如何從E□M◇O-3廣義模態(tài)三段論推導(dǎo)出其他20個(gè)有效的廣義模態(tài)三段論

衛(wèi) 龍，張曉君

（安徽大學(xué)哲學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

一、引言

三段論推理是自然語(yǔ)言中常見的推理形式，在自然語(yǔ)言和人類思維中占據(jù)著重要的地位，是人工智能的自然語(yǔ)言信息處理、知識(shí)表示與知識(shí)推理的重要研究?jī)?nèi)容之一。在自然語(yǔ)言中，存在多種形式的三段論，例如：亞氏三段論（1）、廣義三段論（2）、亞氏模態(tài)三段論（3）、廣義模態(tài)三段論（4）、關(guān)系三段論（5）、帶有動(dòng)詞的三段論（5）、帶有形容詞的三段論（5）、帶有布爾運(yùn)算的三段論（5），等等。本文聚焦于廣義模態(tài)三段論的可化歸性。

?ukasiewic（1957）（6）、蔡曙山（1988）（7）、張曉君（2014）（8）、Xiaojun 等（2022）（9）、Hui（2023）（10）、Long（2023）（11）、Cheng（2023）（12）研究了亞氏三段論的可化歸性。袁兆?。?018）（13）、王薇（2020）（14）、張曉君和吳寶祥（2021）（15）探討了廣義三段論的可化歸性。Cheng（2023）（16）、Long（2023）（17）討論了亞氏模態(tài)三段論的可化歸性。

截至目前，國(guó)內(nèi)外幾乎還沒有廣義模態(tài)三段論可化歸性的文獻(xiàn)。本文致力于探討廣義模態(tài)三段論E□M◇O-3 與其他廣義模態(tài)三段論之間的可化歸性。其研究思路：首先根據(jù)集合論和可能世界語(yǔ)義學(xué)，證明廣義模態(tài)三段論E□M◇O-3的有效性，再利用廣義量詞理論和模態(tài)邏輯，根據(jù)E□M◇O-3的有效性，推導(dǎo)出其他20個(gè)廣義模態(tài)三段論的有效性。

二、預(yù)備知識(shí)

本文中，廣義模態(tài)三段論的量化語(yǔ)句主要涉及以下8種類型：“所有Z都是K”、“所有Z都不是K”、“有Z是K”、“有Z不是K”、“大多數(shù)的Z是K”、“少于一半的Z是K”、“最多一半的Z是K”、“至少一半的Z是K”。它們分別形式化為：all（Z,K）、no（Z,K）、some（Z,K）、notall（Z,K）、most（Z,K）、fewerthan halfofthe（Z,K）、atmosthalfofthe（Z,K）和atleasthalfofthe（Z,K），并且分別簡(jiǎn)記為A、E、I、O、M、F、H和L（18）。在本文中，Q表示廣義量詞，Z、G和K表示量化語(yǔ)句中詞項(xiàng)變?cè)募?，|Z|表示集合Z的基數(shù)，D表示論域，形式化過程中對(duì)論域做省略處理，以使表達(dá)更為簡(jiǎn)潔。

廣義模態(tài)三段論實(shí)例：

大前提：沒有美國(guó)總統(tǒng)是女性。（形式化為no（G,Z））

小前提：大多數(shù)美國(guó)總統(tǒng)必然是千萬富翁。（形式化為□most（G,K））

結(jié)論：并非所有千萬富翁都可能是女性。（形式化為◇notall（K,Z））

若設(shè)G是論域中所有美國(guó)總統(tǒng)組成的集合，Z是論域中全部女性組成的集合，K是論域中所有千萬富翁組成的集合，則此廣義模態(tài)三段論實(shí)例可以形式化為：no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）。由于廣義模態(tài)三段論的格的定義與亞氏三段論類似，因此，這是第三格的E□M◇O式三段論，簡(jiǎn)記為E□M◇O-3。其他廣義模態(tài)三段論的記法與此類似。

定義1（量化語(yǔ)句和模態(tài)量化語(yǔ)句的真值定義）：

（1）all（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z?K為真；

（2）no（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z∩K=?為真；

（3）some（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z∩K≠?為真；

（4）notall（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z?K為真；

（5）most（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，|Z∩K|≥0.6|Z|為真；

（6）□all（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，all（Z,K）在任意可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z?K在任意可能世界中為真；

（7）□no（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，no（Z,K）在任意可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z∩K=?在任意可能世界中為真；

（8）□some（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，some（Z,K）在任意可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z∩K≠?在任意可能世界中為真；

（9）□notall（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，notall（Z,K）在任意可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z?K在任意可能世界中為真；

（10）□most（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，most（Z,K）在任意可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，|Z∩K|≥0.6|Z|在任意可能世界中為真；

（11）◇all（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，all（Z,K）在至少一個(gè)可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z?K在至少一個(gè)可能世界中為真；

（12）◇no（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，no（Z,K）在至少一個(gè)可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z∩K=?在至少一個(gè)可能世界中為真；

（13）◇some（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，some（Z,K）在至少一個(gè)可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z∩K≠?在至少一個(gè)可能世界中為真；

（14）◇notall（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，notall（Z,K）在至少一個(gè)可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，Z?K在至少一個(gè)可能世界中為真；

（15）◇most（Z,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，most（Z,K）在至少一個(gè)可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，|Z∩K|≥0.6|Z|在至少一個(gè)可能世界中為真。

定義2（內(nèi)否定定義）：Q?（Z,K）=defQ（Z,D-K）。

定義3（外否定定義）：?Q（Z,K）=def并非Q（Z,K）。

事實(shí)1（some和no的對(duì)稱性）：（1）some（Z,K）?some（K,Z）；（2）no（Z,K）?no（K,Z）。

事實(shí)2（內(nèi)否定事實(shí)）：

（1）all（Z,K）=no?（Z,K）；

（2）no（Z,K）=all?（Z,K）；

（3）some（Z,K）=notall?（Z,K）；

（4）notall（Z,K）=some?（Z,K）；

（5）most（Z,K）=fewerthanhalfofthe?（Z,K）；

（6）fewerthanhalfofthe（Z,K）=most?（Z,K）；

（7）atmosthalfofthe（Z,K）=atleasthalfofthe?（Z,K）；

（8）atleasthalfofthe（Z,K）=atmosthalfofthe?（Z,K）。

事實(shí)3（外否定事實(shí)）：

（1）?notall（Z,K）=all（Z,K）；

（2）?all（Z,K）=notall（Z,K）；

（3）?no（Z,K）=some（Z,K）；

（4）?some（Z,K）=no（Z,K）；

（5）?atmosthalfofthe（Z,K）=most（Z,K）；

（6）?most（Z,K）=atmosthalfofthe（Z,K）；

（7）?fewerthanhalfofthe（Z,K）=atleasthalfofthe（Z,K）；

（8）?atleasthalfofthe（Z,K）=fewerthanhalfofthe（Z,K）。

事實(shí)2和事實(shí)3可以分別利用定義2和定義3加以證明。

令Q（Z,K）是一個(gè)直言命題，由于可能模態(tài)詞（◇）與必然模態(tài)詞（□）互為對(duì)偶，因此：◇Q（Z,K）=def?□?Q（Z,K）；□Q（Z,K）=def?◇?Q（Z,K）（19）。下面的事實(shí)4可據(jù)此來證明。

事實(shí)4：（1）?□Q（Z,K）=◇?Q（Z,K）；（2）?◇Q（Z,K）=□?Q（Z,K）。

以下事實(shí)5至事實(shí)8是模態(tài)邏輯（20）和廣義量詞理論（21）的基礎(chǔ)知識(shí)，其證明從略。

事實(shí)5：├□Q（Z,K）→Q（Z,K）。

事實(shí)6：├□Q（Z,K）→◇Q（Z,K）。

事實(shí)7：├Q（Z,K）→◇Q（Z,K）。

事實(shí)8：（1）├all（Z,K）→some（Z,K）；（2）├no（Z,K）→notall（Z,K）。

廣義模態(tài)三段論邏輯是亞氏三段論邏輯的擴(kuò)展，后者是經(jīng)典命題邏輯的擴(kuò)展邏輯，因此以下經(jīng)典命題邏輯的推理規(guī)則仍然適用于廣義模態(tài)三段論，其中q，p，r和s是命題變?cè)?/p>

推理規(guī)則：

（1）替換規(guī)則：假設(shè)q是從p“通過把一個(gè)變?cè)y(tǒng)一替換為另一個(gè)變?cè)倍玫降模敲磸末纏可推導(dǎo)出├q；

（2）雙重否定規(guī)則：從├??p可推導(dǎo)出├p，反之亦然；

（3）前件互換規(guī)則：從├（p→（q→r））可推導(dǎo)出├（q→（p→r））；

（4）后件弱化規(guī)則：從├（p∧q→r）和├（r→s）可推導(dǎo)出├（p∧q→s）；

（5）反三段論規(guī)則1：從├（p∧q→r）可推導(dǎo)出├（?r∧p→?q）；

（6）反三段論規(guī)則2：從├（p∧q→r）可推導(dǎo)出├（?r∧q→?p）。

三、E□M◇O-3與其他20個(gè)有效廣義模態(tài)三段論的化歸

以下定理1證明了廣義模態(tài)三段論E□M◇O-3的有效性；定理2中的“（1）E□M◇O-3?E□M◇O-4”表明：根據(jù)E□M◇O-3的有效性，可以推導(dǎo)出廣義模態(tài)三段論E□M◇O-4的有效性。換言之，這兩個(gè)廣義模態(tài)三段論之間具有可化歸關(guān)系。其他三段論之間的可化歸關(guān)系采用類似的表示方法。

定理1（E□M◇O-3）：廣義模態(tài)三段論no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）是有效的。

證明：假設(shè)no（G,Z）和□most（G,K）為真，根據(jù)定義1 的量化語(yǔ)句的真值定義（2）可知：no（G,Z）?G∩Z=?；根據(jù)定義1 的模態(tài)量化語(yǔ)句的真值定義（10）可知：□most（G,K）為真，當(dāng)且僅當(dāng)，most（G,K）在任意可能世界中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，|G∩K|≥0.6|G|在任意可能世界中為真。因此，至少存在一個(gè)可能世界，使得G∩Z=?且|G∩K|≥0.6|G|，因此K?Z。這可以通過反證法加以證明。假設(shè)K?Z不成立，那么K?Z，而G∩Z=?，所以G∩K=?，這與“|G∩K|≥0.6|G|在任意可能世界中為真”矛盾，因此，至少存在一個(gè)可能世界，使得K?Z，再根據(jù)定義1模態(tài)量化語(yǔ)句的真值定義（14）可知：◇notall（Z,K）為真。即有：no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）是有效的，即：E□M◇O-3是有效的。證畢。

定理2：根據(jù)E□M◇O-3可以推導(dǎo)出以下20個(gè)有效的廣義模態(tài)三段論：

（1）E□M◇O-3?E□M◇O-4

（2）E□M◇O-3?□A□MI-1

（3）E□M◇O-3?□AE◇H-2

（4）E□M◇O-3?A□M◇I-3

（5）E□M◇O-3?A□M◇I-3?□MA◇I-3

（6）E□M◇O-3?□A□MI-1?□M□AI-4

（7）E□M◇O-3?□A□MI-1?□E□MO-1

（8）E□M◇O-3?□A□MI-1?□E□MO-1?□E□MO-2

（9）E□M◇O-3?□AE◇H-2?□AE◇H-4

（10）E□M◇O-3?□AE◇H-2?□EA◇H-2

（11）E□M◇O-3?A□M◇I-3?□MA◇I-3?□EA◇H-1

（12）E□M◇O-3?□A□MI-1?□E□MO-1?□E□MO-2?□A□FO-2

（13）E□M◇O-3?□A□MI-1?□E□MO-1?□E□MO-2?□A□FO-2?□FA◇O-3

（14）E□M◇O-3?□A□MI-1?□A□M◇I-1

（15）E□M◇O-3?□A□MI-1?□A□M◇I-1?□E□M◇O-3

（16）E□M◇O-3?□A□MI-1?□A□M◇I-1?□E□M◇O-3?□E□M◇O-4

（17）E□M◇O-3?□A□MI-1?□M□AI-4?□M□A◇I-4

（18）E□M◇O-3?□A□MI-1?□E□MO-1?□E□M◇O-1

（19）E□M◇O-3?□A□MI-1?□E□MO-1?□E□MO-2?□E□M◇O-2

（20）E□M◇O-3?□A□MI-1?□E□MO-1?□E□MO-2?□A□FO-2?□A□F◇O-2

證明：

（1）├no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）（即E□M◇O-3）

（2）├no（G,Z）?no（Z,G）（根據(jù)事實(shí)1的（2）

（3）├no（Z,G）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）（即E□M◇O-4，根據(jù)（1）和（2）

（4）├?◇notall（K,Z）∧□most（G,K）→?no（G,Z）（根據(jù)（1）和反三段論規(guī)則2）

（5）├?◇notall（K,Z）=□?notall（K,Z）（根據(jù)事實(shí)4的（2）

（6）├□?notall（K,Z）∧□most（G,K）→?no（G,Z）（根據(jù)（4）和（5）

（7）├?notall（K,Z）=all（K,Z）（根據(jù)事實(shí)3的（1）

（8）├?no（G,Z）=some（G,Z）（根據(jù)事實(shí)3的（3）

（9）├□all（K,Z）∧□most（G,K）→some（G,Z）（即□A□MI-1，根據(jù)（6）、（7）和（8）

（10）├?◇notall（K,Z）∧no（G,Z）→?□most（G,K）（根據(jù)（1）和反三段論規(guī)則1）

（11）├□?notall（K,Z）∧no（G,Z）→◇?most（G,K）（根據(jù)（10）和事實(shí)4）

（12）├?most（G,K）=atmosthalfofthe（G,K）（根據(jù)事實(shí)3的（6））

（13）├□all（K,Z）∧no（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□AE◇H-2，根據(jù)（7）、（11）和（12）

（14）├no（G,Z）=all?（G,Z）（根據(jù)事實(shí)2的（2）

（15）├notall（K,Z）=some?（K,Z）（根據(jù)事實(shí)2的（4））

（16）├all?（G,Z）∧□most（G,K）→◇some?（K,Z）（根據(jù)（1）、（14）和（15））

（17）├all（G,D-Z）∧□most（G,K）→◇some（K,D-Z）（根據(jù)（16）和定義2）

（18）├all（G,Z）∧□most（G,K）→◇some（K,Z）（即A□M◇I-3，根據(jù)（17）和替換規(guī)則）

（19）├all（G,Z）∧□most（G,K）→◇some（Z,K）（即□MA◇I-3，根據(jù)（18）和事實(shí)1的（1）

（20）├□all（K,Z）∧□most（G,K）→some（Z,G）（即□M□AI-4，根據(jù)（9）和事實(shí)1的（1）

（21）├all（K,Z）=no?（K,Z）（根據(jù)事實(shí)2的（1）

（22）├some（G,Z）=notall?（G,Z）（根據(jù)事實(shí)2的（3）

（23）├□no?（K,Z）∧□most（G,K）→notall?（G,Z）（根據(jù)（9）、（21）和（22）

（24）├□no（K,D-Z）∧□most（G,K）→notall（G,D-Z）（根據(jù)（23）和定義2）

（25）├□no（K,Z）∧□most（G,K）→notall（G,Z）（即□E□MO-1，根據(jù)（24）和替換規(guī)則）

（26）├□no（Z,K）∧□most（G,K）→notall（G,Z）（即□E□MO-2，根據(jù)（25）和事實(shí)1的（2））

（27）├□all（K,Z）∧no（Z,G）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□AE◇H-4，根據(jù)（2）和（13））

（28）├□no?（K,Z）∧all?（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（根據(jù)（13）、（14）和（21））

（29）├□no（K,D-Z）∧all（G,D-Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（根據(jù)（28）和定義2）

（30）├□no（K,Z）∧all（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□EA◇H-2，根據(jù)（29）和替換規(guī)則）

（31）├?◇some（Z,K）∧all（G,Z）→?□most（G,K）（根據(jù)（19）和反三段論規(guī)則1）

（32）├□?some（Z,K）∧all（G,Z）→◇?most（G,K）（根據(jù)（31）和事實(shí)4）

（33）├□no（Z,K）∧all（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□EA◇H-1，根據(jù)（32）、事實(shí)3的（4）和（6））

（34）├no（K,Z）=all?（K,Z）（根據(jù)事實(shí)2的（2）

（35）├m(xù)ost（G,K）=fewerthanhalfofthe?（G,K）（根據(jù)事實(shí)2的（5）

（36）├□all?（Z,K）∧□fewerthanhalfofthe?（G,K）→notall（G,Z） （根據(jù)（25）、（34）和（35）

（37）├□all（Z,D-K）∧□fewerthanhalfofthe（G,D-K）→notall（G,Z） （根據(jù)（36）和定義2）

（38）├□all（Z,K）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→notall（G,Z）（即□A□FO-2，根據(jù)（37）和替換規(guī)則）

（39）├?notall（G,Z）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→?□all（Z,K）（根據(jù)（38）和反三段論規(guī)則2）

（40）├?notall（G,Z）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→◇?all（Z,K）（根據(jù)（39）和事實(shí)4的（1）

（41）├all（G,Z）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→◇notall（Z,K）（即□FA◇O-3，根據(jù)（40）、事實(shí)3的（1）和（2）

（42）├some（G,Z）→◇some（G,Z）（根據(jù)事實(shí)7）

（43）├□all（K,Z）∧□most（G,K）→◇some（G,Z）（即□A□M◇I-1，根據(jù)（9）、（42）和后件弱化規(guī)則）

（44）├?◇some（G,Z）∧□most（G,K）→?□all（K,Z）（根據(jù)（43）和反三段論規(guī)則2）

（45）├□?some（G,Z）∧□most（G,K）→◇?all（K,Z）（根據(jù)（44）和事實(shí)4）

（46）├□no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）（即□E□M◇O-3，根據(jù)（45）、事實(shí)3的（4）和（2）

（47）├□no（Z,G）∧□mos（tG,K）→◇notal（lK,Z）（即□E□M◇O-4，根據(jù)（46）和事實(shí)1的（2）

（48）├some（Z,G）→◇some（Z,G）（根據(jù)事實(shí)7）

（49）├□mos（tG,K）∧□al（lK,Z）→◇some（Z,G）（即□M□A◇I-4，根據(jù)（20）、（48）和后件弱化規(guī)則）

（50）├□no（K,Z）∧□mos（tG,K）→◇notal（lG,Z）（即□E□M◇O-1，根據(jù)（25）和事實(shí)7）

（51）├□no（Z,K）∧□mos（tG,K）→◇notal（lG,Z）（即□E□M◇O-2，根據(jù)（26）和事實(shí)7）

（52）├□al（lZ,K）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→◇notal（lG,Z）（即□A□F◇O-2，根據(jù)（38）和事實(shí)7）

證畢。

至此，根據(jù)廣義模態(tài)三段論E□M◇O-3的有效性，并且利用廣義量詞理論和模態(tài)邏輯的相關(guān)定義和事實(shí)，推導(dǎo)出了其他20個(gè)有效的廣義模態(tài)三段論。這一過程充分說明了E□M◇O-3與這20個(gè)廣義模態(tài)三段論之間存在著可化歸關(guān)系。

四、結(jié)束語(yǔ)

本文的主要工作和結(jié)論如下：首先根據(jù)集合論和可能世界語(yǔ)義學(xué)給出直言命題和模態(tài)直言命題的真值定義，證明廣義模態(tài)三段論E□M◇O-3的有效性；然后，在廣義量詞理論和模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)上，充分利用廣義量詞的內(nèi)否定與外否定事實(shí)、some與no的對(duì)稱性、模態(tài)詞□與◇之間的對(duì)偶關(guān)系、后件弱化規(guī)則、反三段論推理規(guī)則等化歸運(yùn)算，根據(jù)E□M◇O-3的有效性，推導(dǎo)出了其他20個(gè)有效的廣義模態(tài)三段論。事實(shí)上，反復(fù)利用這些化歸運(yùn)算，還可以推導(dǎo)出更多的有效廣義模態(tài)三段論。

本文的研究方法不僅為其他種類的三段論（如亞氏三段論、亞氏模態(tài)三段論、廣義三段論）的可化歸性，提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)研究范式，而且為人工智能領(lǐng)域的知識(shí)表示與知識(shí)推理提供了理論支撐，順應(yīng)了大數(shù)據(jù)時(shí)代“對(duì)自然語(yǔ)言信息的形式化轉(zhuǎn)換的”需求，具有重要的理論和實(shí)踐價(jià)值。