壓電致動(dòng)的諧振式水下柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)遲滯建模及前饋補(bǔ)償

王澤鍇，婁軍強(qiáng),陳特歡，鄧益民,崔玉國(guó)，魏燕定

(1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，寧波 315211；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310027；3.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 紹興 312000)

水下航行器對(duì)于現(xiàn)代的海洋探索來(lái)說(shuō)扮演著非常重要的角色，活躍在水下勘探、海底測(cè)繪以及深海軍事等領(lǐng)域。為了使航行器能在復(fù)雜水下環(huán)境中保持良好運(yùn)動(dòng)性，一方面大量的柔性結(jié)構(gòu)被引入到設(shè)計(jì)中，使其具備輕量化、柔性化等特點(diǎn)；而另一方面，對(duì)推進(jìn)器的推進(jìn)性能也提出了更高的要求。傳統(tǒng)的如螺旋槳推進(jìn)器不僅存在效率低及轉(zhuǎn)向機(jī)動(dòng)性差等問(wèn)題，還對(duì)海洋環(huán)境帶來(lái)污染和破壞。因此，學(xué)者將研究的方向轉(zhuǎn)向了仿生學(xué)，使得魚(yú)類生物的身體/尾鰭(body and/or caudal fin,BCF)推進(jìn)方式被廣泛應(yīng)用于水下航行器上[1-2]。

得益于智能材料的高度發(fā)展，如形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)、超磁致伸縮材料(giant magnetostrictive material,GMM)及壓電陶瓷材料(piezoelectric ceramic material,PZT)等得到了充分的研究[3-5]，以滿足仿生推進(jìn)系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)要求。其中，近幾年新出現(xiàn)的宏壓電纖維復(fù)合材料(macro fiber composite,MFC)，在作為致動(dòng)器時(shí)不僅有著傳統(tǒng)壓電材料行程寬、精度高、響應(yīng)快以及作動(dòng)力大等優(yōu)點(diǎn)，還具備高耦合系數(shù)、低壓電常數(shù)及良好的柔韌性等特點(diǎn)[6]，非常適合BCF推進(jìn)方式的實(shí)現(xiàn)。Cen等[7]研制了一款MFC驅(qū)動(dòng)的內(nèi)置電源水下機(jī)器魚(yú)，基于MFC雙晶片懸臂梁的彎曲振動(dòng)建立了動(dòng)力學(xué)模型，在樣機(jī)上測(cè)試了直線和轉(zhuǎn)向游動(dòng)。此外，許多學(xué)者研究也表明，對(duì)BCF推進(jìn)方式來(lái)說(shuō)，推進(jìn)器在諧振狀態(tài)下，具有最優(yōu)的水下推進(jìn)性能。林煌旭等[8]對(duì)MFC致動(dòng)的仿鲹科諧振式水下推進(jìn)器進(jìn)行了性能測(cè)試和仿真，結(jié)果顯示在略小于固有頻率的4 Hz處，推進(jìn)器的擺幅峰峰值達(dá)到10.4 mm，平均推力可達(dá)1.5 mN。Tan等[9]通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)類鱒魚(yú)多功能機(jī)器人的水下運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行了探究，在外加水流的情況下，觀察到諧振頻率5.4 Hz時(shí)，機(jī)器人的最大速度達(dá)到0.71 BL/s。顯然，研究MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)在諧振狀態(tài)下的特性，將極大地提升水下推進(jìn)器性能。

然而，MFC材料本身在輸入和輸出的關(guān)系上存在著遲滯非線性，嚴(yán)重影響了柔性結(jié)構(gòu)的控制精度。方楚等[10]研究了基于STOP算子的Prandtl-Ishlinskii,(PI)模型，作為前饋補(bǔ)償器來(lái)補(bǔ)償壓電陶瓷的遲滯效應(yīng)。PI模型屬于算子模型，在模型準(zhǔn)確性和求逆上有更大的優(yōu)勢(shì)，但傳統(tǒng)PI模型并不能很好地描述偏置及非對(duì)稱性遲滯現(xiàn)象。對(duì)此，出現(xiàn)了一類改進(jìn)PI模型，如Wang等[11]改進(jìn)了PI模型中的PLAY算子，使其成為一種非對(duì)稱性算子，而Kuhnen[12]則將死區(qū)算子引入到傳統(tǒng)的PI模型中，形成了新的算子疊加模型。然而改進(jìn)PI模型，卻無(wú)法處理工程應(yīng)用中常出現(xiàn)的一種復(fù)雜遲滯非線性——?jiǎng)討B(tài)遲滯現(xiàn)象。Janaideh等[13]，將一個(gè)廣義動(dòng)態(tài)PLAY算子引入到PI模型中，以此來(lái)描述超磁致伸縮執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象。除引入動(dòng)態(tài)算子的方法之外，另一種處理方法是將系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和遲滯特性分別進(jìn)行建模。Jian等[14]，將壓電致動(dòng)器的動(dòng)態(tài)遲滯模型分為靜態(tài)非線性和動(dòng)態(tài)線性兩部分，在得到遲滯逆的基礎(chǔ)上引入了迭代學(xué)習(xí)控制。這兩種處理動(dòng)態(tài)遲滯方法對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，前者進(jìn)一步增加了模型的復(fù)雜程度，而后者在滿足可行性的情況下，建模的難度更低，更利于操作。盡管目前對(duì)遲滯建模的手段較為豐富，但是對(duì)于MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，流場(chǎng)環(huán)境及流固耦合作用[15]，使得水下動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象的復(fù)雜程度高于其在空氣中的表現(xiàn)，同時(shí)也對(duì)模型參數(shù)的辨識(shí)及控制提出了更高的要求。因此，分析MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)在諧振狀態(tài)下的振動(dòng)特性，建立動(dòng)態(tài)遲滯模型，對(duì)實(shí)現(xiàn)仿魚(yú)類BCF游動(dòng)模式的水下推進(jìn)器的精密跟蹤定位控制有重要的意義和價(jià)值。

本文搭建了MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)測(cè)控系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了測(cè)試。針對(duì)諧振狀態(tài)下表現(xiàn)出來(lái)的非對(duì)稱動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象，提出了一種改進(jìn)PI靜態(tài)遲滯和傳遞函數(shù)動(dòng)態(tài)模型串聯(lián)的復(fù)合式模型進(jìn)行描述。在完成模型參數(shù)辨識(shí)的基礎(chǔ)上，利用復(fù)合式逆模型進(jìn)行了前饋補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)在諧振狀態(tài)下對(duì)正弦軌跡的跟蹤控制。

1 系統(tǒng)描述

本文所選用的柔性結(jié)構(gòu)是以lAL×bAL×hAL的鋁制基體為底，利用環(huán)氧樹(shù)脂膠(3M-DP460)將尺寸為lMA×bMA×hMA且工作于d33模式下的MFC致動(dòng)器(型號(hào)M2814-P1)粘貼于根部?jī)蓚?cè)表面并進(jìn)行固化，其實(shí)際致動(dòng)部分尺寸為lRA×bRA×hRA，選用基本參數(shù)如表1所示。最后利用防水性能優(yōu)異的環(huán)氧樹(shù)脂膠(3M-DP490)對(duì)MFC致動(dòng)器的電氣連接處進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)防水和電氣隔離。具體結(jié)構(gòu)如圖1所示，可以看到，該柔性結(jié)構(gòu)被分為兩部分，包括無(wú)MFC覆蓋的被動(dòng)部分和有MFC覆蓋的主動(dòng)部分，柔性結(jié)構(gòu)可以在MFC伸縮變形的作用下，在y軸方向產(chǎn)生位移。

表1 結(jié)構(gòu)基體及MFC致動(dòng)器參數(shù)表Tab.1 The parameters of the structure substrate and MFC actuators

圖1 柔性結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Flexible structure actuated by MFC

為了測(cè)試MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，將其一端固定于支架上，并浸沒(méi)于長(zhǎng)方體水缸正中，同時(shí)對(duì)MFC施加正弦激勵(lì)電壓，形成柔性結(jié)構(gòu)水下振動(dòng)現(xiàn)象。利用激光位移傳感器可對(duì)結(jié)構(gòu)的位移信號(hào)進(jìn)行采集，消除光線在水中折射對(duì)測(cè)量的影響后，最終得到施加電壓信號(hào)與結(jié)構(gòu)末端實(shí)際位移之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)原理圖如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)原理框圖Fig.2 Schematic diagram of the experiment

其中，上位PC機(jī)在LabView平臺(tái)的配合下，與多槽嵌入式USB CompactDAQ機(jī)箱(NI,cDAQ-9178)通信，包括施加電壓信號(hào)的給定和反饋信號(hào)的讀取。D/A轉(zhuǎn)換模塊(NI-AO9263)和電壓放大器(Trek PZD700A)相連，后者將前者輸出的模擬電壓放大200倍后，作為實(shí)際的MFC施加電壓。A/D轉(zhuǎn)換模塊(NI-AI9205)與激光位移傳感器(Micro-EPSILON，ILD2200-10，分辨率0.15 μm)相連，使結(jié)構(gòu)的形變位移被轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，并能被有效讀取。實(shí)驗(yàn)裝置圖如圖3所示。

2 水下振動(dòng)特性

對(duì)MFC驅(qū)動(dòng)的柔性結(jié)構(gòu)在水中的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行測(cè)試，利用幅值為400 V，頻率范圍0.1～8 Hz的正弦掃頻電壓信號(hào)來(lái)激勵(lì)MFC，得到水下柔性結(jié)構(gòu)末端振動(dòng)位移的幅-頻響應(yīng)曲線。如圖4所示，其一階固有頻率落在3.4 Hz附近。

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.3 Photograph of the experimental setup

圖4 水下柔性結(jié)構(gòu)末端振動(dòng)位移幅-頻響應(yīng)曲線Fig.4 Measured underwater frequency responses of the flexible structure tip displacement

為了消除掃頻激勵(lì)引起的流體運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定對(duì)水下柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，在固有頻率附近選取頻率范圍2～5 Hz，間隔0.2 Hz，共16組單一頻率正弦信號(hào)進(jìn)行測(cè)試。得到水下柔性結(jié)構(gòu)末端的穩(wěn)定振動(dòng)頻率特性關(guān)系曲線如圖5，從圖5(a)可以看到，在一階固有頻率3.4 Hz處取得最大振幅3.57 mm，圖5(b)為相頻特性曲線。

進(jìn)一步研究MFC致動(dòng)器引起的遲滯非線性行為，利用諧振狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，繪制末端位移遲滯特性曲線如圖6所示?？梢钥吹皆谡胫芷?，輸入電壓121.5 V時(shí)，柔性結(jié)構(gòu)末端位移達(dá)到正向最大值3.297 mm；而在負(fù)半周期，輸入電壓為-112.8 V時(shí)，柔性結(jié)構(gòu)末端位移達(dá)到負(fù)向最大值-3.827 mm，柔性結(jié)構(gòu)的正負(fù)位移存在偏置現(xiàn)象，偏置誤差達(dá)到7.4%，且表現(xiàn)出非中心對(duì)稱性，這是由于MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)電壓的雙極性引起的。

3 系統(tǒng)模型構(gòu)建

從圖6的分析結(jié)果來(lái)看，系統(tǒng)模型的構(gòu)建必須對(duì)遲滯現(xiàn)象進(jìn)行描述。由前文實(shí)驗(yàn)測(cè)得的一階固有頻率看到，受到水下柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中周圍流體附加質(zhì)量的影響，使得其數(shù)值處于一個(gè)較低的水平。因此可以認(rèn)為MFC材料本身的遲滯特性引起了整個(gè)柔性結(jié)構(gòu)的遲滯行為，且這種遲滯是靜態(tài)的，在此基礎(chǔ)上，再考慮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

(a) 幅頻特性

(b) 相頻特性圖5 水下柔性結(jié)構(gòu)末端振動(dòng)位移頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Underwater responses of tip displacement in the steady state with different actuating frequencies

圖6 諧振狀態(tài)下遲滯曲線Fig.6 Hysteresis loop in resonant

本文引入復(fù)合式模型，該模型分成靜態(tài)子模型和動(dòng)態(tài)子模型兩部分，利用前者來(lái)描述系統(tǒng)的遲滯行為，后者來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，其結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7 復(fù)合式模型框圖Fig.7 Block diagram of the compound model

圖7中：u(t)為輸入變量，即驅(qū)動(dòng)電壓；v(t)為模型的中間變量；y(t)為輸出變量，在這里為柔性結(jié)構(gòu)的末端位移；N(·)為靜態(tài)子模型，考慮選取擬合性能好，易于求逆，尤其能滿足實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象所表現(xiàn)出來(lái)的偏置和非對(duì)稱性的建模方法，利用改進(jìn)型PI模型來(lái)進(jìn)行描述；G(s)為動(dòng)態(tài)子模型。

3.1 系統(tǒng)靜態(tài)模型

改進(jìn)型的PI模型，保持了傳統(tǒng)的PI模型的部分特點(diǎn)，即采用了遲滯單元加權(quán)疊加的方式、在形式上和求解析逆等方面有著自己的優(yōu)勢(shì)；此外，該模型還能有效處理遲滯的偏置性，其包含兩個(gè)算子，即PLAY算子及單邊死區(qū)算子。前者的表達(dá)式為

hj(u,t)=

(1)

式中：j為PLAY算子的編號(hào)；hj為算子的輸出，特別的，h0j為算子初始輸出值；rj為閾值；T為采樣時(shí)間。后者的表達(dá)式為

(2)

式中:i為單邊死區(qū)算子的編號(hào)；x(t)和di為算子的輸入和輸出；si為閾值。由此，得到改進(jìn)型PI模型的表達(dá)式為

y(t)=υT·D[si]{ωT·H[rj,h0j](u,t)}

(3)

通過(guò)式(3)可以看到，改進(jìn)型PI模型的建立需要確定PLAY算子和單邊死區(qū)算子的閾值和權(quán)值。對(duì)于這些值的求解，可以將問(wèn)題在滿足算子輸入-輸出嚴(yán)格單調(diào)的條件下轉(zhuǎn)化為帶約束的二次最優(yōu)問(wèn)題，具體的公式可通過(guò)文獻(xiàn)[11]中敘述的方法給出。

3.2 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型

為了得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)子模型，可將柔性結(jié)構(gòu)視為一端固定、一端自由的懸臂梁，則基于Euler-Bernoulli梁理論，得到如下傳遞函數(shù)

(4)

式中：q代表模態(tài)的編號(hào)；Kq、ζq及ωq分別為第q階振動(dòng)模態(tài)下的開(kāi)環(huán)增益、阻尼比以及角頻率。

由于只需要保留系統(tǒng)的一階振動(dòng)模態(tài)，因此對(duì)(4)式的傳遞函數(shù)進(jìn)行模態(tài)截?cái)?，引入降階傳遞函數(shù)模型[16]

(5)

通過(guò)式(5)，與式(4)中的傳遞函數(shù)模型對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，除了保留了一階振動(dòng)模態(tài)之外，還加入了饋通環(huán)節(jié)系數(shù)D。這是由于系統(tǒng)截?cái)嚯m然未改變極點(diǎn)位置，但造成了零點(diǎn)位置的扭曲，因此需要引入該系數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償。

4 模型參數(shù)辨識(shí)

復(fù)合式模型的辨識(shí)可按照其結(jié)構(gòu)，分別對(duì)靜態(tài)子模型和動(dòng)態(tài)子模型進(jìn)行辨識(shí)。首先選用適當(dāng)?shù)牡皖l率的標(biāo)準(zhǔn)正弦電壓信號(hào)，消除系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性影響，完成靜態(tài)子模型的辨識(shí)；其次，以諧振狀態(tài)下系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)電壓作為輸入，通過(guò)靜態(tài)子模型計(jì)算得到輸出；最后，配合所記錄的諧振狀態(tài)下MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)的末端位移值，完成動(dòng)態(tài)子模型的辨識(shí)。值得注意的是，由于柔性結(jié)構(gòu)周圍流體不穩(wěn)定狀態(tài)會(huì)影響其動(dòng)態(tài)特性，因此需要截取穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)的數(shù)據(jù)。具體的參數(shù)辨識(shí)步驟如下：

步驟2計(jì)算靜態(tài)模型輸出：以幅值400V、頻率3.4Hz的正弦電壓信號(hào)作為靜態(tài)子模型輸入，將步驟1辨識(shí)得到的參數(shù)代入式(3)模型中，得到靜態(tài)子模型輸出。

4.1 靜態(tài)子模型辨識(shí)結(jié)果

由于改進(jìn)型PI模型的辨識(shí)精度和PLAY算子和單邊死區(qū)算子的個(gè)數(shù)有關(guān)，因此引入相對(duì)誤差(relative error,RE)和均方根誤差(root mean square error,RMSE)來(lái)量化模型辨識(shí)的精度，進(jìn)而確定兩個(gè)算子的數(shù)量，定義如下：

(6)

(7)

式中：smo(z)為系統(tǒng)模型輸出；sro(z)為系統(tǒng)實(shí)際輸出；z為數(shù)據(jù)編號(hào)。考慮到模型的魯棒性和補(bǔ)償控制計(jì)算量等因素，選取PLAY算子和單邊死區(qū)算子的數(shù)量分別為7和3。模型擬合的結(jié)果如圖8所示，模型RM和RMSE分別為1.83%和0.015 3 mm。通過(guò)計(jì)算得到PLAY算子和單邊死區(qū)算子的閾值、權(quán)值如表2。從圖8可以看到，正負(fù)誤差最大值接近于正弦波波峰或者波谷處，這是由于在這些位置上速率的變化較大而造成的。

圖8 靜態(tài)子模型辨識(shí)結(jié)果Fig.8 Identification results of the static submodel

表2 改進(jìn)型PI模型參數(shù)表Tab.2 Identified parameters of MPI hysteresis model

4.2 動(dòng)態(tài)子模型辨識(shí)結(jié)果

(8)

將辨識(shí)得到兩部分子模型如圖7進(jìn)行串聯(lián)，即得到系統(tǒng)的復(fù)合式模型。為了驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性，令固有頻率3.4 Hz正弦電壓作為模型輸入，計(jì)算得到模型輸出，與諧振實(shí)驗(yàn)測(cè)得的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖9所示，RE和RMSE分別為3.21%和0.082 4 mm。從圖9中可以看到，誤差最大處依然接近于正弦波的波峰或波谷，這是由于靜態(tài)子模型的辨識(shí)誤差，經(jīng)傳遞函數(shù)模型放大后引起的。

圖9 諧振狀態(tài)下模型輸出與實(shí)驗(yàn)輸出對(duì)比Fig.9 Comparison between model output and experimental output in resonant state

進(jìn)一步，為了說(shuō)明復(fù)合式建模方法的必要性，與步驟1建立的靜態(tài)模型輸出進(jìn)行對(duì)比，繪制3 Hz、3.4 Hz及4 Hz三個(gè)工作頻率下的遲滯環(huán)，檢驗(yàn)兩個(gè)模型的擬合程度，結(jié)果如圖10所示，可以看到，系統(tǒng)的遲滯環(huán)形狀隨頻率上升而變化，其方向在固有頻率時(shí)發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)，這一現(xiàn)象可由圖5(b)的相頻特性來(lái)解釋，證明MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)存在非對(duì)稱的動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象。從靜態(tài)模型的表現(xiàn)來(lái)看，其遲滯環(huán)形狀取決于辨識(shí)所用原始數(shù)據(jù)，一旦辨識(shí)完成以后，無(wú)論輸入值頻率如何變化，則遲滯環(huán)的形狀保持不變，而復(fù)合式模型輸出，根據(jù)輸入頻率的變化表現(xiàn)出一定的適應(yīng)性，其遲滯環(huán)的形狀與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合。表3給出了兩種模型在三個(gè)不同頻率下的檢驗(yàn)誤差，對(duì)于靜態(tài)模型來(lái)說(shuō)，隨著頻率的上升，RM和RMSE不斷增大，而復(fù)合式模型在固有頻率3.4 Hz，RE和RMSE分別為3.21%和0.082 4 mm，相對(duì)于靜態(tài)模型的23.98%和2.714 7 mm，精確性得到了大大的提高。此外，在3 Hz和4 Hz的情況下，復(fù)合式模型的RE和RMSE相對(duì)增大，但仍可以分別保持在9%及0.2 mm以內(nèi)。因此證明本文所建立的復(fù)合式模型在描述動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象時(shí)有較高的準(zhǔn)確性，并在固有頻率附近一定帶寬內(nèi)具有更好的泛化性。

5 前饋逆補(bǔ)償跟蹤控制實(shí)驗(yàn)

為水下柔性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)跟蹤控制器時(shí)，需要注意的是，在許多實(shí)際應(yīng)用中，由于環(huán)境等特殊因素，使得傳感器無(wú)法被合理的布置，因此反饋控制難以被實(shí)現(xiàn)。本文在建立了系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了前饋逆模型補(bǔ)償控制器。

圖10 不同工作頻率靜態(tài)及復(fù)合式模型遲滯環(huán)Fig.10 Hysteresis loops of static and compound models at different actuating frequencies

表3 不同頻率下靜態(tài)模型與復(fù)合式模型的檢驗(yàn)誤差Tab.3 Testing errors of static model and compound model at different actuating frequencies

5.1 逆模型構(gòu)建

根據(jù)前饋逆補(bǔ)償控制的要求，在實(shí)施跟蹤控制實(shí)驗(yàn)前，需要先求取系統(tǒng)的逆模型。由于復(fù)合式模型的特點(diǎn)，系統(tǒng)逆模型也可被分為兩部分，即靜態(tài)逆模型和動(dòng)態(tài)逆模型。

其中，靜態(tài)逆模型即為改進(jìn)型PI逆模型，其表達(dá)式如式(9)

(9)

對(duì)于動(dòng)態(tài)逆模型，考察式(8)，根據(jù)其零極點(diǎn)位置，可以確定其為一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，由于其分子分母階次相同，因此直接求倒數(shù)即為其逆模型，表達(dá)式為

(10)

5.2 末端位移跟蹤實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證控制方式的有效性，將幅值為±1 mm，固有頻率3.4 Hz下的正弦波位移作為目標(biāo)信號(hào)，按順序輸入到動(dòng)態(tài)逆模型和改進(jìn)型PI逆模型中，根據(jù)式(10)和式(9)，計(jì)算前饋控制電壓。利用計(jì)算所得的驅(qū)動(dòng)電壓，進(jìn)行水下柔性結(jié)構(gòu)末端跟蹤實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中，為了避免激勵(lì)初期低速流體黏滯力對(duì)前饋補(bǔ)償?shù)目刂菩Ч膰?yán)重影響，采用線性遞增的方式，將計(jì)算所得補(bǔ)償電壓進(jìn)行施加，測(cè)得柔性結(jié)構(gòu)末端位移如圖11(a)所示，圖11(b)為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的位移與目標(biāo)位移的線性度。其中，最大誤差為0.061 4 mm，線性度為98.48%，誤差產(chǎn)生的主要原因在于辨識(shí)模型的精度，從該結(jié)果可以看到所采用的控制策略在諧振狀態(tài)下水下柔性結(jié)構(gòu)末端位移跟蹤控制上是可行有效的。

表4 改進(jìn)型PI逆模型參數(shù)表Tab.4 Identified parameters of MPI inverse model

(a) 跟蹤控制結(jié)果圖

同樣地，將此前饋補(bǔ)償控制方法應(yīng)用于不同的工作頻率下來(lái)驗(yàn)證模型在固有頻率附近一定帶寬內(nèi)的泛化性，分別取3 Hz及4 Hz，幅值仍為±1 mm的正弦波位移作為目標(biāo)，跟蹤結(jié)果如圖12所示。

圖12 不同頻率下跟蹤控制結(jié)果圖Fig.12 Underwater tracking performances at different frequencies

由圖12可知，最大跟蹤誤差產(chǎn)生的位置是在正弦波的峰值或過(guò)零處，這是由辨識(shí)所得的靜態(tài)子模型在此位置上存在較大誤差引起，位移跟蹤效果受到模型精度的影響。將穩(wěn)定狀態(tài)下，跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差RE和均方根誤差RMSE在表5中進(jìn)行列舉，結(jié)果顯示，在3.4 Hz時(shí)誤差最小，隨著頻率偏移固有頻率，誤差稍有增大，但仍保持在較小的數(shù)值內(nèi)，證明本文提出的前饋控制方法具有適應(yīng)性和可靠性。

表5 不同頻率下跟蹤實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)誤差表Tab.5 Testing error of tracking experiments at different frequencies

6 結(jié) 論

本文測(cè)試了MFC致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，建立了基于改進(jìn)PI模型和帶饋通環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)模型的復(fù)合式遲滯模型，完成了模型參數(shù)的辨識(shí)。所建立的模型在固有頻率3.4 Hz下能較好地描述諧振狀態(tài)下的遲滯現(xiàn)象，同時(shí)在3 Hz及4 Hz時(shí)依然能保證一定的精確性，具有較好的頻率適應(yīng)性?；趶?fù)合式逆模型，利用所設(shè)計(jì)的前饋補(bǔ)償控制器，采用線性遞增的控制方式，在3 Hz、3.4 Hz及4 Hz三個(gè)不同頻率下進(jìn)行了正弦軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明系統(tǒng)的輸出結(jié)果與目標(biāo)位移基本一致，證實(shí)了所提出的遲滯模型及補(bǔ)償控制方法的有效性，為后續(xù)進(jìn)一步開(kāi)展水下反饋控制和復(fù)合控制打下基礎(chǔ)。