透過巧合表象 溯源問題本質(zhì)
——一道幾何問題的探析與思考

肖 霄 (重慶復(fù)旦中學(xué) 400010)

1 問題提出

在參加暑期教師研修時(shí)筆者遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，點(diǎn)P是BD上一點(diǎn)，∠APC=135°，求PD的長.

圖1 圖2

在隨后的解法賞析中，其中一種方法引起了筆者極大的興趣.如圖2所示，這里“輔助圓”的由來是因?yàn)椤螦PC=135°，由題目條件AB=BC和∠ABC=90°容易知道△APC外接圓的圓心為點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)(點(diǎn)O).由圖2，若點(diǎn)P，D，E共線，即CP⊥BD，則有∠APE=∠ACE=45°，反之亦然.這看似巧合的表象背后究竟隱藏著怎樣的問題本質(zhì)，對于我們核心素養(yǎng)培養(yǎng)理念下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)又有著怎樣的指導(dǎo)意義，這值得我們做進(jìn)一步的思考.

2 探析與改編

2.1 解法探析

對一道題目條件的普遍化、特殊化或類比和要解的題目之間的聯(lián)系是一種探尋解題思路的 有效方法[1].由此，我們對問題做適當(dāng)?shù)臈l件特殊化：如圖3，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，試說明∠APC=135°.

圖3 圖4

對比條件特殊化后的問題和原問題，不難看出當(dāng)CP⊥BD時(shí)有∠APC=135°，那么當(dāng)∠APC=135°時(shí)是否一定有CP⊥BD？這是肯定的.如圖5所示，若沒有CP⊥BD，則無法滿足∠APC=135°(此時(shí)∠APC>135°或∠APC<135°)，這就是前文圖2中的點(diǎn)P，D，E共線，看似“巧合”背后蘊(yùn)含的必然緣由.

圖5

2.2 問題改編

為了突破學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異性以及當(dāng)前教材還難以厘清的某些知識結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和規(guī)律的桎梏，教師有必要對問題進(jìn)行適當(dāng)改編.結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)并將教學(xué)內(nèi)容納入整個(gè)單元知識體系的全局中思考，從而加強(qiáng)各知識、技能方法之間的連續(xù)性和銜接性，問題改編可著重從這樣幾個(gè)方面加以考慮：(1)對若干個(gè)單元或整個(gè)幾何知識板塊中的條件相似或方法可借鑒的問題進(jìn)行有機(jī)的整合、串聯(lián)或并聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生有意識類比知識和技能間的聯(lián)系；(2)把握問題的本質(zhì)，精心研究解答過程，探析問題解法的由來，在契合學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行必要的簡化，或橫向拓展、縱向延伸；(3)引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、直覺、推理和歸納基礎(chǔ)上可自主探索的開放性或探索性結(jié)果的問題；(4)在充分考慮學(xué)生個(gè)性化發(fā)展的基礎(chǔ)上，通過一般化或特殊化條件或者改變問題的條件與結(jié)論，調(diào)動各層級學(xué)生積極參與“問題解決”為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)活動，促進(jìn)其差異性發(fā)展，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

改編1 如圖6，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，求CP的長.

圖6 圖7

改編2 如圖7，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PB=1，PC=2，∠BPC=135°，求AP的長.

改編3 如圖8，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APC=135°，求BP的最小值.

圖8 圖9

改編4 如圖9，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，延長CP交AB于點(diǎn)E，證明點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).

改編5 如圖10，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)P是BD上一點(diǎn)，CP⊥BD且∠APC=135°，猜想線段AD和DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

圖10

改編6 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)AD.

(1)如圖11，將AD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連結(jié)BE，交AC于點(diǎn)F，若F為AC中點(diǎn)，BD=4，求AE的長.

圖11

圖12 圖13

在幾何證明時(shí)，學(xué)生不僅要處理相關(guān)圖形，而且要理解圖形背后所表示或隱含的信息，如在前文題目中未有CP⊥BD，但綜合題目信息卻可得出這一重要的隱含結(jié)論.因而在以問題驅(qū)動為主要模式的幾何教學(xué)中，教師在問題改編時(shí)應(yīng)注意立足于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，把握其認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，通過梯度化的問題設(shè)置，貼近學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，從而更好地調(diào)動學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動.特別需要注意的是，在對某一典型問題解題思路和方法的精準(zhǔn)剖析下，改編問題或重構(gòu)圖形時(shí)不應(yīng)只是簡單地改變一下邊的長度或者角的度數(shù)，而應(yīng)遵循弱化條件使其圖形結(jié)構(gòu)一般化，或強(qiáng)化條件使得圖形特殊化，著力于通過一系列的變式問題串使得學(xué)生厘清問題之間的聯(lián)系和區(qū)別，建構(gòu)起對知識和方法技能更為合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu).如改編的問題1～問題3，簡化了原問題的條件，圖形因此變得更為簡略，但涉及的知識和方法卻是貫穿整個(gè)中學(xué)幾何學(xué)習(xí)的勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換和圓.改編問題4強(qiáng)化了題目條件，引導(dǎo)學(xué)生回顧原問題的求解過程和所學(xué)的中位線知識，從而轉(zhuǎn)化問題，找到突破口.改編問題5中盡管圖形沒有變化，但將原問題的結(jié)論和條件變換了位置，同時(shí)不再給出線段間關(guān)系再要求證明，而是一種開放式的問題設(shè)置方式，學(xué)生需要觀察、甚至直覺猜測并仔細(xì)回顧利用“輔助圓”求解原問題時(shí)，其中還需厘清的幾何關(guān)系還有哪些，這在潛移默化中培養(yǎng)題后反思的好習(xí)慣.

改編問題6減少原問題的條件的同時(shí)加入新的條件，重構(gòu)了圖形，此時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有文字、符號和圖形信息，將題目中未告知但較容易得到的隱含信息補(bǔ)充為題目條件，如第(1)小問中易知∠BAD=∠CAE，易證CE=BD，第(2)小問中△DMN和△DMA為等腰三角形，第(3)小問中DP=DB等，在此基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：過去解題中遇到中點(diǎn)、等腰三角形、動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離保持不變時(shí)最容易聯(lián)想到什么？以往解題中遇到此類條件時(shí)是如何處理的？這就容易激活學(xué)生已有解題經(jīng)驗(yàn)，從而嘗試通過諸如圖14～圖16這樣的“輔助線或圓”將題目中條件有機(jī)整合，進(jìn)而形成環(huán)環(huán)相扣、內(nèi)在邏輯通暢的信息鏈，逐步明晰原有圖形中隱含的幾何性質(zhì)與關(guān)系，從而拓寬解題突破口，最終打開問題解決的思路.

圖14

圖15 圖16

3 教學(xué)思考

幾何中問題情境及其數(shù)學(xué)關(guān)系雖然抽象，但對學(xué)生而言是富有意義和直觀的，幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平比較吻合，幾何可以讓學(xué)生在不需要掌握太多系統(tǒng)知識的前提下體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生自身即可判斷檢驗(yàn)解題過程的正確性，幾何證明的結(jié)果常常令人驚奇：往往只需要很少的條件就能得到很漂亮的結(jié)果，等等[2]292.因此，科學(xué)開展幾何問題教學(xué)將是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理能力的重要途徑.鑒于此，筆者認(rèn)為可從以下三個(gè)方面加以考慮.

3.1 重視方法，明晰幾何直觀內(nèi)涵

盡管幾何題是一類十分有益的問題解決活動，但幾何問題，特別是其中的證明題，對學(xué)生而言確實(shí)比較困難，這是因?yàn)閹缀巫C明題，由于需要厘清其圖形背后隱含的幾何關(guān)系，往往具有多種途徑，而非只是單一、線性的方法，是一種綜合幾何直觀和邏輯推理的演繹證明.課標(biāo)將幾何直觀和推理能力列為中學(xué)數(shù)學(xué)教育兩大核心素養(yǎng)，日常教學(xué)中應(yīng)以此為培養(yǎng)的核心目標(biāo).這里的幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.由于圓特殊的圖形性質(zhì)(旋轉(zhuǎn)以及軸對稱)，特別是圓上同(等)弧、弦和圓心角、圓周角之間靈活的對應(yīng)變換形成的“共圓”關(guān)系，借助圓的幾何直觀性，往往有助于挖掘出問題隱含的幾何關(guān)系和性質(zhì)，從而拓寬問題突破口.如前文改編問題6中第(2)小問：由題目中條件AD=DM，以及由DM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DN得到的DM=DN，易知點(diǎn)A，M，N在以點(diǎn)D為圓心、AD為半徑的圓上，如圖17所示，從而由∠MDN=90°知∠MAN=45°.結(jié)合所要證明問題，容易想到過點(diǎn)N作AM的垂線，結(jié)合∠MDN=90°，此時(shí)又有“共圓”關(guān)系出現(xiàn)，如圖18所示，由此易知∠DHN=135°，∠DNH=∠DMB.結(jié)合題目條件，容易證明△DNH≌△DMB，至此問題求解的思路愈發(fā)清晰.

圖17 圖18

基于以上分析，在幾何教學(xué)中，教師應(yīng)重視和探索圓的幾何直觀性的教學(xué)價(jià)值，探尋問題中“輔助圓”成立的條件化、方法的合理化、思路形成的自然化，使學(xué)生充分明晰課標(biāo)中幾何直觀的內(nèi)涵，使不同層次學(xué)生得到相應(yīng)的解題能力提升.

3.2 回歸教材，凸顯問題本質(zhì)

相關(guān)調(diào)查研究業(yè)已表明，有78%的學(xué)生不能完成幾何證明題的原因是缺乏相應(yīng)的幾何知識[2]292.教材作為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的主要載體，是課標(biāo)理念和目標(biāo)的集中體現(xiàn).由于一道題目中無法集中體現(xiàn)重要的知識和技能方法，同時(shí)問題條件的呈現(xiàn)是否考慮到學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的差異性，是否貼近其思維的最近發(fā)展區(qū)，因此在準(zhǔn)確了解學(xué)生已有認(rèn)知水平，在詳盡掌握問題涉及的知識技能的基礎(chǔ)上對問題作必要的改編顯得尤為重要.

任何有效的問題改編前，教師都應(yīng)詳細(xì)研讀教材透析課標(biāo)精神，緊緊把握課標(biāo)要求，從單元整體教學(xué)的角度厘清知識間關(guān)聯(lián).

在問題改編中，不可脫離教材盲目拔高，應(yīng)注重回歸教材，對典型問題進(jìn)行梯度化的變式改編：一方面將教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法及技能滲透其中凸顯問題本質(zhì)，如前文的問題改編立足于教材中的勾股定理、中位線、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換、三角函數(shù)和圓等重要知識和思想方法；另一方面從認(rèn)知難度“降低”和“提高”的角度吸引各個(gè)認(rèn)知水平階段的學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動中，啟迪其從多角度探尋問題思路，并培養(yǎng)題后反思、歸納總結(jié)方法的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而促進(jìn)其透視教材和問題中知識與技能、思想和方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，充分感受到知識從發(fā)生、發(fā)展到應(yīng)用的完整過程，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，真正從過去的題海中解脫出來，推動素養(yǎng)培養(yǎng)為核心目標(biāo)的課標(biāo)理念的達(dá)成.

3.3 關(guān)注差異，注重情感態(tài)度價(jià)值觀

數(shù)學(xué)教育的價(jià)值決定了應(yīng)以學(xué)生為中心，注重學(xué)生個(gè)性化發(fā)展，不只關(guān)注認(rèn)知能力，還應(yīng)包括情感態(tài)度和價(jià)值觀等非認(rèn)知因素，這些都離不開讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)正確的信念，而這種正確的對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和認(rèn)識取決于教學(xué)活動.對此數(shù)學(xué)教育專家匈菲爾德就認(rèn)為：“如果我們相信數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有用的，而且數(shù)學(xué)式的思維是很有價(jià)值的，那么課堂教學(xué)就必須反映這些信念.因此，我們必須創(chuàng)設(shè)出一種學(xué)習(xí)環(huán)境，在這種環(huán)境中，學(xué)生能夠積極地體驗(yàn)數(shù)學(xué).”[2]199因此，在問題改編時(shí)應(yīng)充分考慮學(xué)情，將學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的差異性充分納入到問題改編中，通過特殊化題目條件或圖形，或?qū)㈩}目條件或圖形結(jié)構(gòu)弱化其原有的特殊性，以認(rèn)知基礎(chǔ)較薄弱學(xué)生作為問題改編的出發(fā)點(diǎn)，突出條件、圖形理解的低起點(diǎn)和方法技能的寬口徑.這種層次化的問題串設(shè)置降低了認(rèn)知難度，能幫助能力不足而產(chǎn)生畏難情緒的學(xué)生積極參與問題探索，從順利解題中增強(qiáng)信心，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度.

同時(shí)，問題改編不可忽視高立意，涂榮豹教授指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效開展離不開高水平的智力參與[3].正如前面的問題改編所展現(xiàn)的一樣，高立意是指學(xué)生通過對前面所學(xué)的反思，通過觀察、類比和推理，甚至直覺等一系列智力活動挖掘圖形背后蘊(yùn)含的幾何關(guān)系.如前面的改編問題6的第(2)小問，通過觀察圖形特征，由題目中AD=DM，以及由DM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DN得到的DM=DN，類比三角形全等判定所需條件，學(xué)生會嘗試通過圖19這樣的思路對問題加以推理證明.

圖19

整個(gè)過程都離不開積極主動和不畏困難等相應(yīng)的良好情感態(tài)度和價(jià)值觀的參與，學(xué)生在這一過程中也在不斷增進(jìn)自我認(rèn)可度，獲得充足的個(gè)人思維建構(gòu)體驗(yàn).因此，教師應(yīng)充分認(rèn)識問題改編的育人價(jià)值，使得不同認(rèn)知層次的學(xué)生都能從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得不同的發(fā)展.