)) ∨ (1?μA(x→y))=(x)∨(x→y)。同理，由μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)可以推出(y)≤因此由定義8 可知是L上的直覺模糊濾子。 用同樣的方法可以證明A2=是L上的直覺模糊濾子。

證明充分性。 設(shè)A1和A2是L上的直覺模糊濾子，則由A1可知，對于任意的x∈L,y∈L,有(1)≥μxμy≥μx∧μx→yμy≥μ(x)∧μA(xy)。由A2可知，對于任意的x∈L,y∈L,有νA(1)≤νA(x),νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。因此，由定義8 可知直覺模糊集A=(μA,νA)是L上的直覺模糊濾子。

定理8：設(shè)F是L的非空子集，A=(μ A,νA)是L上的直覺模糊集，μA(x)和νA(x)分別為

其中，mi∈[0,1],ni∈[0,1],m0>m1,n1>n0,且有mi+ni≤ 1(i=0,1),則A為直覺模糊濾子的充分必要條件是F為濾子。

證明：因為A=(μA,νA)是直覺模糊集，所以有

其中：t1∈[0,1],t2∈[0,1],t1+t2≤1;mi∈[0,1],ni∈[0,1],且有m0>m1,n0

推論1： 設(shè)F是L的非空子集， 則F為濾子的充分條件是(χ χc)為L上的直覺模糊濾子。特別地，(χ{1},1?χ{1})是L上的直覺模糊濾子。

定理9： 設(shè)A=(μA,νA)是L上的一個直覺模糊集，則A為一個直覺模糊濾子的充分必要條件是對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,且當(dāng)x≤y→z或x≤yz時，有μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

證明：證明必要性。 設(shè)A是直覺模糊濾子，由定義8 可得μA(y→z)≥μA(x)∧μA(x(y→z)) ,νA(y→z)≤νA(x)∨νA(x(y→z))。對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,x≤y→z,有x(y→z) =1,則有μA(y→z)≥μA(x)∧μA(1)=μA(x),νA(y→z)≤νA(x)∨νA(1)=νA(x),則μA(z)≥μA(y)∧μA(y→z)≥μA(y)∧μA(x),νA(z)≤νA(y)∨νA(yz)≤νA(y)∨νA(x),即μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。同理，由x≤yz可得μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

證明充分性。 由于對于任意的x∈L，有x≤x→1和x≤x1,因而有μA(1)≥μA(x)∧μA(x)=μA(x),νA(1)≤νA(x)∨νA(x)=νA(x)。又由于對于任意的x∈L,y∈L,有x→y≤x→y,xy≤xy,因而有μA(y)≥μA(x→y)∧μA(x),νA(y)≤νA(x→y)∨νA(x)和μA(y)≥μA(xy)∧μA(x),νA(y)≤νA(xy)∨νA(x)成立。 綜合以上證明過程，由定義8 可知A為L上的直覺模糊濾子。

推論2： 設(shè)A=(μA,νA)是L上的一個直覺模糊集，則A為直覺模糊濾子的充分必要條件是對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x?y≤z或y?x≤z,則有μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

證明：對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x?y≤z或y?x≤z，則由性質(zhì)1 和定理9 即可得結(jié)論。

定理10：若A=(μA,νA)是L上的直覺模糊濾子，則有以下結(jié)論：

證明：由x→y≤ (y→z)(x→z),xy≤(yz) →(xz)可得(x→y)((y→z)(x→z))=1和(xy)→((yz) →(xz)) =1,再由定理9 即可得結(jié)論。

定理11： 設(shè)A=(μ A,νA)是L上的直覺模糊集，A為直覺模糊濾子的充分必要條件是對于任意的x∈L,y∈L,有以下條件成立:（1）若x≤y,則有μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y);（2）μA(x?y)≥μA(x)∧μA(y);（3）νA(x?y)≤νA(x)∨νA(y)。

證明：證明必要性。 假設(shè)A是直覺模糊濾子，則由定義8 可知，對于任意的x∈L,y∈L,當(dāng)x≤y時，有μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y)。由于x?y≤x?y,故由推論2 可得μA(x?y)≥μA(x)∧μA(y),νA(x?y)≤νA(x)∨νA(y)。

證明充分性。 由x≤1可得μA(x)≤μA(1),νA(x)≥νA(1)。由 (x→y)?x≤y和x?(xy)≤y可得μA(y)≥μA((x→y)?x)≥μA(x)∧μA(x→y),μA(y)≥μA(x?(xy))≥μA(x)∧μA(xy)與νA(y)≤νA((x→y)?x)≤νA(x)∨νA(x→y),νA(y)≤νA(x?(xy))≤νA(x)∨νA(xy)成立。 由定義8可知，A是L上的直覺模糊濾子。

推論3：設(shè)A=(μA,νA)是L上的直覺模糊集，若A是直覺模糊濾子，則有μA(x?y)=μA(x)∧μA(y),νA(x?y)=νA(x)∨νA(y)。

證明：由定理11 與由定理5 即可得結(jié)論。

定理12： 若A=(μA,νA)和B=(μB,νB)是L上的直覺模糊濾子，A∩B也是L上的直覺模糊濾子。

證明：由于A和B都是直覺模糊濾子，若對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,有x≤yz或x≤y→z,因而有μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)和μB(z)≥μB(x)∧μB(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。因此，有μA∩B(z)=μA(z)∧μB(z)≥μA(x)∧μA(y)∧μB(x)∧μB(y) =(μA(x)∧μB(x)) ∧(μA(y)∧μB(y))=μA∩B(x)∧μA∩B(y),νA∩B(z)=νA(z)∨νB(z) ≤(νA(x)∨νB(x))∨(νA(y)∨νB(y))=νA∩B(x)∨νA∩B(y)。由定理9 可知，A∩B是直覺模糊濾子。

推論4：若Ai(i∈I)是L上的直覺模糊濾子，那么也是L上的直覺模糊濾子。

3 非交換剩余格上直覺模糊濾子的結(jié)構(gòu)

定義9：設(shè)A=(μA,νA)是L上的直覺模糊集，B=(μB,νB)是L上的直覺模糊濾子，A?B對,于L上的直覺模糊濾子C，如果由A?C可以推出B?C， 則稱B是由A生成的直覺模糊濾子，記作。

定理13：設(shè)A=(μA,νA)是L上的直覺模糊集，對于任意的x∈L，令

證明：假設(shè)B=(μB,νB),其中

下面證明B是L上的直覺模糊濾子。 由B的定義可知，對于任意的x∈L,顯然有μB(1)=μA(1)≥μB(1),νB(1)=νA(1)≤νB(x)。設(shè)x∈L,y∈L,任取c1∈L,c2∈L,…,cn∈L,d1∈L,d2∈L,…,d m∈L,其中n∈N*,m∈N*,使得x≥c1?c2? …?cn,x→y≥d1?d2? …?dm,于是，有y≥ (x→y)?x≥c1?c2? …?cn?d1?d2?… ?dm,因而有由于μB(x)∧μB(x→y)d1?d2? …?dm},故由μB(y)的定義可知μB(y)≥μB(x)∧μB(x→y)。同理可證νB(y)≤νB(x)∨νB(x→y)。用類似的方法，也可以證明μB(y)≥μB(x)∧μB(xy),νB(y)≤νB(x)∧νB(xy)。因此， 由定義8 可知B是L上的直覺模糊濾子。 由B的定義可知，A?B顯然成立。 假設(shè)C是L上的直覺模糊濾子，且A?C,則對于任意的x∈L,有x≥a1?…?an}=νC(x),因此，有B?C,則B是由A生成的直覺模糊濾子。

定理14：若A=(μA,νA)和B=(μB,νB)是L上的直覺模糊濾子， 則?A∪B?也是L上的直覺模糊濾子。

證明：因為A和B都是L上的直覺模糊濾子， 所以對于任意的x∈L,有μA(x) ≤ 1?νA(x),μB(x)≤ 1?νB(x)。因此，有μA∪B(x)+νA∪B(x) =(μA(x)∨μB(x)) +(νA(x)∧νB(x)) ≤ ((1?νA(x)) ∨ (1?νB(x)))+(νA(x)∧νB(x)) = (1 ?(νA(x)∧νB(x))) +(νA(x)∧νB(x))=1,即μA∪B(x)+νA∪B(x)≤1,故A∪B是L上的直覺模糊集。由定義9 可知?A∪B?是直覺模糊濾子。

推論5： 若Ai(i∈I)是L上的直覺模糊濾子，則也是L上的直覺模糊濾子。

注2：記L上的全體直覺模糊濾子為IFF[L]。

在IFF[L]上定義運算由“? ”、“”和“”的定義可知是一個格。

證明：對于任意的Ai∈IFF[L],由于和都是直覺模糊濾子,因此容易證明是一個完備格，其最大元為1～,最小元為0～。

4 結(jié)束語

在本文中， 我們在非交換剩余格中引入了直覺模糊濾子的概念， 給出了直覺模糊濾子一些基本性質(zhì)和等價刻畫， 給出了直覺模糊濾子與模糊濾子之間的關(guān)系，給出了由直覺模糊集生成直覺模糊濾子的方法，證明了非交換剩余格上的全體直覺模糊濾子的集合能構(gòu)成有界完備的分配格。