極值點回代時“超越式(數(shù))代換”是通性通法嗎?

從 品 (江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005)

教師將總結(jié)的正確經(jīng)驗教給學(xué)生有利于他們形成正確的基本活動經(jīng)驗，但有時若把基于自己解題活動而輕率總結(jié)的經(jīng)驗教給學(xué)生，這些經(jīng)驗雖未經(jīng)證偽但可能是錯誤經(jīng)驗，則會誤導(dǎo)學(xué)生.例如導(dǎo)數(shù)中的隱零點問題之后常常跟隨極值點回代過程，一些教師將極值點回代時“超越式(數(shù))代換”這一經(jīng)驗方法當(dāng)做通性通法教給學(xué)生，這是否妥當(dāng)呢？這一經(jīng)驗方法是否真的是通性通法呢？本文對此展開探究.

1 問題背景

一份高三模擬試卷上有一道利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的試題，難度較大，學(xué)生得分率較低，但學(xué)生在課后訂正和研究時產(chǎn)生了很大的好奇與興趣，在備課組教師間也引起了熱烈的討論，故而請一位教師就該題評講開展一次觀摩課，供師生相互學(xué)習(xí)、討論.

開課班級是江蘇省首批高品質(zhì)示范高中一個物化生組合班級，班級層次較高，學(xué)生成績較優(yōu)秀.

2 教師授課簡要過程

試題 已知函數(shù)f(x)=(x+2)lnx-e(x-1)，x>1，證明：f(x)>0.

本題來源于試卷，學(xué)生考后對本題進(jìn)行了一些嘗試和探究，因此已有一定的了解.本題是典型的利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，其證明方法主要是隱零點與極值點回代法，對于這一類型試題及其方法教師之前已多次涉及、講解并訓(xùn)練，因此學(xué)生對此類問題和方法有一定的了解和基礎(chǔ).

在評講該試題之前，授課教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶隱零點與極值點回代問題的一般處理方法，在學(xué)生激烈討論、回答并補充以及教師總結(jié)下，師生基本達(dá)成一致認(rèn)識.

共識1 隱零點與極值點回代問題的一般處理方法

對于導(dǎo)函數(shù)f′(x)，如果由零點存在定理易知其存在零點，但難以通過解方程求出其具體值，這樣的零點通常稱為隱零點.對于隱零點，我們需要退而求其次得到它的兩個條件，一是隱零點所在的范圍(即零點的精度)，二是隱零點所滿足的關(guān)系式(即零點的關(guān)系)，以供后續(xù)解題使用.

分析單調(diào)性，判斷隱零點(記為x0)是極值點，故而f(x0)是極值，一般情形下原問題可轉(zhuǎn)化為證明f(x0)>0.因為此處x0是隱零點(難以求得具體值，只有其粗略范圍)，如果直接將f(x0)函數(shù)化，則又回到了原問題，產(chǎn)生死循環(huán).所以通常是先將極值點x0所滿足的關(guān)系式代入f(x0)，即極值點回代，然后再函數(shù)化，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)工具完成不等式證明.

共識2 隱零點與極值點回代問題的常見注意點

對于稍微復(fù)雜、靈活的同類問題，有時需要將粗略的隱零點范圍優(yōu)化、修正到合適精度，而合適精度主要取決于零點存在定理那一步的計算難度和后續(xù)證明過程能否順利完成，有時需要多次嘗試.

極值點回代時應(yīng)該消去超越式部分，因為超越式部分難以計算，且與代數(shù)函數(shù)格格不入，便于計算才能解決問題.

在達(dá)成以上共識后，師生合作開始嘗試評講并研究該試題.

所以f(x)在(1，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增.

因為f(1)=0，要證當(dāng)x>1時，f(x)>0，即要證f(x2)=(x2+2)lnx2-e(x2-1)>0.

基于之前師生所達(dá)成的共識以及學(xué)生所掌握的水平基礎(chǔ)，大多數(shù)學(xué)生易于理解并可以完成前半段的解題過程，因此師生所關(guān)注的難點都在后半段.然后，教師先展示了不做極值點回代會產(chǎn)生的問題(續(xù)解1)并加以解釋，強化學(xué)生對極值點回代步驟的理解.

續(xù)解1 令g1(x)=(x+2)lnx-e(x-1)，x∈(2，e)，即要證g1(x)>0.

因為x2是隱零點(難以求得具體值)，所以無法求得f(x2)的具體值，故而難以直接證明f(x2)>0.然后易于想到將待證不等式進(jìn)行函數(shù)化處理，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)工具完成證明.但是如果直接將f(x2)看作函數(shù)g1(x)，注意到g1(x)和f(x)的表達(dá)式相同，所以又回到了原問題，產(chǎn)生死循環(huán)，這是因為在函數(shù)化之前沒有做極值點回代所導(dǎo)致，所以在函數(shù)化之前，需要先將極值點x2所滿足的關(guān)系式代入f(x2)，然后再函數(shù)化.但之后的極值點回代與其后的證明過程卻十分困難，充滿荊棘.

續(xù)解2在極值點回代時消去超越式lnx2，是最容易想到的極值點回代之法，也符合一般的解題經(jīng)驗，因此不僅大多數(shù)教師如此總結(jié)經(jīng)驗方法(共識2)并教給學(xué)生，而且很多教輔也如此總結(jié)，但這里卻沒能解決問題，需要探求其他方法.

在學(xué)生反復(fù)嘗試卻一籌莫展后，教師展示了如下方法.

續(xù)解3與試題答案所給解析一致，但答案解析并未作其他解釋.續(xù)解2和續(xù)解3也正是師生產(chǎn)生好奇與費解之處，續(xù)解2的解法最符合一般經(jīng)驗，能解決大多數(shù)的極值點回代問題，但在本題中卻未能奏效.續(xù)解3反常規(guī)而行，將常數(shù)e代回f(x2)，竟神奇般地解決問題，猶如神來之筆.

學(xué)生聽完教師的講解與點評，個個瞪大了眼睛，頻頻點頭，顯示出極大興趣，感覺神乎其技，似有所獲，如釋重負(fù)；教師也備受鼓舞，興致勃勃，進(jìn)而又解釋一番超越數(shù)回代的好處.

但筆者坐在教室后面聽課時產(chǎn)生了極大的懷疑：其一，教師只是告訴學(xué)生超越數(shù)代換是超越式代換的一種特殊情形，建議學(xué)生在超越式代換行不通時也可嘗試超越數(shù)代換，但并未解釋透徹續(xù)解2不行而續(xù)解3可行的真正原因；其二，超越式代換和超越數(shù)代換究竟是通性通法呢，還是一種機緣巧合呢?于是帶著一頭霧水的好奇與不解，筆者聽課后對此展開了深入研究.

3 問題探究

續(xù)解2和續(xù)解3只是極值點回代形式不同才導(dǎo)致結(jié)果差異甚大，究竟是具體哪一步不同才產(chǎn)生了決定性影響呢?

從代數(shù)變形角度而言，兩者并無本質(zhì)區(qū)別.

圖1

再然后，通過單調(diào)性分析，得知函數(shù)g2(x)和g3(x)在(2，e)上均單調(diào)遞減，所以g2(x2)>g2(e)，g3(x2)>g3(e)，但是g2(e)<0，而g3(e)>0，易知這一差異結(jié)果是由g2(x2)>g2(e)與g3(x2)>g3(e)這兩個放縮的差量不同而導(dǎo)致的.到此，所有疑問都?xì)w結(jié)于：為何這兩個放縮的差量是不同的呢？

我們用極值點回代后的原始(尚未化簡的)代數(shù)式來表示這兩個放縮得：

由以上分析可知，通過適當(dāng)控制相同放縮差量所乘系數(shù)的大小，應(yīng)該可以完成證明，因此可以對續(xù)解2作如下修正.

此法將續(xù)解2中放縮部分lnx2的系數(shù)構(gòu)造成較小正數(shù)x2-2(因為x2∈(2，e)，所以x2-2>0)，從而使得整體放縮更精細(xì)，因此可以完成證明.事實上，lnx2的系數(shù)并非一定要縮小到x2-2，縮小到x2也可以完成證明.

所以f(x2)=(x2+2)lnx2-e(x2-1)=x2lnx2+2lnx2-e(x2-1)=-2-x2+ex2+2lnx2-e(x2-1)=2lnx2-x2+e-2.

此法將lnx2的系數(shù)控制為x2，整體放縮精度強于續(xù)解2，但弱于續(xù)解2修正，使得恰有g(shù)2(e)=0，恰如其分地完成證明，而且證明過程更加簡潔.

在續(xù)解2中，極值點回代時消去超越式 lnx2，卻沒能完成證明；而在續(xù)解2的修正和再修正中，并沒有消去全部超越式lnx2，反而可以完成證明.

結(jié)論 由以上分析可知，極值點回代時超越式代換和超越數(shù)代換并非通性通法，只是一些情況下的經(jīng)驗積累，其能否解決問題具有一定的偶然性.解決問題的關(guān)鍵在于控制放縮精度，此外還需要控制放縮部分所乘系數(shù)的大小，從而使得整體放縮更加精細(xì)，如此才更利于完成解題.

4 小結(jié)與反思

由前文探究與分析可以看到，極值點回代時超越式代換和超越數(shù)代換并非通性通法，只是一些情況下的經(jīng)驗積累.如果貿(mào)然將此經(jīng)驗教給學(xué)生，必然會對學(xué)生產(chǎn)生一定的誤導(dǎo)，倘若學(xué)生在大考中遇到同類靈活難題，必然會束手無策，無計可施.因此教師在總結(jié)解題經(jīng)驗時務(wù)必要謹(jǐn)慎推敲，反推斟酌，甚至努力證實，盡力確?？偨Y(jié)經(jīng)驗的合理性與正確性.

教師在將方法經(jīng)驗教給學(xué)生時，不應(yīng)上升為絕對的通性通法.

一方面，長期絕對的通性通法會養(yǎng)成學(xué)生的惰性，遇到“通性通法”不能解決的問題時容易直接放棄而不做絲毫掙扎，如此則會窄化學(xué)生的眼界，阻礙學(xué)生的思考，打擊學(xué)生的探究.掙扎才是突破能力束縛的最大力量，自主思考和探究才能形成自己的基本活動經(jīng)驗，這就需要教師引領(lǐng)學(xué)生用辯證的眼光看待方法經(jīng)驗，并努力抓住方法失效與認(rèn)知矛盾的關(guān)鍵時機，適時引導(dǎo)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)與深入探究.“基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)能 創(chuàng)造自由呼吸的課堂，只有自由呼吸的課堂才能讓學(xué)生自由想像，使學(xué)生富有創(chuàng)新精神并能付諸實踐.”[1]

另一方面，解題本就沒有萬能之法，更沒有絕對優(yōu)和絕對爛的方法，一切方法都要看適用性.在傳授方法經(jīng)驗的同時，更應(yīng)該強調(diào)方法的適用性和優(yōu)劣性，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注一類問題共有哪些常見方法、各種方法的優(yōu)劣利弊，以及各種方法可行與不可行的關(guān)鍵原因，甚至還要總結(jié)每種方法能夠解決哪些問題.如此辯證的視角才是理性的數(shù)學(xué)眼光，如此辯證的思考才是理性的數(shù)學(xué)思維.引導(dǎo)學(xué)生辯證地看待方法經(jīng)驗，利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

“在解題教學(xué)中比告訴學(xué)生解題方法更重要的是指導(dǎo)學(xué)生自主探究解題思路，知道怎樣找到解題思路，如何尋找題眼(即解決問題的突破口)，如何比較各種解法的優(yōu)劣以及適用范圍.教師不僅要展示正確的解題思路，還要暴露自己解題中的思維過程、錯誤與困惑，不僅要展示學(xué)生在解題過程中的優(yōu)美解法和思維閃光點，更要鼓勵學(xué)生暴露解題過程中的錯誤，揭示形成錯誤的原因，還要善于從學(xué)生的錯誤中發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的萌芽.教師還必須重視對學(xué)生解題方法和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，揭示知識與方法、技能之間的內(nèi)在聯(lián)系，把自己成功的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和失敗的教訓(xùn)及其形成的原因和盤托出，供學(xué)生借鑒.”[2]