相等代數(shù)上態(tài)的存在性

梁婕 , 朱勇, 辛小龍, 王軍濤

(1. 陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 陜西 渭南 714000;2. 西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127;3. 西安工程大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710048;4. 西安石油大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710065)

1 引言

相等代數(shù)是由Jenei S. 提出, 它為模糊類型理論提供了一個可能的代數(shù)語義.如Borzooei R. A. 等人[1]提出并且研究了相等代數(shù)的蘊涵濾子, 奇異濾子及其素濾子, 并且研究了它們之間的關(guān)系, 2019 年, 文獻[2] 研究了超相等代數(shù)的強超推理系統(tǒng),在2021 年, Borzooei R. A. 等人[3]研究了超相等代數(shù)上的濾子理論, 態(tài)理論在研究模糊邏輯和它相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中扮演了一個十分重要的角色. 特別是態(tài)的存在性理論是一個十分重要的課題, 引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注. 如MTL - 代數(shù)上的態(tài)的存在性[4], 剩余格上的Bosbach 態(tài)和Rie?an 態(tài)[5],R0- 代數(shù)上的態(tài)[6], 等等, 而相等代數(shù)是較它們而言更為一般的代數(shù)結(jié)構(gòu). 2018 年程曉云介紹了偽相等代數(shù)上的廣義態(tài)映射和態(tài)[7]. 基于此, 研究相等代數(shù)上態(tài)的存在性是有意義的. 本文討論了相等代數(shù)上態(tài)的存在性, 得到了以下結(jié)論: (1) 有界可交換的相等代數(shù)ε有Bosbach 態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)ε有奇異濾子; (2)有界的相等代數(shù)?有Rie?an 態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)?存在弱奇異濾子F.

2 預(yù)備知識

定義2.1[8]一個(2,2,0) 型的代數(shù)ε= (E,∧,,1) 被稱為相等代數(shù). 若滿足下列條件: 對任意的x,y,z∈E,

(E1) (E,∧,1) 是一個有著最大元1 的交半格;

(E2)xy=yx;

(E3)xx=1;

(E4)x1=x;

(E5)x≤y≤z推出xz≤yz和xz≤xy;

(E6)xy≤(x∧z)(y∧z);

(E7)xy≤(xz)(yz).

?x→y=x(x∧y).

?x?y=(x→y)∧(y→x).

一個相等代數(shù)(E,∧,,1) 被稱為是有界的, 如果存在一個元素0 ∈E使得對任意的x∈E有0 ≤x. 在一個有界的相等代數(shù)E中, 對任意的x∈E, 運算“′” 通過x′=x→0 =x0 來定義. 如果對任意的x∈E, 有(x′)′=x, 則這個有界的相等代數(shù)E被稱為是對合的. 如果對任意的x,y∈E, 有(x→y) →y= (y→x) →x, 則相等代數(shù)E被稱為是可交換的.

為了方便, 記相等代數(shù)(E,∧,,1) 為ε, 有界相等代數(shù)(E,∧,,0,1) 為?.

命題2.1[8-9] 設(shè)?= (E,∧,,0,1) 是一個有界的相等代數(shù). 則下面的性質(zhì)成立:對任意的x,y,z∈E,

(R1) 1 →x=x,x→1=1;

(R2)x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=1;

(R3)x≤(x→y)→y;

(R4)x≤y推出y→z≤x→z,z→x≤z→y;

(R5) 0?=1, 1?=0,x≤x??,x???=x?;

(R6)x→y=((x→y)→y)→y;

(R7)x→y≤y?→x?;

(R8)x→(y→z)=y→(x→z).

定義2.2[10]設(shè)ε= (E,∧,,1) 是一個相等代數(shù),F是E的一個非空子集. 若F滿足以下條件: 對任意的x,y∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii) 若x∈F且x≤y, 推出y∈F;

(iii) 若x∈F且xy∈F, 推出y∈F. 則稱F是ε的一個濾子.

注2.1ε的一個濾子F如果滿足F≠E, 則F被稱為ε的真濾子.

定義2.3[10-11]設(shè)ε是一個相等代數(shù),F(ε) 為ε的所有濾子的集合. 則F∈F(ε)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x,y∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii) 若x∈F且x→y∈F推出y∈F.

定義2.4[1]設(shè)ε是一個相等代數(shù), 則E的一個非空子集F被稱為是奇異濾子.如果F滿足以下條件: 對任意的x,y,z∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii)z→(y→x)∈F且z∈F推出((x→y)→y)→y∈F.

推論2.1[1]設(shè)ε是一個相等代數(shù), 則F是E的一個奇異濾子當(dāng)且僅當(dāng)E/F是一個可交換的相等代數(shù).

命題2.2[1]設(shè)ε是一個相等代數(shù),F是E的一個奇異濾子當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x,y∈E有y→x∈F, 推出((x→y)→y)→x∈F.

定義2.5[12]一個(2,1,0) 型代數(shù)(B,⊕,?,0) 被稱為是MV - 代數(shù). 如果它滿足以下條件: 對任意的x,y∈B,

(MV1) (B,⊕,0) 是一個交換半群;

(MV2) 0?⊕x=0?;

(MV3) (x?)?=x;

(MV4) (x?⊕y)?⊕y=(y?⊕x)?⊕x.

定義2.6[13]一個(2,1,0) 型代數(shù)(W,→,?,0) 被稱為是Wajsberg - 代數(shù). 如果它滿足以下條件: 對任意的x,y,z∈W,

(W1) 1 →x=x;

(W2) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(W3) (x→y)→y=(y→x)→x;

(W4) (x?→y?)→(y→x)=1.

引理2.1[13]Wajsberg - 代數(shù)和MV - 代數(shù)是等價的.

3 相等代數(shù)上Bosbach 態(tài)的存在性

本節(jié)主要研究有界相等代數(shù)上Bosbach 態(tài)的存在性, 并討論了Bosbach 態(tài)和奇異濾子之間的關(guān)系.

定理3.1[9](i) 設(shè)B = (B,⊕,?,0) 是一個MV - 代數(shù), 則ψ(B) = (B,∧,?,0,1)是一個有界可交換的相等代數(shù). 在這里, 對任意的x,y∈B, →和最大元1 按照如下方式定義:x→y=x?⊕y和1 = 0?. 而且, 等價運算?按照如下方式定義:x?y=(x→y)∧(y→x) 和x→y=x?(x∧y).

(ii) 設(shè)?= (E,∧,,1) 是一個有界可交換的相等代數(shù), 則Φ(?) = (E,⊕,?,0) 是一個MV - 代數(shù). 在這里, 對任意的x,y∈E,⊕和?按照如下方式定義:x⊕y=x′→y,x?=x′.

推論3.1設(shè)?是一個有界的相等代數(shù),F是?的一個濾子. 則下面的表述是等價的:

(1)F是一個奇異濾子;

(2) 商等價代數(shù)E/F是一個有界可交換的相等代數(shù);

(3) 商等價代數(shù)E/F是一個MV - 代數(shù).

證明(1)?(2) 由推論2.1 可得.

(2)?(3) 因為有界可交換的相等代數(shù)是一個Wajsberg - 代數(shù), 則由引理2.1 可知商等價代數(shù)E/F是一個MV - 代數(shù).

定義3.1[7]設(shè)?是一個有界的相等代數(shù), 則在?上的Bosbach 態(tài)是指存在一個函數(shù)s:E→[0,1] 滿足下面的幾個條件:

(BS1)s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x),?x,y∈E;

(BS2)s(0)=0 和s(1)=1.

命題3.1[7]設(shè)s:E→[0,1] 的函數(shù)滿足s(0)=0, 則下面的性質(zhì)是等價的, 對任意的x,y∈E,

(1)s是ε上的Bosbach 態(tài);

(2) 如果x≤y, 則s(y→x)=1-s(y)+s(x);

(3)s(y→x)=1-s(y)+s(x∧y).

命題3.2[7]設(shè)s是ε上的Bosbach 態(tài),則下面的性質(zhì)是成立的,對任意的x,y∈E,

(1)x≤y推出s(y→x)=1-s(y)+s(x)=s(xy);

(2)s(x?)=1-s(x);

(3)s(x??)=s(x).

引理3.1[7]設(shè)ε是一個相等代數(shù),s是ε上的Bosbach 態(tài), 可以得到是ε的一個濾子.

引理3.2[14]任意一個MV - 代數(shù)上都存在Bosbach 態(tài).

定理3.2設(shè)?是一個有界可交換的相等代數(shù), 則下面的條件是等價的:

(1)?有一個Bosbach 態(tài);

(2)?有一個奇異濾子.

證明(1)?(2). 設(shè)?是一個相等代數(shù), 并且s是?的Bosbach 態(tài), 則由引理3.1知ker(s) 是一個濾子. 若x→y∈ker(s), 則s(x→y) = 1. 因為s是一個Bosbach態(tài), 由定義3.1 有s(y)+s(y→x) =s(x)+s(x→y) =s(x)+1 , 又由命題2.1 (R1)和(R8) 有

即s(y)=s((y→x)→x). 又由

可以得到s(((y→x)→x)→y)=1, 也就是說, 由命題2.2, 有

(2)?(1). 設(shè)ε是一個奇異濾子, 由推論3.1 知商等價代數(shù)E/F是一個MV -代數(shù). 由引理3.2, 可得E/F上存在一個Bosbach 態(tài). 對任意的x∈E, 定義s(x)=s1(x/F), 則可知s是ε上的Bosbach 態(tài).

定義3.2[7]設(shè)?是一個有界的相等代數(shù), 則在?上的態(tài)射是指存在一個函數(shù)s:E→[0,1] 滿足下面兩個條件, 對任意的x,y∈E,

(1)s(0)=0;

(2)s(x→y)=s(x)→Ls(y).

定義3.3[1]設(shè)ε是一個相等代數(shù), 則ε的真濾子F被稱為是素濾子如果滿足對任意的x,y∈E,x→y∈F或者y→x∈F.

命題3.3[7]設(shè)?=(E,∧,,0,1)是一個有界的相等代數(shù),并且s是?上的Bosbach態(tài), 則s是?上的態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x,y∈E有s(x∧y)=min{s(x),s(y)}.

引理3.3有界相等代數(shù)上的每一個態(tài)射都是Bosbach 態(tài).

證明設(shè)s是有界相等代數(shù)?的態(tài)射. 則對任意的x,y∈E, 有

又因為

由命題2.1 (R5) 知, 1 →0=0. 因此有s(1)=1. 即s是?的Bosbach 態(tài).

定理3.3設(shè)?是一個有界的相等代數(shù), 并且存在一個映射s:E→[0,1], 則下面的條件是等價的:

(1)s是?的態(tài)射;

(2) ker(s) 是?的素奇異濾子.

證明(1)?(2). 由定理3.2 和引理3.3 有ker(s) 是ε的奇異濾子. 設(shè)x,y∈E, 因為[0.1]是線性的, 有s(x)≤s(y) 或者s(y)≤s(x). 也就是說

或者s(y→x)=s(y)→s(x)=1, 因此有x→y∈ker(s) 或者y→x∈ker(s).

(2)?(1). 設(shè)ker(s) 是?的素奇異濾子. 由命題3.1 (3) 和命題3.3 可以得到

因此,s是?的態(tài)射.

4 相等代數(shù)上Rie?an 態(tài)的存在性

本節(jié)研究有界相等代數(shù)上Rie?an 態(tài)的存在性, 并討論Rie?an 態(tài)和Bosbach 態(tài)之間的關(guān)系.

定義4.1[7]設(shè)ε是一個相等代數(shù), 如果對任意的x,y∈E滿足y??≤x?, 則稱x和y是正交的. 記為x⊥y. 對于任意兩個正交的元素x和y, 通過x+y=x?→y??來定義E上的二元運算“+”.

定義4.2[7]設(shè)ε是一個相等代數(shù), 則在ε上的Rie?an 態(tài)是指存在一個函數(shù)s:E→[0,1] 滿足下面的幾個條件:

(1)s(1)=1;

(2) 如果x⊥y, 則s(x+y)=s(x)+s(y) 對任意的x,y∈E.

命題4.1[7]設(shè)s是ε上的Rie?an 態(tài), 則下面的條件是成立的. 對任意的x,y∈E,

(1)s(x?)=1-s(x);

(2)s(x??)=s(x);

(3)s(0)=0;

(4)x≤y推出s(x)≤s(y).

定理4.1設(shè)?是一個有界的相等代數(shù), 則?上的每一個Bosbach 態(tài)都是Rie?an態(tài).

證明設(shè)s是?的Bosbach 態(tài). 則有s(1)=1. 如果對任意的x,y∈E,x⊥y, 則有y??≤x?. 由命題3.1 (2) 和命題3.2 (2), 不難計算出

因此,s是?上的Rie?an 態(tài).

定理4.2設(shè)?是一個有界的相等代數(shù), 定義

則(MV(E),?,∧?,0,1) 是一個對合的相等代數(shù), 其中對任意的x,y∈MV(E),

證明顯然0,1 ∈MV(E). 對任意的x?∈MV(E), 由命題2.1 (R6) 有x?=x???.而且, 對任意的x?,y?∈MV(E) 有x???∧y???=x?∧y?≤(x?∧y?)??≤x???∧y???.則有(x?∧y?)??=x???∧y???=x?∧y?, 也就是說,x?∧y?=x?∧?y?. 因此, MV(E)關(guān)于運算∧是封閉的.

其次, 對于任意的x,y∈MV(E), 可以得到

由于x→y??=(x→y??)??, 則對于任意的x,y∈MV(E),

因此, 有x?y=xy. 即MV(E) 關(guān)于運算是封閉的. 所以得到(MV(E),?,∧?,0,1) 是一個對合的相等代數(shù).

推論4.1在MV(E) 中Rie?an 態(tài)和Bosbach 態(tài)是一致的.

證明設(shè)s是MV(E) 上的Rie?an 態(tài), 則由命題4.1 可以得到s(0) = 0. 由于x∧y≤x, 則(x∧y)??≤x??, 也就是說,x?⊥x∧y. 因此有

由命題3.1 得,s是MV(E) 上的Bosbach 態(tài).

設(shè)s是MV(E) 上的Bosbach 態(tài), 則有s(1) = 1. 若存在x,y∈E使得x⊥y, 則有x??≤y?. 由命題3.2 有

因此s是MV(E) 上的Rie?an 態(tài). 然后, 如果對任意x,y∈MV(E) 滿足y??→?x?=1,則稱x和y是正交的. 記為x⊥?y. 對于任意兩個正交的元素x和y, 通過x+?y=x?→?y??來定義MV(E) 上的二元運算“+?”.

定理4.3設(shè)?是一個有界的相等代數(shù). 如果s是ε上的Rie?an 態(tài), 則s|MV(E)是(MV(E),?,∧?,0,1) 上的Rie?an 態(tài). 反過來, 如果s是MV(E) 上的Rie?an 態(tài),s上的擴充:E→[0,1] 通過ˉ=s(x??) 定義, 則ˉs是ε上的Rie?an 態(tài). 而且, 這個擴充是唯一的.

證明設(shè)s是ε上的Rie?an 態(tài). 對任意的x,y∈MV(E), 如果x⊥?y, 則有

也就是說(y??→x?)??=1. 下面將證明(y??→x?)??=y??→x?.

首先, 由命題2.1 (R5) 有,y??→x?≤(y??→x?)??.

其次, 要證明(y??→x?)??≤y??→x?. 由命題2.1 (R5) 和(R8), 可以推導(dǎo)出

所以(y??→x?)??=y??→x?. 即y??→x?= 1, 也就是說x⊥y, 所以由Rie?an 態(tài)的定義有,s(x+y)=s(x)+s(y). 又由

可以得

而且,s(1)=1. 因此,s|MV(E)是(MV(E),?, ∧?,0,1) 上的Rie?an 態(tài). 反過來, 如果s是MV(E) 上的Rie?an 態(tài), 則有

又因為x??,y??∈MV(E), 有

另一方面, 由

由定理4.3 將得到下面的推論.

推論4.2設(shè)?是一個有界的相等代數(shù), 則在?上的Rie?an 態(tài)和MV(E) 上的Rie?an 態(tài)是一一對應(yīng)的.

命題4.2設(shè)?是一個有界的相等代數(shù),F是?的濾子, 則F|MV(E)是MV(E) 的濾子, 其中F|MV(E)=F∩MV(E).

證明因為F是?的濾子, 所以有1 ∈F. 又因為E是有界的, 故0 ∈E, 也就是說1 ∈MV(E). 即1 ∈F|MV(E). 設(shè)對任意的x,y∈MV(E), 若x≤y且x∈F|MV(E),則x∈F, 由F是濾子得y∈F. 因此y∈F|MV(E). 設(shè)x,y∈F|MV(E), 所以x,y∈F,xy∈F, 又因為x?y= (xy)??, 所以x?y∈F, 因此x?y∈F|MV(E). 綜上F|MV(E)是MV(E) 的濾子.

定義4.3設(shè)ε是一個相等代數(shù),ε的一個濾子F被稱為是弱奇異濾子. 如果F滿足下面的條件:

(WQY) 如果對任意的x,y∈E,x→y∈F, 則((y??→x??)→x??)→y??∈F.

命題4.3相等代數(shù)ε上的奇異濾子都是ε的弱奇異濾子.

證明設(shè)F是ε上的奇異濾子, 并且x→y∈F. 由命題2.1 (R4) 有

所以x??→y??∈F. 又因為F是ε上的奇異濾子, 有

即F是ε的弱奇異濾子.

例4.1設(shè)E={0,a,b,c,1}, 其中0

則(E,∧,,1) 是一個相等代數(shù)[1], 并且{1,a,b,c} 是E的奇異濾子, 由計算可得{1,a,b,c} 也是E的弱奇異濾子.

下面將給出相等代數(shù)中一個是弱奇異濾子而不是奇異濾子的例子.

例4.2設(shè)(E={0,a,b,c,1},≤) 是一個鏈. 則在E上按如下方式定義和→:

則(E,∧,,1) 是一個相等代數(shù)[1], 并且{1,a} 是E的弱奇異濾子, 但不是奇異濾子.因為

定理4.4設(shè)?是一個有界的相等代數(shù), 則以下結(jié)論是等價的:

(1)?有Rie?an 態(tài);

(2)?存在真的弱奇異濾子.

證明(1)?(2). 設(shè)s是?上的Rie?an 態(tài), 由引理3.1 得ker(s) 是E的真濾子. 由定理4.2 和推論4.1 知,s的限制s|MV(E)是MV(E) 上的Bosbach 態(tài). 如果x→y∈ker(s), 由于

因此

又因為

故

由引理3.1 和定理3.2 有ker(s|MV(E)) 是一個奇異濾子, 即

因而有

所以F=ker(s) 滿足條件(WQY).

(2)?(1). 設(shè)F是E的濾子. 如果F滿足(WQY) 條件, 則F|MV(E) 也滿足(WQY) 條件. 所以F|MV(E) 是MV(E) 的奇異濾子. 則由推論3.1 和定理4.2 可知, MV(E) 有Rie?an 態(tài). 由推論4.1 知,E有Rie?an 態(tài).

5 結(jié)論

態(tài)在研究模糊邏輯和它相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中扮演了一個十分重要的角色. 從邏輯的觀點來看, 態(tài)的語義是為了解釋模糊事件的可能性. 態(tài)已經(jīng)引起了廣大學(xué)者的關(guān)注,如MV - 代數(shù)上的態(tài), MTL - 代數(shù)上的態(tài), EQ - 代數(shù)上的態(tài), 等等. 本文一方面證明了有界可交換的相等代數(shù)?有Bosbach 態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)?有奇異濾子; 另一方面給出了有界的相等代數(shù)?有Rie?an 態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)?存在一個真濾子F滿足(WQY) 條件. 本文豐富了邏輯代數(shù)上態(tài)理論的研究, 探討了邏輯代數(shù)上態(tài)的共性, 更好地認(rèn)識與刻畫了相等代數(shù)上的代數(shù)結(jié)構(gòu). 用態(tài)的思想研究相等代數(shù)上的性質(zhì), 刻畫其結(jié)構(gòu)是更加有意義的嘗試.