增材制造BCCZ點陣夾芯梁結構的自由振動分析

張武昆，譚永華，高玉閃，王 珺，趙 劍,耿小亮

(1.西安航天動力研究所，西安 710100；2.西安航天動力研究所液體火箭發(fā)動機技術重點實驗室，西安 710100；3.航天推進技術研究院，西安 710100；4.西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，西安 710072)

周期性多孔結構以其輕質高強等優(yōu)異的力學性能和減振、能量吸收等多功能特性而受到國內外諸多學者的廣泛關注[1]，在航空航天[2-3]、兵器[4]、船舶[5]等工業(yè)中有著非常廣泛的應用。在這些工程應用中，多孔結構常常會承受長期振動等載荷[6]，且振動分析中得到的固有頻率和模態(tài)振型是結構設計中非常重要的參數[7]。因此，周期性多孔結構的振動分析很有必要。

國內外許多學者對周期性多孔夾芯結構的振動行為進行了大量的研究。在對蜂窩、波紋等傳統多孔結構的研究中，Kumar等[8]使用有限元法研究了蜂窩夾芯結構的振動性能，認為蜂窩芯子采用硬鋁比軟橡膠的固有頻率高。袁文昊等[9]研究了波紋夾芯板結構的振動性能，認為波紋板結構隨芯子壁厚的增加基頻逐漸減小，不存在極值點。Zhang等[10]通過理論、試驗和仿真方法研究了蜂窩-波紋混雜芯子結構的自由振動行為，認為蜂窩的填充增強了結構剛度，減少了局部模態(tài)及變形。點陣結構是一種新型周期性多孔結構，相比波紋和蜂窩等多孔結構，質量更輕，設計方式更靈活，是近年來多孔結構研究方向的熱點。在點陣結構的振動性能研究方面，Guo等[11]基于 “折線”模型，研究了金字塔點陣夾芯板結構的固有頻率特性，認為隨著芯子高度的增加固有頻率先增加后減小。錢若力等[12]研究了金字塔結構的固有頻率隨面板厚度的變化情況，認為一階隨厚度的增加出現波動情況，二階和三階均不斷增加。Li等[13]認為雙層金字塔點陣結構中固有頻率隨面板厚度增加而減小。上述關于點陣結構振動性能的研究以金字塔等簡單構型為主，邊界條件主要是簡支，對較復雜胞元和其他邊界條件下點陣結構的振動行為的研究較少。此外，不同多孔結構關于結構參數對固有頻率的影響結論也不同。

BCC(體心立方)點陣結構是一種彎曲主導型點陣結構，在抗沖擊和吸能方面性能優(yōu)異[14]。近年來，由于增材制造技術的發(fā)展，其制造得以成熟和便捷，因此也成為研究的熱點。在BCC點陣結構的振動研究方面，Kohsaka等[15]理論推導了多層BCC胞元的等效剪切模量，使用理論和有限元法研究了其在簡支邊界下的一階固有頻率，但尚未經過試驗驗證，且簡支邊界在工程應用中極少見到。在含固支邊界的振動研究方面，Monkova等[16]測試了不同體積率下BCC點陣結構的振動阻尼性能。Zhang等[17]測試了BCC夾芯板組成衛(wèi)星結構的振動性能，認為相比蜂窩夾層板，BCC點陣夾層板的比剛度、比強度和抗振性能更好。Z向增強的BCCZ點陣結構相比BCC點陣結構在能量吸收和承載等力學性能方面優(yōu)勢明顯[18-19]。Rosa等[20]測試了BCC-XYZ三向邊界增強點陣結構的振動阻尼性能，點陣的阻尼性能比實體結構更好。然而，上述研究多是通過試驗和仿真手段獲得振動性能，并未通過理論模型給出BCC點陣結構的振動機理。同時，材料性能和幾何參數均會影響點陣結構的振動頻率，但關于這些參數對BCCZ點陣結構振動性能影響的研究，目前還沒有公開發(fā)表的文獻。

隨著增材制造點陣結構的廣泛應用，其振動性能亟需研究。本文通過試驗、理論和有限元方法研究了增材制造鈦合金B(yǎng)CCZ點陣結構夾芯梁結構在懸臂邊界條件的振動性能，并研究了芯子直徑、芯子高度、面板厚度等幾何參數和不同材料對其振動特性的影響規(guī)律。

1 試驗及有限元模型建立

1.1 振動試驗

BCCZ點陣單胞的胞元構型如圖1所示，單胞的長寬高分別為Lx、Ly和Lz，胞元半徑為Rc?；贐CCZ單胞，設計并制備的懸臂邊界下的點陣夾芯梁試驗件。單胞為立方體構型，設計尺寸為邊長4 mm，桿件直徑為0.4 mm，結構的整體外形設計尺寸為200 mm×48 mm×10 mm，試件幾何模型和打印試件分別如圖2(a)和圖2(b)所示。其中，上下面板的厚度均為1 mm，芯子為兩層，總厚度為8 mm，為固支約束起見，將一端打印為實體結構，長度20 mm，因此點陣夾芯結構的尺寸為180 mm×48 mm×10 mm，其中，長度方向分布45個單胞，寬度方向分布12個單胞，厚度方向分布2個單胞。點陣夾層結構試件由BLT-S400增材制造設備制備，采用SLM(選擇性激光熔融)技術。打印參數為：激光功率為250 W，激光掃描速度為1 m/s，鋪粉層厚度為50 μm。材料為TC4鈦合金，材料試驗測試其彈性模量為113.8 GPa，泊松比0.3，材料密度為4 430 kg/m3。

圖1 BCCZ增強點陣胞元構型Fig.1 Enhanced BCCZ lattices configuration

(a) 幾何模型

采用力錘敲擊獲得夾芯板結構的自由振動模態(tài)，試驗原理如圖3 (a)所示，模態(tài)試驗設備如圖3 (b)所示，夾芯板振動試驗狀態(tài)如圖3 (c)所示，試驗件一端固支在夾具上，一端自由。采用的振動模態(tài)分析設備為LMS動態(tài)信號分析儀，力錘制造商為歐洲B&K公司，型號為8206，靈敏度為1.041 mV/N。傳感器采用壓電加速度計，制造商為DYTRAN，型號為3133A1，靈敏度為10 mV/g。為消除邊界條件對試驗模態(tài)頻率的影響，采用力矩扳手控制固支端的螺栓擰緊力矩，經過通過不同力矩下的模態(tài)試驗分析，采用40 N·m的擰緊力矩后模態(tài)頻率數基本相差不大。

(a) 試驗測試流程

采用單點激勵多點響應錘擊法，首先，在點陣夾芯結構試件表面上標記8個點，用環(huán)氧樹脂膠粘貼傳感器。設定儀器相關參數，然后用力錘對試件進行敲擊，在保證良好相干性的前提下對敲擊點平均敲擊三次后取平均值，敲擊產生的信號通過力傳感器傳到電荷放大器，放大后直接輸送到動態(tài)信號分析儀，通過快速傅里葉變化后處理分析，以頻率分辨率0.5 Hz完成垂直激勵方向的模態(tài)試驗，獲得頻響函數和試驗件的固有頻率、振型等相關的模態(tài)參數(2 000 Hz以內)。

試驗得到的頻響函數和振型如圖4和圖5所示，由于主要研究夾芯梁狀點陣結構在懸臂邊界下的動態(tài)性能，故模態(tài)試驗振型提取純彎曲振型，對其他扭轉等板狀結構特征的振型模態(tài)暫不考慮。下文中的不同階數下的固有頻率均指彎曲模態(tài)下的排序頻率。試驗中測得的一階彎曲固有頻率為260.5 Hz，二階彎曲固有頻率為1 546.71 Hz。

圖4 懸臂邊界BCCZ點陣結構頻響函數Fig.4 Frequency response of BCCZ lattice structures under cantilever boundary

(a) 一階彎曲模態(tài)

1.2 有限元模型

按照試驗件尺寸建立有限元模型，采用ABAQUS軟件的frequency模塊進行模態(tài)分析，選用Eigensolver Lanczos求解器，上下面板為4節(jié)點殼單元S4R，中間芯子為2節(jié)點B31梁單元，固支端建立為實體solid C3D8R單元(八節(jié)點線性六面體縮減積分單元)，并進行固支約束，實體與點陣芯子和面板均采用tie連接，點陣芯子和上下面板也使用tie連接，整體結構通過單個胞元陣列產生，然后采用“merge”共節(jié)點方式連接芯子中所有點陣節(jié)點。有限元數值計算得到的模態(tài)振型如圖6所示。有限元仿真計算出的一階、二階、三階和四階彎曲固有頻率分別為269.93 Hz、1 443.5 Hz、3 377 Hz、5 467.5 Hz，對比有限元與試驗得到的固有頻率和振型結果，可知，懸臂邊界下試驗與有限元數值模型得到的模態(tài)振型及固有頻率均比較吻合，驗證了有限元數值模型的準確性。試驗結果與有限元結果的差異，可能是因為增材制造點陣結構桿徑分布不均勻、試驗邊界條件與仿真條件不完全相同或高頻下傳感器誤差增大等原因導致。然而，兩者最大相對誤差小于7%，可以滿足工程中模態(tài)頻率研究的要求。

(a) 一階彎曲模態(tài)

2 理論模型

基于Lou等[21]提出的“改進折線法”位移假設，使用哈密頓原理，可推導出懸臂狀態(tài)下夾芯梁結構的振動微分方程如式(1)所示

(1)

式中，M和K分別為夾芯梁結構的質量矩陣和剛度矩陣。

(2)

式中:B和L分別為夾芯梁結構的寬和長;ρf和ρc分別為面板的密度和芯子的等效密度;hf和hc分別為面板和芯子的厚度;Es和Gxz分別為基材的彈性模量和芯子的等效剪切模量。

ζ和ε分別為滿足邊界條件的位移和轉角的振型函數，根據Guo等，表達式如式(3)所示

(3)

式中，n為模態(tài)階數。kn前三階為2.084，4.694，7.855，后面的高階模態(tài)值為(2n-1)π/2。

BCCZ點陣結構的相對密度如式(4)所示。

(4)

(5)

根據Zhang等[23]對多層BCC點陣夾芯結構的等效剪切模量研究，有無面板邊界約束狀態(tài)下BCC點陣結構的等效剪切模量分別如式(6)和式(7)所示。而在沿芯子厚度方向的點陣結構數量很少時，BCCZ點陣結構在上下面板及增強桿邊界的約束下，其剪切變形行為可以等效為有邊界約束條件下的剪切變形

(6)

(7)

使用式(1)～式(6)的懸臂邊界的公式計算得，理論公式計算出的一階、二階、三階和四階彎曲固有頻率分別為261.2 Hz、1 518.6.5 Hz、3 418.3 Hz、5 422.8 Hz。將試驗、理論和數值仿真結果計算得到的固有頻率比較如表1所示?？梢钥闯觯囼灪屠碚撃Ｐ偷淖畲笙鄬φ`差為2.69%，理論與有限元仿真模型的最大相對誤差為5.2%，平均相對誤差2.62%。試驗、理論和數值求解計算得到的BCCZ點陣結構夾芯板結構在懸臂狀態(tài)下的各階頻率基本一致，驗證了理論模型、數值模型的準確性。

為了比較有無面板的邊界條件下的等效剪切模量對其固有振動頻率的影響，將式(7)中的Gxz,uncon代入理論模型計算，一階、二階、三階和四階頻率分別為126.2 Hz、438.6 Hz、762.5 Hz和1 181.5 Hz，與試驗和有限元仿真結果差距均較大，無上下面板的芯子結構的固有頻率遠小于有上下面板的情況，說明上下面板的邊界約束對BCCZ點陣夾芯結構的振動性能影響明顯。

表1 懸臂邊界BCCZ點陣結構模態(tài)頻率對比Tab.1 Comparison of modal frequencies on BCCZ lattice structures under cantilever boundary

3 結果與討論

3.1 幾何參數

采用理論和有限元方法研究幾何參數對懸臂狀態(tài)下BCCZ點陣夾芯梁結構動態(tài)力學性能的影響規(guī)律。為體現點陣結構在固有頻率方面相比實體結構的優(yōu)勢，采用頻率參數η定義結構的振動質量效率，η=f/fs，其中，f為夾芯結構的固有頻率，fs為相同長度、寬度、質量和邊界條件下相同材料的實體結構的固有頻率。

3.1.1 胞元直徑

保持BCCZ點陣夾芯結構其他幾何參數不變，設置半徑為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5 mm，得到其固有頻率與桿件半徑的變化關系如圖7所示，其中Sim表示仿真計算結果，Ana表示理論計算結果，Mode 1、2、3、4分別表示第一、二、三、四階，下同。由圖7(a)可以看出，隨著桿件半徑的增加，BCC點陣結構的各階固有頻率呈現出先增加后減少的趨勢，半徑為0.2 mm時一階固有頻率最大，其余階數半徑為0.3 mm時最大。由圖7(b)可以看出，隨著桿件半徑的增加，BCCZ點陣結構的一階頻率參數逐漸減小，而其余各階頻率參數呈現出先增加后減少的趨勢，一階頻率參數最高，說明一階固有頻率下點陣夾芯結構的振動質量效率最高，所有的頻率參數均大于1，反映出點陣夾芯結構在動態(tài)力學性能方面相比傳統實體結構優(yōu)勢明顯。理論解與數值仿真解相比誤差較小，驗證了理論模型的準確性。

3.1.2 面板厚度

保持直徑0.3 mm不變，改變面板厚度，研究面板厚度對懸臂邊界條件下BCCZ點陣夾芯結構固有頻率的影響。設置面板厚度分別為0.5、0.8、1、1.5和2 mm，得到其固有頻率、頻率參數與面板厚度的變化關系如圖8所示。當面板厚度逐漸增大時，理論求解與數值仿真求解誤差逐漸增大，這是由于理論模型假設為薄面板，而厚面板已經逐漸不滿足假設條件，故使用有限元方法研究厚度的影響。

由圖8(a)可知，隨著面板厚度增加，結構的低階固有頻率有所提升，高階固有頻率下降。但是由圖8(b)可知，隨著面板厚度的增加，夾芯結構整體的頻率參數均降低，說明增加面板厚度會降低夾芯結構動特性的結構質量效率。因此，如果要提高BCCZ點陣夾芯梁結構整體的固有頻率特性，單純增加面板厚度雖然會略微有效，但是會增加大的結構附加質量，導致結構的頻率參數下降。

(a) 固有頻率

3.1.3 芯子高度

保持芯子胞元底面面積為4 mm×4 mm不變，改變胞元高度，芯子高度依次為3、3.5、4、4.5和5 mm。芯子為兩層，桿件半徑為0.3 mm，面板厚度為1 mm。不同芯子高度下BCCZ點陣夾芯結構的固有頻率如圖9所示。由圖9(a)可知，隨著芯子高度的增加，其結構頻率也在不斷增加，原因是芯子高度增加了結構的慣性矩。由圖9(b)可知，隨著芯子高度的增加，其頻率參數也在不斷增加。其中，一階頻率參數增加最明顯。對比梯度高度組合下的點陣結構的性能，對于芯子高度“4 mm+4 mm”組合，設計總高度相同的兩種梯度組合形式“3 mm+5 mm”和“3.5 mm+4.5 mm”，對比這三種形式的點陣結構的頻率可以看出，梯度組合形式的點陣結構可以實現更高的各階結構頻率和頻率參數。其中，“3.5 mm+4.5 mm”組合形式最好，“3 mm+5 mm”組合稍優(yōu)于“4 mm+4 mm”組合?？傮w來看，通過梯度形式的設計，可以在不增加整體結構尺寸和不明顯增加結構總體質量的情況下提高結構的固有頻率及頻率參數，但需要對其梯度設計參數進行優(yōu)化設計。

(a) 固有頻率

通過對三種幾何參數的分析，由于結構參數會導致結構質量的變化，故采用無量綱化的一階頻率參數來衡量三種結構參數對固有頻率的影響。圖10(a)為胞元半徑、面板厚度的一階頻率參數對比，圖10(b)為面板厚度、芯子高度的一階頻率參數對比。由圖10(a)可知，胞元半徑為0.1 mm和面板厚度1 mm組合優(yōu)于胞元半徑0.3 mm和面板厚度0.5 mm組合，且隨著尺寸的變化，胞元半徑的梯度變化更大。由圖10(b)可知，面板厚度0.5 mm和芯子高度4 mm組合優(yōu)于面板厚度1 mm和芯子高度5 mm組合，且面板厚度的梯度變化更大。因此，改變相同的尺寸數值下，減小胞元半徑對一階頻率參數的提高最明顯，減小面板厚度次之，而增加芯子高度影響最小。

(a) 固有頻率

(a) 半徑(r)-面板厚度(tf)

3.2 材料性能

當前，航空航天工業(yè)中增材制造常用的金屬材料主要包括高溫合金，鈦合金和鋁合金等，分別選取三種材料系列典型的牌號進行振動性能對比分析，包括鈦合金系的TC4材料、高溫合金系的GH4169材料和鋁合金系的AlSi10Mg材料，三種材料的比剛度基本相當。選用牌號的材料性能如表2所示。而雙金屬材料的增材制造技術已經逐漸成熟[24]，因此，基于不同材料的面板及芯子結構的增材制造也成為可能。

研究不同的芯子面板材料組合對夾芯結構振動性能的影響，按照面板和芯子材料的分布不同，夾芯板可以得到27種材料組合，根據上下面板的對稱性，簡化后得到18種組合方式。由于一階頻率在振動性能中最為關注，因此，以一階固有頻率為衡量指標。芯子半徑為0.3 mm，高度為雙層共8 mm，面板厚度為1 mm，其余結構尺寸及邊界條件等均與上節(jié)相同，為了橫向比較不同材料的性能，采用一階比固有頻率概念，為一階固有頻率除以結構質量(不含懸臂實體端)。計算結果如表3所示，表中材料TC4用Ti表示，GH4169用GH表示，AlSi10Mg用Al表示。由表3可知，當芯子為Al時，其一階固有頻率和一階比固有頻率優(yōu)于芯子為Ti和GH。當使用GH材料時其動態(tài)力學性能均較差。當面板-芯子-面板材料組合順序為Ti-Al-Ti時，一階固有頻率最高；而當材料均為Al或組合為Ti-Al-Al時，其一階比固有頻率較高。因此，采用比剛度較高的面板和密度小的芯子材料可以獲得較高的振動頻率，而如果追求質量效率最高，則要選擇密度最小的全鋁材料組合。

表2 增材制造典型材料性能Tab.2 Typical material properties of additive manufacturing technology

表3 不同材料組合下BCCZ點陣夾芯梁結構固有頻率Tab.3 Natural frequency of BCCZ lattice sandwich beams with different material combinations

4 結 論

本文通過理論、有限元仿真和試驗方法研究了懸臂邊界條件下雙層BCCZ點陣夾芯梁結構的振動力學性能，結論如下：

(1) 對比有限元仿真和試驗結果，本文提出的自由振動理論模型可以準確預測懸臂邊界下BCCZ點陣夾芯梁結構的固有頻率。

(2) BCCZ點陣夾芯結構的幾何參數對其振動性能影響明顯。隨著桿件半徑的增加，BCC點陣結構的一階頻率參數逐漸減小。面板厚度的增加雖然會增強結構的振動性能，但是會增加結構附加質量，導致夾芯結構整體的頻率參數降低。隨著芯子高度的增加，其結構頻率和頻率參數均不斷增加。綜合來看，胞元直徑對一階頻率參數影響最大，面板厚度次之，芯子高度最小。

(3) 不同的材料組合對BCCZ點陣夾芯梁結構的固有頻率影響很大。使用鈦合金系的TC4、高溫合金系的GH4169和鋁合金系的AlSi10Mg這三種不同材料組合形式制備的BCCZ夾芯結構的振動性能中，當面板-芯子-面板材料組合順序為TC4-AlSi10Mg-TC4時，一階固有頻率最高；而當材料均為Al時，其一階比固有頻率最高。采用比剛度較高的面板和密度小的芯子材料可以獲得更優(yōu)的振動力學性能。