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    研讀教材重思維突出生本育素養(yǎng)

    2023-02-08 14:03:33夏繼平
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年11期
    關(guān)鍵詞:余弦定理向量證明

    夏繼平

    普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)基本理念明確指出:高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹人根本任務(wù),培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生,實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì).基于對(duì)上述理念的理解,筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)關(guān)注以下內(nèi)容:(1)理解教材確立教學(xué)主線;(2)激活思維巧設(shè)問題情境;(3)以生為本設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng);(4)關(guān)注生成滲透素養(yǎng)評(píng)價(jià).四方面內(nèi)容既彼此獨(dú)立,又相互關(guān)聯(lián),要求教師有扎實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)識(shí)和立德樹人的教育情懷,既能挖掘教材的素養(yǎng)要求,又能洞悉學(xué)生的思維水平,更要理解素養(yǎng)提升是在運(yùn)用數(shù)學(xué)思維探求數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程中達(dá)成的.下面筆者以“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例,談如何在教學(xué)過程中落實(shí)這四個(gè)方面內(nèi)容.筆者所選取的“余弦定理"是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修2第11章解三角形第1課時(shí).

    1理解教材確立教學(xué)主線

    教材在本章引言處指出的許多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊、角問題,并提出兩個(gè)問題:任意三角形的邊與角存在怎樣的關(guān)系?如何利用這些關(guān)系解決實(shí)際問題?在本節(jié)課的開始,教材直接指出邊和角涉及長(zhǎng)度和方向兩個(gè)要素,這讓我們想到數(shù)形結(jié)合的工具——向量,可以嘗試從向量等式BC= BA+AC出發(fā),利用向量法證明余弦定理.

    基于以上描述,可以看出余弦定理的證明是突出向量解決幾何問題的一個(gè)好素材.教材的這種處理方式,旨在顯示向量在解決幾何問題中的工具作用,是連接形與數(shù)的橋梁,讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用向量的方法分析、解決幾何問題.然而在具體的教學(xué)實(shí)踐中,大多數(shù)教師都覺得學(xué)生對(duì)用向量方法來證明余弦定理會(huì)感到突然.學(xué)生證明定理的方法是什么?怎樣讓學(xué)生能想到用向量法來證明余弦定理?為什么要在向量關(guān)系式的兩邊同時(shí)平方?順著向量方法思考下去,學(xué)生還能想到怎樣的證明方法?以上問題便是學(xué)生在探究余弦定理的證明過程中必然會(huì)遇到的思維障礙.上述問題綜合起來可以理解為余弦定理是描述三角形中三邊與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)等式,其本質(zhì)是揭示三角形的邊角關(guān)系,常見的向量法、幾何法、解析法等證明方法也是圍繞邊角關(guān)系的建構(gòu)而進(jìn)行.另外,余弦定理體現(xiàn)邊角等量關(guān)系,滿足知三求一,符合函數(shù)與方程思想.鑒于以上分析,我們可以確立本節(jié)課的教學(xué)主線就是通過向量法、幾何法、解析法研究三角形中的邊角等量關(guān)系,層層遞進(jìn)證明余弦定理,證明過程中不斷滲透知三求一的函數(shù)與方程思想,同時(shí)使學(xué)生體會(huì)向量法的優(yōu)越性.

    2 層層設(shè)問激活本質(zhì)思維

    基于對(duì)教材主線的認(rèn)識(shí),引導(dǎo)學(xué)生用向量法證明余弦定理是本節(jié)課的重點(diǎn),也是難點(diǎn).

    常見的余弦定理證明有三種方法,其思維特點(diǎn)各有不同.幾何法側(cè)重構(gòu)建輔助圖形(常構(gòu)建直角三角形),向量法側(cè)重基底選擇,解析法側(cè)重幾何量的代數(shù)轉(zhuǎn)換.如何引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想并實(shí)施向量法證明?這需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}.我們可從引導(dǎo)學(xué)生提取記憶中有效知識(shí)入手,提出如下問題激活思維.

    問題1 本學(xué)期所學(xué)知識(shí)中和三角形相關(guān)的是什么?

    預(yù)設(shè)回答平面向量.

    追問1 畫圖并回答,如何用向量表示問題中的幾何元素?

    追問2 幾何問題中出現(xiàn)線段長(zhǎng)度時(shí),可以轉(zhuǎn)化成向量的哪種運(yùn)算?

    追問3 如何在向量運(yùn)算中運(yùn)用已知量夾角?

    追問4 如何通過以上向量運(yùn)算,解決這一幾何問題?

    設(shè)計(jì)意圖 如何建系涉及后續(xù)運(yùn)算是否簡(jiǎn)便,屬于解決問題時(shí)的必然思維.如何引導(dǎo)學(xué)生想到利用三角函數(shù)定義避免分類討論,是對(duì)教師思維教學(xué)水平的考驗(yàn).筆者設(shè)計(jì)的2個(gè)追問能引導(dǎo)學(xué)生深層次考慮問題,依三角函數(shù)定義,利用角度序?qū)懽鴺?biāo),這不僅避免了學(xué)生無目的建系,同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思維能力的提升.

    3 以生為本設(shè)計(jì)分層活動(dòng)

    好的設(shè)問是教學(xué)的前提,但教學(xué)活動(dòng)的主體是層次不同的學(xué)生,要讓他們?cè)跀?shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,從“對(duì)著書教”變?yōu)椤皩?duì)著人教”,要求教師不僅要有設(shè)計(jì)問題的能力,還要有洞悉學(xué)生思維、甄別學(xué)生參與的能力.不同層次的學(xué)生有不同的需求,如何最大限度地覆蓋全體學(xué)生,就需要設(shè)計(jì)好分層教學(xué)活動(dòng).本節(jié)課,筆者進(jìn)行如下分層教學(xué)活動(dòng):

    3.1 學(xué)生獨(dú)立思考,教師個(gè)別輔導(dǎo)

    問題2雖然給出了4個(gè)追問幫助學(xué)生搭建了思維階梯,但這只能對(duì)大部分學(xué)生起到發(fā)展思維的作用.對(duì)于少數(shù)層次較低的學(xué)生,筆者認(rèn)為教師應(yīng)利用課堂實(shí)踐操作的時(shí)間,通過個(gè)別輔導(dǎo)的方式引導(dǎo)他們完成余弦定理的向量法證明.

    3.2 學(xué)生板演過程,教師指導(dǎo)自學(xué)

    問題4的三類圖形證明筆者安排層次較高的學(xué)生板演,與此同時(shí),教師巡堂觀察,指導(dǎo)能力較弱的學(xué)生觀察板演內(nèi)容,進(jìn)行自學(xué)內(nèi)化,并作好筆記.

    3.3 學(xué)生合作交流,教師投影點(diǎn)評(píng)對(duì)于

    問題5,筆者認(rèn)為可讓學(xué)生在獨(dú)立思考后合作探究式學(xué)習(xí).同學(xué)之間交流想法、心得,有時(shí)比教師的啟發(fā)灌輸更有效.教師把學(xué)生的探究成果投影展示,恰當(dāng)點(diǎn)評(píng),更能增強(qiáng)學(xué)生的成就感,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,激活數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    4 素養(yǎng)評(píng)價(jià)指導(dǎo)課堂生成

    任何教學(xué)預(yù)設(shè),都不能保證百分之百在課堂順利完成,教學(xué)對(duì)象畢竟是人,每個(gè)人都會(huì)存在獨(dú)有的思維習(xí)慣,因此,課堂生成是必然現(xiàn)象,恰當(dāng)?shù)靥幚碚n堂教學(xué)中的各種生成是教師課堂駕馭能力高超的最重要標(biāo)志之一.把課堂生成轉(zhuǎn)化為教學(xué)素材,因勢(shì)利導(dǎo),以學(xué)定教,順學(xué)而為,進(jìn)行目標(biāo)多元、方式多樣的過程性評(píng)價(jià),是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.如:部分優(yōu)等生通過預(yù)習(xí)直接回答向量法證明,那問題2及其4個(gè)追問是否還需要進(jìn)行?又如:學(xué)生直接用初中的輔助線作高證明,不用向量,我們?cè)撊绾我龑?dǎo)?等等.

    筆者認(rèn)為對(duì)于課堂生成的評(píng)價(jià)應(yīng)遵循三個(gè)有助于:有助于學(xué)生知識(shí)技能的掌握,有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展,有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)自信.所以學(xué)生能直接操作向量法證明,我們首先應(yīng)當(dāng)肯定、表揚(yáng),進(jìn)而提出問題:還有哪些證明方法?哪種最簡(jiǎn)潔?這些方法的本質(zhì)是什么?寫下來當(dāng)堂展示或課后交流.這樣的總結(jié)歸納性任務(wù)能有效發(fā)展高層次學(xué)生的思維水平,促進(jìn)其素養(yǎng)的全面提升.這樣問題2及4個(gè)追問,面向其余學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行.對(duì)于學(xué)生直接用輔助線做高的方法,我們也要給出積極評(píng)價(jià),給足時(shí)間讓他們完成證明,同時(shí)提出銳角、直角、鈍角討論思考,并追問如何規(guī)避這一問題,引導(dǎo)他們回到問題2及4個(gè)追問上來,完成對(duì)幾何類問題解決方法的系統(tǒng)構(gòu)建.

    5 思考感悟

    通過本節(jié)課的教學(xué),筆者深刻領(lǐng)會(huì)到教師教學(xué)的對(duì)象是人,而且是一群人,這群人不管學(xué)習(xí)能力、學(xué)科素養(yǎng)差別如何,但他們絕大部分都有一顆進(jìn)取之心,都希望在課堂上得到教師的尊重與啟發(fā).因此,我們不能憑一時(shí)的分?jǐn)?shù)高低來輕易否定一個(gè)學(xué)生,學(xué)生的潛能是無窮的,只要我們善于激發(fā)引導(dǎo)、積極評(píng)價(jià),他們會(huì)創(chuàng)造出令人驚嘆的成果.

    教材是知識(shí)的載體,但知識(shí)的脈絡(luò)、框架、結(jié)構(gòu)、過程是動(dòng)態(tài)的,這些是教材不能直接呈現(xiàn)的.教師是知識(shí)的先行者,課堂教學(xué)中,教師不能照本宣科,這樣不僅違背了教材編寫意圖,而且傷害了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,這和學(xué)生照書自學(xué)釋疑沒什么區(qū)別.教師作為知識(shí)先行者的價(jià)值在于,能深刻分析知識(shí)脈絡(luò),理順知識(shí)結(jié)構(gòu),同時(shí)關(guān)注學(xué)生思維狀態(tài),合理設(shè)計(jì),形成人人參與,并有良好獲得的課堂教學(xué).這正是新課標(biāo)理念讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展的必然過程,也是課堂教學(xué)魅力的本源.

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