機械結(jié)合面法向接觸剛度三維分形理論模型*

李聲祺，蘭國生，李 祥，冀成龍，楊 琦，李 勇

(太原科技大學機械工程學院，太原 030024)

0 引言

機械結(jié)構(gòu)中的結(jié)合面很多，破壞了機械結(jié)構(gòu)或機械系統(tǒng)的連貫性，使得機械結(jié)構(gòu)的力學特性進一步復雜化。為了確保機械結(jié)構(gòu)或機械系統(tǒng)的良好穩(wěn)定性、可靠性和安全性，需要對其進行合理有效地設(shè)計與制造。在機械加工過程中，要考慮到許多因素。其中就包括結(jié)合面處的連接方式。機械結(jié)構(gòu)整體剛度的重要組成部分就包括結(jié)合面的接觸剛度，一般來講機床結(jié)合面的接觸剛度約占機床整體剛度的60%～80%[1]。然而，結(jié)合面的接觸剛度對加工精度和其他性能指標會產(chǎn)生較大影響。

在結(jié)合面的法向剛度研究這一方面，張學良等[2]根據(jù)分形理論和微凸體間接觸的基礎(chǔ)理論，建立了具備尺度獨立性的粗糙表面上法向接觸剛度模型，溫淑花等[3]則是構(gòu)建了考慮微凸體之間相互作用并且在域擴展因子影響下的接觸剛度模型。陳虹旭等[4]構(gòu)建的剛度模型是根據(jù)改進的分形理論，在分析了接觸變形問題后對赫茲接觸理論模型做了進一步的改進所得到，并且同時討論了分形維數(shù)和法向接觸剛度的關(guān)系，遺憾的是在剛度計算過程中忽略了塑性和彈塑性變形的影響。蘭國生等[5]提出了一種改進的模型，以便更充分地表明諸如法向載荷、法向接觸剛度和結(jié)合面分形維數(shù)等關(guān)鍵因素之間的關(guān)系，隨后的研究人員對接觸剛度模型進行了更詳細的研究[6-8]，可惜的是忽視了微凸體的彈塑性變化過程中的影響，僅顧及了塑性變形與彈性變形。何聯(lián)格等[9]討論了依次增加法向載荷后的微凸體在彈塑性過渡過程中的變形機理，采用分形理論研究并顧及了微凸體彈塑性過渡變形機理，構(gòu)建了結(jié)合面上法向接觸的剛度分型模型，并研究了塑性指數(shù)、無量綱分型特征尺度系數(shù)等各種因素對法向接觸剛度的影響。然而，該模型的不足之處是理論計算彈塑性變形機制，不能真實反映這一階段的規(guī)律，與KOGUT等[10]研究結(jié)果存在一定的誤差。李玲等[11]在KOGUT等[10]的研究基礎(chǔ)之上，又構(gòu)建了彈塑性統(tǒng)計學模型。李小彭等[12]也考慮了微凸體的彈塑性變形過程中產(chǎn)生的影響，在此基礎(chǔ)上利用改進的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)構(gòu)建了法向剛度三維分形模型，潘五九等[13]建立的切向接觸剛度模型考慮并應(yīng)用了微凸體之間的三維形貌的W-M 函數(shù)，在張學良等[14]研究中剛度模型則是基于分布域擴展因子函數(shù)建立的，但他們都沒有考慮彈塑性變過程中接觸剛度和載荷以及接觸面積之間的相應(yīng)關(guān)系。田紅亮等[15]通過運用分形理論架構(gòu)了微凸體結(jié)合面的接觸校對模型，但在計算過程中得到的彈性接觸剛度與實際單一微凸體上的法向剛度還是有點出入。李小彭等[12]研究成果和JIANG等[16]的研究也有著同樣的缺陷。

為此，本文將結(jié)合面上相互接觸的點延伸為橢圓形，并以基本分型理論作為基礎(chǔ)，求解思路上以極限求解的形式修正了單一微凸體的法向剛度。在KOGUT等[10]相關(guān)研究方法的基礎(chǔ)上，所建模型在運用分形理論的基礎(chǔ)上，對彈塑性變形過程中的計算方法進行合理有效的改進，并在這一階段中著重討論了單一微凸體法向接觸載荷、接觸剛度和接觸面積間的關(guān)系。再通過把預測值與實驗數(shù)據(jù)作對比，更加證實了所建模型能對固定結(jié)合面的靜剛度做出較好地預測。

1 三維各向異性分形理論

在直角坐標系中三維各向異性粗糙表面上帶有隨機相位的雙變量W-M函數(shù)的表達式[17]為：

(1)

當γ=1.5，M=8，φm,n=0，G=1.36×10-5μm時，式(1)仿真各向異性表面如圖1所示。當M=1，m=1，雙自變量W-M函數(shù)將退化為：

(a) D=2.2 (b) D=2.6

(c) D=2.9圖1 各向異性分形粗糙表面

(2)

機械結(jié)合面有2個粗糙面組成，通常認為是粗糙表面和剛性平面之間的相互接觸。假設(shè)垂直于接觸面表面微觀紋理的地方具有分形的相應(yīng)特點，但僅指含有分形特性的表面。將粗糙表面上的微凸體的形狀想象成一個橢圓的形狀，想象成橢圓的好處就是可以忽略它的方位對結(jié)合面整體的法向接觸剛度和載荷所產(chǎn)生的影響，所以可以認為在假設(shè)過程中的橢圓的長軸與粗糙表面上微觀紋路的方向大體上是一樣的。

2 微凸體接觸變形

2.1 微凸體彈性變形階段

如圖2所示，表示的是結(jié)合面上微凸體和剛性平面之間相互前后接觸的變形示意圖，在微凸體處于彈性變形過程中，接觸面積s、接觸載荷pe和變形量δ之間的關(guān)系如下：

圖2 理想剛性平面與微凸體接觸

s=πRmδf1(e)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2.2 微凸體彈塑性接觸變形階段

微凸體的彈性臨界變形量[18]：

(9)

當δc≤δ≤6δc時，

(10)

(11)

當6δc≤δ≤110δc時，

(12)

(13)

2.3 微凸體的塑性變形階段

微凸體處于完全塑性變形的時候，接觸載荷和接觸面積的關(guān)系有：

sp=s

(14)

pp=Hs

(15)

3 結(jié)合面的基本分形理論

結(jié)合面上面積大小分布密度函數(shù)為：

(16)

(17)

微凸體的變形量δ為：

(18)

(19)

3.1 微凸體彈性接觸變形階段的法向剛度改進算法

如圖3所示表示微凸體已發(fā)生形態(tài)變化的輪廓，變形量和接觸面積在接觸面積是s時，二者之間的關(guān)系為[20]：

圖3 微凸體的變形輪廓

(20)

(21)

當接觸面積為s時，則法向接觸剛度為：

(22)

根據(jù)上述式子可知經(jīng)過修正法得到的微凸體法向接觸剛度與經(jīng)典的彈性赫茲理論相一致，也就是和式(4)求導后的結(jié)果相同。根據(jù)式(3)和式(22)可知，當接觸載荷面積為s時，彈性接觸階段的法向接觸剛度有：

(23)

通過式(3)、式(4)和式(17)即可算出在接觸面積是s時的法向接觸載荷：

(24)

3.2 微凸體處在彈塑性過程中法向剛度與載荷的改進運算

3.2.1 微凸體彈塑性第一階段中的法向載荷運算

將式(10)代入到式(11)可得：

(25)

將式(9)、式(17)和式(18)代到式(25)可得微凸體彈塑性一區(qū)的法向接觸載荷表達式：

(26)

需要注意的是在文獻[10]中構(gòu)建的分形模型都沒有把接觸面積和法向載荷二者之間的關(guān)系進行進一步深入的研究。本文顧及了接觸面積和法向載荷二者之間的影響，根據(jù)式(25)即可得到彈塑性變形過程中第一階段的法向載荷。

3.2.2 彈塑性變形第一階段的法向剛度的運算

根據(jù)式(11)可得：

(27)

將式(10)代入式(11)中可得：

(28)

進一步可以根據(jù)式(9)、式(17)和式(18)可以得到彈塑性一區(qū)接觸剛度分形式為：

(29)

通過文獻[10]中沒有顧及到單一微凸體處在彈塑性變形過程中法向剛度和接觸面積二者之間的關(guān)系，但在這里二者都考慮到了。通過式(28)就可以獲得第一階段的法向接觸剛度。

3.2.3 彈塑性變形第二階段中法向剛度和載荷的運算

彈塑性變形第二階段中法向剛度和載荷的計算過程同第一階段的計算過程相對來說比較類似。將式(9)、式(12)、式(17)和式(18)代入式(13)，經(jīng)計算后得到彈塑性第二階段的法向載荷：

(30)

根據(jù)式(9)、式(12)、式(13)、式(17)和式(18)可以得到彈塑性變形第二階段的法向剛度：

(31)

4 結(jié)合面的法向接觸剛度模型

結(jié)合面的真實接觸面積包含3大變形過程：彈性接觸變形、彈塑性接觸變形的第一第二階段和完全塑性變形階段的真實面積，通過求和可以得到結(jié)合面真實接觸面積為：

(32)

將式(16)代入式(32)中得：

(33)

結(jié)合面的總法向接觸剛度為：

(34)

將式(16)、式(23)、式(29)和式(31)代入式(34)可得：

(35)

結(jié)合面的法向總載荷為：

(36)

將式(15)、式(16)、式(24)、式(25)和式(30)代入式(36)得：

(37)

無量綱化結(jié)合面總法向接觸剛度：

(38)

無量綱化法向接觸總載荷：

(39)

5 法向接觸剛度的仿真與分析

如圖4所示為無量綱法向接觸載荷和無量綱法向接觸剛度之間的關(guān)系。

(a) D=2.1 (b) D=2.2 (c) D=2.3

(d) D=2.4 (e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8 (i) D=2.9圖4 對的影響(φ=1.5，G*=1×10-10)

如圖5所示為塑性指數(shù)φ和法向接觸剛度之間的關(guān)系。

(a) D=2.3 (b) D=2.8圖5 φ對的影響(G*=1×10-10)

(a) D=2.3 (b) D=2.8圖6 G*對的影響(G*=1×10-10)

6 模型實驗驗證

運用文獻[22]中的實驗進行驗證。上下兩個接觸的粗糙表面使用的實驗材料都是灰鑄鐵，兩接觸面之間沒有潤滑介質(zhì)的存在，材料的彈性模量E1=E2=100 GPa，泊松比v1=v2=0.25，材料硬度H1=H2=231 MPa。表1、表2依次描述了不同試樣的基本分形參數(shù)和等效粗糙表面的基本分形參數(shù)。

表1 不同試樣的基本分形參數(shù)

表2 等效粗糙表面的基本分形參數(shù)

圖7為配合接觸對1與配合接觸對2的理論數(shù)值和實驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。

(a) 結(jié)合面1理論和實驗剛度值 (b) 結(jié)合面2理論和實驗剛度值圖7 模型與實驗數(shù)據(jù)對比

可以看出，模型的實驗數(shù)據(jù)值與理論數(shù)據(jù)值的走向趨勢整體相同，而就JZZ模型[16]而言，所建立模型的理論值更接近實驗值，且增加了結(jié)合面的接觸剛度預測的精準度。粗糙表面的法向接觸剛度與粗糙度有著密切的聯(lián)系，但是表面粗糙度會因為工件加工方法的不同而產(chǎn)生一定的差異，所以，對粗糙表面接觸特性產(chǎn)生影響的因素其中就有加工方式，則在建立數(shù)學模型時可以根據(jù)實際情況選擇合適的材料或刀具來實現(xiàn)對表面形貌的精確控制。分形參數(shù)和尺度參數(shù)二者比傳統(tǒng)的粗糙度參數(shù)具有更加簡潔和直觀的特點，同時又保持了分形多尺度測量的優(yōu)點。由于模型沒有考慮微凸體間的相互作用和摩擦因素，會產(chǎn)生一些偏差，所以亟待進一步的修繕。

7 結(jié)論

(1)結(jié)合面表面的光滑度隨著分形維數(shù)的增大表現(xiàn)得越光滑，但是對于結(jié)合面接觸剛度的作用體現(xiàn)卻不一定很好，所以適當大小的分形維數(shù)對結(jié)合面的法向接觸剛度具有良好的改善作用。

(2)法向載荷為定值時，結(jié)合面的法向接觸剛度隨著分型粗糙度參數(shù)的增大而增大，所以為了保持良好的結(jié)合面接觸剛度可以適當?shù)販p小分型粗糙度。

(3)由于所構(gòu)建的模型在研究過程中忽略了結(jié)合面之間存在的潤滑介質(zhì)所產(chǎn)生的影響，所以該模型在考慮含有潤滑介質(zhì)的情況下不適合使用。

(4)本文模型中的理論預測值和實驗數(shù)值的趨勢走向一致，證明了理論改進算法的合理性。再者，所構(gòu)建的分形模型也能夠更準確地預測法向接觸剛度，有助于對結(jié)合面的剛度動態(tài)特性做進一步的研究。