研讀教材重思維突出生本育素養(yǎng)

夏繼平

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）基本理念明確指出：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”．高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì).基于對(duì)上述理念的理解，筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)關(guān)注以下內(nèi)容：（1）理解教材確立教學(xué)主線;（2）激活思維巧設(shè)問題情境;（3）以生為本設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng);（4）關(guān)注生成滲透素養(yǎng)評(píng)價(jià)．四方面內(nèi)容既彼此獨(dú)立，又相互關(guān)聯(lián)，要求教師有扎實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)識(shí)和立德樹人的教育情懷，既能挖掘教材的素養(yǎng)要求，又能洞悉學(xué)生的思維水平，更要理解素養(yǎng)提升是在運(yùn)用數(shù)學(xué)思維探求數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程中達(dá)成的．下面筆者以“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談如何在教學(xué)過程中落實(shí)這四個(gè)方面內(nèi)容．筆者所選取的“余弦定理"是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修2第11章解三角形第1課時(shí).

1理解教材確立教學(xué)主線

教材在本章引言處指出的許多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊、角問題，并提出兩個(gè)問題：任意三角形的邊與角存在怎樣的關(guān)系？如何利用這些關(guān)系解決實(shí)際問題？在本節(jié)課的開始，教材直接指出邊和角涉及長(zhǎng)度和方向兩個(gè)要素，這讓我們想到數(shù)形結(jié)合的工具——向量，可以嘗試從向量等式BC= BA+AC出發(fā)，利用向量法證明余弦定理.

基于以上描述，可以看出余弦定理的證明是突出向量解決幾何問題的一個(gè)好素材.教材的這種處理方式，旨在顯示向量在解決幾何問題中的工具作用，是連接形與數(shù)的橋梁，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用向量的方法分析、解決幾何問題．然而在具體的教學(xué)實(shí)踐中，大多數(shù)教師都覺得學(xué)生對(duì)用向量方法來證明余弦定理會(huì)感到突然．學(xué)生證明定理的方法是什么？怎樣讓學(xué)生能想到用向量法來證明余弦定理？為什么要在向量關(guān)系式的兩邊同時(shí)平方？順著向量方法思考下去，學(xué)生還能想到怎樣的證明方法？以上問題便是學(xué)生在探究余弦定理的證明過程中必然會(huì)遇到的思維障礙．上述問題綜合起來可以理解為余弦定理是描述三角形中三邊與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)等式，其本質(zhì)是揭示三角形的邊角關(guān)系，常見的向量法、幾何法、解析法等證明方法也是圍繞邊角關(guān)系的建構(gòu)而進(jìn)行．另外，余弦定理體現(xiàn)邊角等量關(guān)系，滿足知三求一，符合函數(shù)與方程思想．鑒于以上分析，我們可以確立本節(jié)課的教學(xué)主線就是通過向量法、幾何法、解析法研究三角形中的邊角等量關(guān)系，層層遞進(jìn)證明余弦定理，證明過程中不斷滲透知三求一的函數(shù)與方程思想，同時(shí)使學(xué)生體會(huì)向量法的優(yōu)越性.

2 層層設(shè)問激活本質(zhì)思維

基于對(duì)教材主線的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用向量法證明余弦定理是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．

常見的余弦定理證明有三種方法，其思維特點(diǎn)各有不同．幾何法側(cè)重構(gòu)建輔助圖形（常構(gòu)建直角三角形），向量法側(cè)重基底選擇，解析法側(cè)重幾何量的代數(shù)轉(zhuǎn)換．如何引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想并實(shí)施向量法證明？這需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}．我們可從引導(dǎo)學(xué)生提取記憶中有效知識(shí)入手，提出如下問題激活思維．

問題1 本學(xué)期所學(xué)知識(shí)中和三角形相關(guān)的是什么？

預(yù)設(shè)回答平面向量．

追問1 畫圖并回答，如何用向量表示問題中的幾何元素？

追問2 幾何問題中出現(xiàn)線段長(zhǎng)度時(shí)，可以轉(zhuǎn)化成向量的哪種運(yùn)算？

追問3 如何在向量運(yùn)算中運(yùn)用已知量夾角？

追問4 如何通過以上向量運(yùn)算，解決這一幾何問題？

設(shè)計(jì)意圖 如何建系涉及后續(xù)運(yùn)算是否簡(jiǎn)便，屬于解決問題時(shí)的必然思維．如何引導(dǎo)學(xué)生想到利用三角函數(shù)定義避免分類討論，是對(duì)教師思維教學(xué)水平的考驗(yàn)．筆者設(shè)計(jì)的2個(gè)追問能引導(dǎo)學(xué)生深層次考慮問題，依三角函數(shù)定義，利用角度序?qū)懽鴺?biāo)，這不僅避免了學(xué)生無目的建系，同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思維能力的提升．

3 以生為本設(shè)計(jì)分層活動(dòng)

好的設(shè)問是教學(xué)的前提，但教學(xué)活動(dòng)的主體是層次不同的學(xué)生，要讓他們?cè)跀?shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，從“對(duì)著書教”變?yōu)椤皩?duì)著人教”，要求教師不僅要有設(shè)計(jì)問題的能力，還要有洞悉學(xué)生思維、甄別學(xué)生參與的能力．不同層次的學(xué)生有不同的需求，如何最大限度地覆蓋全體學(xué)生，就需要設(shè)計(jì)好分層教學(xué)活動(dòng)．本節(jié)課，筆者進(jìn)行如下分層教學(xué)活動(dòng)：

3.1 學(xué)生獨(dú)立思考，教師個(gè)別輔導(dǎo)

問題2雖然給出了4個(gè)追問幫助學(xué)生搭建了思維階梯，但這只能對(duì)大部分學(xué)生起到發(fā)展思維的作用．對(duì)于少數(shù)層次較低的學(xué)生，筆者認(rèn)為教師應(yīng)利用課堂實(shí)踐操作的時(shí)間，通過個(gè)別輔導(dǎo)的方式引導(dǎo)他們完成余弦定理的向量法證明．

3.2 學(xué)生板演過程，教師指導(dǎo)自學(xué)

問題4的三類圖形證明筆者安排層次較高的學(xué)生板演，與此同時(shí)，教師巡堂觀察，指導(dǎo)能力較弱的學(xué)生觀察板演內(nèi)容，進(jìn)行自學(xué)內(nèi)化，并作好筆記．

3.3 學(xué)生合作交流，教師投影點(diǎn)評(píng)對(duì)于

問題5，筆者認(rèn)為可讓學(xué)生在獨(dú)立思考后合作探究式學(xué)習(xí)．同學(xué)之間交流想法、心得，有時(shí)比教師的啟發(fā)灌輸更有效．教師把學(xué)生的探究成果投影展示，恰當(dāng)點(diǎn)評(píng)，更能增強(qiáng)學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，激活數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

4 素養(yǎng)評(píng)價(jià)指導(dǎo)課堂生成

任何教學(xué)預(yù)設(shè)，都不能保證百分之百在課堂順利完成，教學(xué)對(duì)象畢竟是人，每個(gè)人都會(huì)存在獨(dú)有的思維習(xí)慣，因此，課堂生成是必然現(xiàn)象，恰當(dāng)?shù)靥幚碚n堂教學(xué)中的各種生成是教師課堂駕馭能力高超的最重要標(biāo)志之一．把課堂生成轉(zhuǎn)化為教學(xué)素材，因勢(shì)利導(dǎo)，以學(xué)定教，順學(xué)而為，進(jìn)行目標(biāo)多元、方式多樣的過程性評(píng)價(jià)，是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑．如：部分優(yōu)等生通過預(yù)習(xí)直接回答向量法證明，那問題2及其4個(gè)追問是否還需要進(jìn)行？又如：學(xué)生直接用初中的輔助線作高證明，不用向量，我們?cè)撊绾我龑?dǎo)？等等．

筆者認(rèn)為對(duì)于課堂生成的評(píng)價(jià)應(yīng)遵循三個(gè)有助于：有助于學(xué)生知識(shí)技能的掌握，有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)自信．所以學(xué)生能直接操作向量法證明，我們首先應(yīng)當(dāng)肯定、表揚(yáng)，進(jìn)而提出問題：還有哪些證明方法？哪種最簡(jiǎn)潔？這些方法的本質(zhì)是什么？寫下來當(dāng)堂展示或課后交流．這樣的總結(jié)歸納性任務(wù)能有效發(fā)展高層次學(xué)生的思維水平，促進(jìn)其素養(yǎng)的全面提升．這樣問題2及4個(gè)追問，面向其余學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行．對(duì)于學(xué)生直接用輔助線做高的方法，我們也要給出積極評(píng)價(jià)，給足時(shí)間讓他們完成證明，同時(shí)提出銳角、直角、鈍角討論思考，并追問如何規(guī)避這一問題，引導(dǎo)他們回到問題2及4個(gè)追問上來，完成對(duì)幾何類問題解決方法的系統(tǒng)構(gòu)建．

5 思考感悟

通過本節(jié)課的教學(xué)，筆者深刻領(lǐng)會(huì)到教師教學(xué)的對(duì)象是人，而且是一群人，這群人不管學(xué)習(xí)能力、學(xué)科素養(yǎng)差別如何，但他們絕大部分都有一顆進(jìn)取之心，都希望在課堂上得到教師的尊重與啟發(fā)．因此，我們不能憑一時(shí)的分?jǐn)?shù)高低來輕易否定一個(gè)學(xué)生，學(xué)生的潛能是無窮的，只要我們善于激發(fā)引導(dǎo)、積極評(píng)價(jià)，他們會(huì)創(chuàng)造出令人驚嘆的成果．

教材是知識(shí)的載體，但知識(shí)的脈絡(luò)、框架、結(jié)構(gòu)、過程是動(dòng)態(tài)的，這些是教材不能直接呈現(xiàn)的．教師是知識(shí)的先行者，課堂教學(xué)中，教師不能照本宣科，這樣不僅違背了教材編寫意圖，而且傷害了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，這和學(xué)生照書自學(xué)釋疑沒什么區(qū)別．教師作為知識(shí)先行者的價(jià)值在于，能深刻分析知識(shí)脈絡(luò)，理順知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)關(guān)注學(xué)生思維狀態(tài)，合理設(shè)計(jì)，形成人人參與，并有良好獲得的課堂教學(xué)．這正是新課標(biāo)理念讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展的必然過程，也是課堂教學(xué)魅力的本源．