基于改進(jìn)型正則化MLS的風(fēng)概率分布三維數(shù)值擬合方法

張麗霞，趙 騫，李國良

（1.遼寧省大數(shù)據(jù)管理中心（遼寧省信息中心），遼寧 沈陽 110002；2.沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110870）

0 引言

風(fēng)能具有清潔、可再生、儲量豐富等特點(diǎn)。風(fēng)特征的統(tǒng)計(jì)與分析對風(fēng)資源的評估、風(fēng)電場的選址、機(jī)組的設(shè)計(jì)和布置起到重要作用[1]，[2]。在風(fēng)特征中，風(fēng)速和風(fēng)向的聯(lián)合概率分布同時描述了風(fēng)速和風(fēng)向的概率分布。風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合分布模型是一種典型的角度-線性分布，目前常用方法的不足之處是相鄰風(fēng)向上的風(fēng)速概率變化往往不連續(xù)。

為得到連續(xù)而準(zhǔn)確的概率分布，學(xué)者們利用各種計(jì)算機(jī)數(shù)值擬合方法來擬合風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率分布，如年最大風(fēng)作用時序法、隨機(jī)過程極值超越理論法和聯(lián)合分布概率方法[3]～[5]。隨機(jī)過程極值超越理論法是將風(fēng)速平均值看作具有二維平穩(wěn)隨機(jī)矢量的過程[6]。文獻(xiàn)[7]采用了角度-線性分布模型和截尾正態(tài)-威布爾混合分布[8]的形式來描述風(fēng)速線性變量，利用von Mises混合分布的形式描述風(fēng)向變量[9]，并對卡納里島的測風(fēng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，分析結(jié)果表明，與文獻(xiàn)[10]建立的高斯模型相比，該模型與實(shí)測數(shù)據(jù)的符合程度更高。文獻(xiàn)[11]基于Copula函數(shù)研究了風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合分布的相關(guān)性。文獻(xiàn)[12]基于最大熵原理提出了風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)建模方法。上述方法雖然在一定程度上得到了一個連續(xù)變化的概率分布，但所用模型通常不具有較強(qiáng)的通用性。

移動最小二乘法（MLS）是一種分區(qū)域擬合的方法，每個節(jié)點(diǎn)都有一組基系數(shù)aj（xnode）用于定義該位置附近的擬合曲線。MLS通用性較高，離散數(shù)據(jù)的分布無顯著規(guī)律時，也能實(shí)時擬合。

但是，MLS方法普遍存在過擬合的問題。為使模型具有準(zhǔn)確的表達(dá)能力，可以在代價(jià)函數(shù)J中引入正則化項(xiàng)，而傳統(tǒng)的正則方法采用單一的正則項(xiàng)系數(shù)，無差別的對較大基系數(shù)進(jìn)行抑制，忽略了基函數(shù)的不同階次對過擬合現(xiàn)象帶來的不同嚴(yán)重程度的影響。針對這一問題，本文提出了一種改進(jìn)型的正則化MLS方法，將傳統(tǒng)正則化方法中的單一的正則項(xiàng)系數(shù)改進(jìn)為正則項(xiàng)系數(shù)矩陣，對不同的基函數(shù)系數(shù)賦予不同的正則項(xiàng)系數(shù)，從而能夠針對基函數(shù)中的高次項(xiàng)進(jìn)行有效抑制。將該方法應(yīng)用于風(fēng)電場風(fēng)速風(fēng)向概率分布的三維曲面擬合，最終得到了較好的擬合效果。

1 移動最小二乘法

1.1 MLS方法

在一組不同位置的節(jié)點(diǎn)（node）空間坐標(biāo)x附近建立各自的擬合函數(shù)。每個節(jié)點(diǎn)位置xnode處均有 一 組aj（xnode）與pj（x）的 組 合，基 函 數(shù) 的 常 用 形式如表1所示。選定基函數(shù)形式后，只需要計(jì)算該點(diǎn)的一系列系數(shù)aj即可。每個節(jié)點(diǎn)的系數(shù)aj取值僅考慮其鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)，且距離節(jié)點(diǎn)越近的采樣點(diǎn)貢獻(xiàn)越大。

表1 常用基函數(shù)形式Table1 Common basis function forms

xnode附 近 的 擬 合 函 數(shù) 用unode（x）表 示。

式中：x為xnode附近的任意點(diǎn)位置坐標(biāo)。

對于函數(shù)unode（x）的精確局部逼近，需要使各采樣點(diǎn)空間位置xp的擬合函數(shù)值unode（xp）與采樣值up之間的加權(quán)殘差平方和達(dá)到最小。定義代價(jià)函數(shù)J為

式中：s=|xnode-xp|/rneibor為采樣點(diǎn)xp距離xnode的距離與鄰域半徑rneibor的比值，rneibor為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，需要根據(jù)采樣點(diǎn)之間的疏密程度進(jìn)行選取。

式（2）的矩陣形式可表示為

式中：

由此可以解得節(jié)點(diǎn)處系數(shù)矩陣為

求出系數(shù)矩陣后，應(yīng)用式（1），得到該節(jié)點(diǎn)鄰域內(nèi)的擬合函數(shù)unode（x）。該節(jié)點(diǎn)處擬合函數(shù)值為

將以上過程應(yīng)用于所有節(jié)點(diǎn)，便得到了完整區(qū)域的所有擬合節(jié)點(diǎn)值，從而得到擬合曲面。

1.2 改進(jìn)型正則化MLS方法

引入正則項(xiàng)后，殘差項(xiàng)J變?yōu)镴r。

式中：rj為懲罰因子。

擬合過程中，高次項(xiàng)基更容易引起過擬合，因此，應(yīng)該將高次基系數(shù)設(shè)置較大的正則項(xiàng)系數(shù)rj，以便給予其更高的懲罰，將低次基系數(shù)設(shè)置較小的正則項(xiàng)系數(shù)，甚至可以設(shè)置為0。將所有的正則項(xiàng)系數(shù)rj組成對角矩陣R。

結(jié) 合 式（13）可 將 式（12）寫 成 矩 陣 形 式。

結(jié) 合 式（9），將 式（14）對Anode求 偏 導(dǎo) 數(shù)，并 使之等于零。

通過式（15）進(jìn)一步解得系數(shù)矩陣Anode為

將式（16）帶入式（11）得到該節(jié)點(diǎn)的擬合值。當(dāng)矩陣R取0時，式（15）將退化為非正則化形式[式（10）]。

2 實(shí)例分析

2.1 測風(fēng)數(shù)據(jù)

本文采用汕頭市南澳洋東海上風(fēng)電項(xiàng)目20180109-20190108的測風(fēng)數(shù)據(jù)，其每小時觀測的年風(fēng)資源數(shù)據(jù)見表2。

表2 汕頭市南澳洋東海上風(fēng)電項(xiàng)目測風(fēng)數(shù)據(jù)Table2 Wind measurement data of offshore wind power project in Shantou

利用計(jì)算機(jī)編程技術(shù)統(tǒng)計(jì)出的風(fēng)速風(fēng)向概率分 布 如 圖1所 示。圖1（a），（b）分 別 為 風(fēng) 速 風(fēng) 向 聯(lián)合概率分布的柱狀圖和等高線，風(fēng)概率主要分布在Ⅰ，Ⅱ兩 個 區(qū) 域。圖1（c），（d）分 別 為 風(fēng) 速 和 風(fēng)向的邊緣概率分布。

圖1 原始風(fēng)速風(fēng)向概率分布Fig.1 Probability distribution of original speed and direction

由圖1可知：風(fēng)速為單峰分布，極大值在風(fēng)速為5～8m/s時；風(fēng)向?yàn)殡p峰分布，Ⅰ峰出現(xiàn)在風(fēng) 向 為40～50°，Ⅱ峰 出 現(xiàn) 在 風(fēng) 向 為210～230°。圖1雖能反映風(fēng)的概率分布，但是從結(jié)果上看，相鄰區(qū)域的概率分布具有一定的離散性，過渡不連續(xù)，這一方面是由于采樣點(diǎn)本身具有一定的隨機(jī)性，另一方面是由于采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)量有限，無法達(dá)到無限多，從而導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)的概率分布圖與真實(shí)的概率分布偏差較大。

2.2 改進(jìn)型正則化MLS擬合

在表2中隨機(jī)選取80%數(shù)據(jù)經(jīng)過歸一化處理后作為擬合用數(shù)據(jù)，其余20%數(shù)據(jù)經(jīng)過歸一化處理后作為測試用數(shù)據(jù)。擬合模型中，基函數(shù)選擇2維二階形式（表1），鄰域半徑選擇3。

2維二階形式的基函數(shù)共有6個。第1個為常 數(shù)1，代 表 零 次 基 函 數(shù)；第2，3個 分 別 為x，y，代表 一 次 基 函 數(shù)；第4，5，6個 分 別 為xy，x2，y2，代 表二次基函數(shù)。為了降低模型復(fù)雜度，將相同次基函數(shù)賦予相同正則項(xiàng)系數(shù)，即將式（13）中r1取為c0，r2～r3取 為c1，r4～r6取 為c2，結(jié) 果 如 式 （17）所示。

由于零次項(xiàng)不應(yīng)該受到懲罰，因此，c0取為0，一次項(xiàng)應(yīng)該得到較小的懲罰，因此，將c1取為較小的正實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)應(yīng)該得到較大的懲罰，因此，將c2取為較大正實(shí)數(shù)。

現(xiàn) 將c0，c1，c2均 取 為0，使 之 退 化 成 傳 統(tǒng)MLS，擬合結(jié)果如圖2所示。其中，圖2（a）為對圖1（a）擬 合 后 的 三 維 曲 面，圖2（b）為 擬 合 后 的 等 高線圖。

圖2 傳統(tǒng)MLS擬合結(jié)果Fig.2 Fitting result of traditional MLS

由圖2可知，擬合結(jié)果與圖1所示的原始圖像存在較大差別，說明此時過擬合現(xiàn)象嚴(yán)重。進(jìn)一步將測試用數(shù)據(jù)代入擬合后曲面，得到該模型對測試用數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的均方根誤差MSE為0.18。

將c0恒取為0，而c1，c2在一定范圍內(nèi)變化時，模型對測試數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果的MSE之間的變化關(guān)系如圖3所示。

圖3 不同c1，c2取值對應(yīng)測試集MSE結(jié)果Fig.3 MSE result of test set with different c1and c2

由圖3可知：在c2相同的條件下，MSE隨c1的增大而增大，說明對低次基系數(shù)進(jìn)行抑制會產(chǎn)生欠擬合，從而增大模型的預(yù)測誤差；在c1相同的條件下，逐漸增大c2，MSE將經(jīng)歷先減小后增大的過程，說明隨著對高次基系數(shù)懲罰程度的逐漸增加，過擬合程度逐漸得到降低；當(dāng)c2增加到3000時，擬合程度整體達(dá)到最優(yōu)，此后，隨著c2繼續(xù)增加，由于對二次基系數(shù)的過渡抑制導(dǎo)致欠擬合，因此，MSE開始逐漸增加。

由圖3可 知，在c1取0，c2取3000時 得 到 最小的MSE，此時的擬合結(jié)果如圖4所示。

圖4（a），（b）分 別 為 擬 合 后 的 曲 面 圖 和 等 高線 圖。圖4（c），（d）分 別 為 擬 合 后 風(fēng) 速 和 風(fēng) 向 的 邊緣概率分布曲線。結(jié)合圖1和圖4可知，圖4中的擬合曲面與圖1（a），（b）的采樣點(diǎn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果一致，圖4中的擬合后的邊緣概率密度分布也明顯與圖1（c），（d）一 致。

圖4 MLS曲面擬合的風(fēng)速風(fēng)向概率密度分布Fig.4 Probability density distribution of wind speed and direction surface fitted by MLS

2.3 模型通用性測試

取c1=0，c2=3000，將擬合過程分別應(yīng)用于2017年莊河海上測風(fēng)數(shù)據(jù)，高度為10m和100m的測風(fēng)數(shù)據(jù)（表3）擬合結(jié)果分別如圖5，6所示。

表3 莊河海上測風(fēng)數(shù)據(jù)Table3 Wind measurement data of offshore in Zhuanghe

由 圖5（a），（b）可 知，概 率 分 布 在 不 同 區(qū) 域 的波動較大，無法明顯觀察出風(fēng)速、風(fēng)向的分布規(guī)律。

由 圖5（c），（d）可 知：風(fēng) 速 風(fēng) 向 聯(lián) 合 概 率 分 布仍然主要集中在Ⅰ，Ⅱ兩個區(qū)域；區(qū)域Ⅰ的風(fēng)速較小，平均風(fēng)速為5m/s，風(fēng)向分布范圍較大，多集中在150～200°；區(qū)域Ⅱ的風(fēng)速較大，平均風(fēng)速為8 m/s，風(fēng)向分布范圍較小，多集中在330～350°。這主要是由于區(qū)域Ⅰ多由夏季風(fēng)組成，風(fēng)向由陸地到海洋，上風(fēng)向受陸地建筑物影響，風(fēng)速較小，而風(fēng)向變化范圍較大，區(qū)域Ⅱ多由冬季風(fēng)組成，風(fēng)向由海洋到陸地，上風(fēng)向不受陸地建筑物影響，風(fēng)速較大，風(fēng)向較集中。

圖5 高度10m風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率分布Fig.5 Joint probability distribution of wind speed and direction at10m height

由圖6可知：原始采樣點(diǎn)的概率分布仍然具有較大波動，而擬合后的概率分布規(guī)律較明顯；與10m高度風(fēng)速的概率分布相比，區(qū)域Ⅰ的平均風(fēng)速有所升高，由5m/s變?yōu)?m/s，風(fēng)向分布范圍變小，由150～200°變 為170～200°，而 區(qū) 域Ⅱ的 變 化不明顯。這主要是由于100m遠(yuǎn)大于建筑物高度，因此，風(fēng)速、風(fēng)向受建筑物影響較小。

圖6 高度100m風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率分布Fig.6 Joint probability distribution of wind speed and direction at100m height

3 結(jié)論

針對MLS方法中存在的過擬合問題，本文提出了一種改進(jìn)型的正則化MLS方法，進(jìn)一步考慮了基函數(shù)多項(xiàng)式中不同階次項(xiàng)對過擬合現(xiàn)象產(chǎn)生不同程度的影響，對不同階次基函數(shù)系數(shù)賦予不同的正則項(xiàng)系數(shù)，從而針對基函數(shù)中的高次項(xiàng)進(jìn)行有效抑制。將該方法應(yīng)用于風(fēng)電場風(fēng)速風(fēng)向概率分布的三維曲面擬合，得到以下結(jié)論。

①該改進(jìn)型正則化MLS方法有效克服了傳統(tǒng)MLS方法在對風(fēng)概率分布擬合過程中存在的過擬合問題。正則項(xiàng)系數(shù)c1，c2的最優(yōu)取值分別為0和3000，此時模型對測試集數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果的MSE誤差由原來的0.18降為0.013，圖像顯示結(jié)果表明，擬合效果得到較大程度的提高。

②使用該方法對3個不同區(qū)域風(fēng)分布樣本進(jìn)行測試。測試結(jié)果表明，經(jīng)該方法擬合后，風(fēng)概率分布規(guī)律性明顯增強(qiáng)，能夠有效描述風(fēng)資源特性，為風(fēng)能的充分利用提供了技術(shù)支撐，并且該模型能夠在相同的參數(shù)下完成對多區(qū)域風(fēng)分布擬合，具有較強(qiáng)的通用性。