基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

王躍男 陳建強(qiáng)

哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

1 理論基礎(chǔ)

1.1 CPFS結(jié)構(gòu)理論

2002年南京師范大學(xué)喻平教授在綜合分析認(rèn)知心理學(xué)家對(duì)知識(shí)表征的一般研究基礎(chǔ)上，引入了概念域、概念系、命題域、命題系四個(gè)概念，并將其復(fù)合結(jié)構(gòu)稱為CPFS結(jié)構(gòu).

一個(gè)數(shù)學(xué)概念C的所有等價(jià)定義的圖式，叫做概念C的概念域.由數(shù)學(xué)概念與概念之間存在的特定的數(shù)學(xué)關(guān)系在個(gè)體頭腦中形成的概念網(wǎng)絡(luò)就是概念系.與一個(gè)命題等價(jià)的命題集的圖式叫做這個(gè)命題的命題域.在一個(gè)命題集中，任意一個(gè)命題都至少與其他某一個(gè)命題有“推出”關(guān)系，就稱這個(gè)命題集的圖式為一個(gè)命題系.

CPFS結(jié)構(gòu)揭示了概念、命題之間的聯(lián)系，形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、知識(shí)遷移、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展等.

1.2 CPFS結(jié)構(gòu)理論下的兩角差的余弦公式

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，且與許多知識(shí)都有著密切的關(guān)聯(lián).由于三角函數(shù)命題系中大部分命題的推導(dǎo)都源于兩角差的余弦公式，因此建立良好的兩角差的余弦公式CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生形成三角恒等變換命題系有很大影響[1].

圖1 三角函數(shù)模塊的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

本研究將基于CPFS結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行“兩角差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生建立三角恒等變換公式的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)建良好的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)(如圖1所示).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教材分析

兩角差的余弦公式是學(xué)生在學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式與掌握單位圓工具的基礎(chǔ)上，利用數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等思想方法獲得的.如圖2，三角恒等變換與誘導(dǎo)公式具有廣義抽象關(guān)系，對(duì)差角余弦公式進(jìn)行強(qiáng)抽象可獲得部分誘導(dǎo)公式，掌握差角的余弦公式可以為后續(xù)三角恒等變換公式作鋪墊，因此兩角差的余弦公式在教材中起著承上啟下的重要作用[2].

圖2 三角恒等變換命題域、命題系

2.2 教學(xué)目標(biāo)

(1)經(jīng)歷兩角差的余弦公式的證明過(guò)程，知道兩角差的余弦公式的意義；能運(yùn)用兩角差的余弦公式解決簡(jiǎn)單的恒等變換問(wèn)題.

(2)單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀更好地感悟三角函數(shù)的概念與性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

(3)通過(guò)對(duì)公式的具體推導(dǎo)與證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

2.3 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：推導(dǎo)兩角差的余弦公式；利用兩角差的余弦公式解決一些三角恒等變換問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)：差角余弦公式的推導(dǎo).

2.4 教學(xué)過(guò)程

2.4.1 設(shè)置情景，導(dǎo)入新課

問(wèn)題1三角函數(shù)這一章我們學(xué)過(guò)很多重點(diǎn)內(nèi)容，一起來(lái)復(fù)習(xí)幾個(gè)誘導(dǎo)公式：

①sin(π+α)=________;②cos(π-α)= ______;

學(xué)生：①-sinα； ②-cosα； ③cosα； ④sinα.

追問(wèn)1：它們?cè)谛问缴嫌心男┕餐c(diǎn)呢？等號(hào)左側(cè)與等號(hào)右側(cè)分別是什么角的三角函數(shù)？

學(xué)生：等號(hào)左側(cè)是軸上角與任意角的和或差的三角函數(shù)；等號(hào)右側(cè)與任意角三角函數(shù)有關(guān).

這節(jié)課先研究，對(duì)于任意角α,β，cos(α-β)=？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)部分誘導(dǎo)公式，強(qiáng)調(diào)誘導(dǎo)公式與三角恒等變換的廣義抽象關(guān)系，為接下來(lái)建構(gòu)三角恒等變換命題系作鋪墊.通過(guò)所提問(wèn)題引出研究對(duì)象，激發(fā)學(xué)生興趣，明確研究和差角公式的必要性.

2.4.2 建立聯(lián)系，感知命題

問(wèn)題2猜想一下，cos(α-β)可能等于？

學(xué)生：cosα-cosβ.

追問(wèn)1：它是否成立？請(qǐng)驗(yàn)證并說(shuō)明你的結(jié)論.

追問(wèn)2：我們是否學(xué)過(guò)cos(α-β)的特殊情況？

問(wèn)題3觀察上述由強(qiáng)抽象得出的誘導(dǎo)公式，你認(rèn)為cos(α-β)與這些誘導(dǎo)公式之間具有怎樣的關(guān)系？cos(α-β)的展開(kāi)結(jié)果可能與α，β哪些三角函數(shù)有關(guān)？

學(xué)生：特殊到一般的關(guān)系.cos(α-β)的展開(kāi)結(jié)果可能與sinα，sinβ，cosα，cosβ有關(guān).

設(shè)計(jì)意圖：基于部分誘導(dǎo)公式與差角的余弦公式之間的抽象關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生得出cos(α-β)展開(kāi)后出現(xiàn)的基本項(xiàng).學(xué)生積累了從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用了特殊到一般的思想方法，鍛煉了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.4.3 深入探究，發(fā)現(xiàn)命題

問(wèn)題4回顧一下cos(α-β)的特殊情況——誘導(dǎo)公式的得出，我們采取了什么方法？

學(xué)生：在單位圓中，利用圓的軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性得出等量關(guān)系，代入坐標(biāo).

問(wèn)題5既然cos(α-β)是更一般的誘導(dǎo)公式，這節(jié)課我們繼續(xù)利用這個(gè)思路.首先，請(qǐng)大家在練習(xí)紙中作出單位圓、任意角與終邊.

學(xué)生作圖時(shí)，教師巡視并選擇幾種角的終邊處于不同象限的圖形(如圖3～6)，進(jìn)行投影展示，選擇一種(如圖3)畫(huà)在黑板上.

圖3

圖4

圖5

圖6

問(wèn)題6請(qǐng)同學(xué)們觀察，任意角α與β終邊的關(guān)系能怎樣分類？

學(xué)生：終邊可分為重合或不重合.

追問(wèn)：那怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述呢？

學(xué)生：終邊不重合時(shí)，α≠2kπ+β(k∈Z)；終邊重合時(shí),α=2kπ+β(k∈Z).

圖7

問(wèn)題7如圖7，先選取第一種情況進(jìn)行驗(yàn)證，設(shè)x軸非負(fù)半軸、α的終邊、β的終邊與單位圓交點(diǎn)依次記為P1，P2，P3，你能寫(xiě)出它們的坐標(biāo)嗎？

學(xué)生：P1(1，0)，P2(cosα，sinα)，P3(cosβ，sinβ).

問(wèn)題8觀察交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，要想獲得公式,圖中缺少了哪個(gè)重要的量？

學(xué)生：cos(α-β).

追問(wèn)1：如何能出現(xiàn)cos(α-β)？

學(xué)生：由三角函數(shù)定義，角α-β始邊在x軸非負(fù)半軸時(shí)，終邊與單位圓交點(diǎn)橫坐標(biāo)為cos(α-β).

追問(wèn)2：如何讓角α-β的始邊落在x軸非負(fù)半軸，同時(shí)角的大小保持不變[3]?

學(xué)生：旋轉(zhuǎn).

打開(kāi)準(zhǔn)備好的幾何畫(huà)板，展示角α-β的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，記旋轉(zhuǎn)后的α-β終邊與單位圓交于點(diǎn)P4(如圖8).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在單位圓中構(gòu)造出公式中的所需內(nèi)容，為應(yīng)用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性作鋪墊.

圖8

問(wèn)題9如圖8,顯然P4坐標(biāo)為(cos(α-β)，sin(α-β))，至此我們終于將所需三角函數(shù)值全部找到.回想獲得誘導(dǎo)公式的過(guò)程，建立單位圓后，利用圓的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性尋找等量關(guān)系.對(duì)于更為一般的cos(α-β)公式，我們可以利用圓更為一般的對(duì)稱性是什么？

學(xué)生：圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.

追問(wèn)：根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？

問(wèn)題10：哪種等量關(guān)系便于代入坐標(biāo)計(jì)算？怎樣計(jì)算？

學(xué)生：|P2P3|=|P1P4|，利用兩點(diǎn)間距離公式.

設(shè)計(jì)意圖：利用單位圓的幾何直觀形成數(shù)與形的聯(lián)系，通過(guò)幾何畫(huà)板展示數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，啟發(fā)學(xué)生獲得公式的方法，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

問(wèn)題11利用等量關(guān)系|P2P3|=|P1P4|，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，你能否完成公式的證明？

學(xué)生計(jì)算過(guò)程中，教師巡視，將學(xué)生寫(xiě)的證明過(guò)程利用投影展示出來(lái).

問(wèn)題12至此我們的公式是否完整？不完整的話，缺少什么？

學(xué)生：不完整，缺少對(duì)α=2kπ+β，k∈Z情況的證明.

追問(wèn)：那請(qǐng)大家繼續(xù)完成公式的證明.

驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意角α，β，有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記為C(α-β).

設(shè)計(jì)意圖：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生以已獲得的相關(guān)的誘導(dǎo)公式為邏輯依據(jù)，將差角的余弦公式納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的三角恒等變換命題系.在命題獲得過(guò)程中，讓學(xué)生積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

2.4.4 命題應(yīng)用，鞏固練習(xí)

練習(xí)1利用公式C(α-β)證明：

(2)cos(π-α)=-cosα.

設(shè)計(jì)意圖：層層遞進(jìn)訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用.應(yīng)用新獲得的差角的余弦公式命題，使學(xué)生逐步形成穩(wěn)固的命題域和命題系.

2.4.5 課堂小結(jié)，回味公式

結(jié)合學(xué)習(xí)過(guò)程，舉例說(shuō)明你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，收獲哪些思想方法？說(shuō)說(shuō)印象最深的是什么？

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課收獲，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的印象，鞏固新獲得的命題域，建立誘導(dǎo)公式與三角恒等變換的命題系，培養(yǎng)總結(jié)反思習(xí)慣.

3 總結(jié)

數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷命題的獲得、命題的證明、命題的應(yīng)用三個(gè)心理階段.這三個(gè)階段可以使學(xué)生通過(guò)上下位學(xué)習(xí)、同位學(xué)習(xí)、并列學(xué)習(xí)，逐步形成穩(wěn)固的命題域和命題系，改組、豐富和完善個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這也是數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的高級(jí)目標(biāo)和本質(zhì).讓學(xué)生明晰差角的余弦公式與誘導(dǎo)公式的抽象關(guān)系，并經(jīng)過(guò)等價(jià)變式獲得兩角和的余弦公式，可以使學(xué)生形成良好的三角函數(shù)命題系，幫助學(xué)生減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力.