基于彈性降階變換法求解一類可化為L(zhǎng)egendre方程的微分方程初值問(wèn)題

李順初,邵東鳳,范 林,劉 盼,付雪倩,桂欽民

(1.西華大學(xué) 理學(xué)院，四川 成都 610039；2.北京東潤(rùn)科石油技術(shù)股份有限公司，北京 10029)

對(duì)于非線性微分方程的求解，Bisso[1]提出了一種基于非線性因子分解的新方法來(lái)求解一類非線性常微分方程；李建祥等[2]總結(jié)了一些可用變量替換簡(jiǎn)化為易求解的一階常微分方程與高階微分方程的類型及其解法；Mohyud-Din等[3]提出了微分變換法；Ahmed等[4]介紹了一種基于積分函數(shù)的指數(shù)形式的變換求解二階常微分方程(OLDEs)通解的新方法；楊榮霞等[5]給出了一類可以使用升階法求解的二階非線性微分方程.過(guò)往研究的求解非線性微分方程的方法有很多，可以看出求解非線性微分方程的方法是不斷創(chuàng)新的.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，Marshall[6]首次提出了需求彈性的概念，肖人俊等[7]得到了供需價(jià)格彈性公式.之后，Woods等[8]給出了彈性的數(shù)學(xué)表達(dá)式.彈性變換是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要應(yīng)用，是微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中一種有效可行的方法[9]，它廣泛應(yīng)用于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型[10]、空中交通需求彈性評(píng)價(jià)方法的比較[11]、油藏[12-14]等領(lǐng)域.

目前已有作者嘗試?yán)脧椥宰儞Q法求解微分方程，但他們只是針對(duì)Laguerre方程[15]和Chebyshev方程[16]進(jìn)行了研究.本文針對(duì)通過(guò)彈性降階變換法可轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)egendre方程初值問(wèn)題的微分方程進(jìn)行求解.首先，給出了彈性的定義及其相關(guān)性質(zhì)；然后，利用彈性降階變換法將一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)egendre方程初值問(wèn)題進(jìn)行求解，并總結(jié)了其求解步驟；最后，給出相應(yīng)結(jié)論與進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 每一個(gè)函數(shù)y=f(x)關(guān)于其對(duì)應(yīng)的自變量x均存在彈性，即當(dāng)函數(shù)y=f(x)可微且f(x)≠0時(shí)，有

(1)

稱η是函數(shù)y=f(x)關(guān)于x的彈性函數(shù)，稱函數(shù)y=f(x)是彈性函數(shù)的原函數(shù)，而稱η在某一定點(diǎn)x0處的值ηx0為函數(shù)y=f(x)在該點(diǎn)處關(guān)于x的彈性系數(shù)，彈性η表示因變量y對(duì)自變量x的相對(duì)變化率.

引理1(導(dǎo)數(shù)的彈性表示)若η是y的彈性函數(shù)，且η二階可微，y三階可微，當(dāng)x≠0，y≠0時(shí)，則有[16]

(2)

(3)

(4)

(5)

稱為彈性逆變換，其中x,y≠0.

引理3[17]Legendre方程

(1-x2)y″-2xy′+μy=0(-1

(6)

其中μ為參數(shù).

當(dāng)

μ=l(l+1)，(l=0,1,2,…)

(7)

時(shí)，Legendre方程的通解為

y=APl(x)+BQl(x)，

(8)

其中A、B為任意常數(shù)，

(9)

(10)

Pl(x)是Legendre多項(xiàng)式；Ql(x)是第二類Legendre函數(shù)，在|x|=1有奇性.

2 彈性降階變換法及可化為L(zhǎng)egendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題

2.1 主要定理及其證明

定理1對(duì)于如下一類三階非線性常微分方程的初值問(wèn)題：

(11)

其中λ為參數(shù)，x,z≠0.當(dāng)μ=l(l+1)時(shí)，其特解為

(12)

其中

(13)

(14)

C=z0.

(15)

證明對(duì)式(11)作微分變換,

(16)

其中y是z的彈性函數(shù).根據(jù)引理1，有

(17)

(18)

(19)

把式(17)～(19)代入式(11)中的三階非線性常微分方程，則可將其關(guān)于z～x的三階非線性常微分方程降階為關(guān)于y～x的Legendre方程(6).

將式(17)、(18)帶入式(11)的初值條件

(20)

則有

(21)

解得

(22)

因此，我們可將一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)egendre方程初值問(wèn)題：

(23)

由引理2可知，當(dāng)對(duì)式(11)作微分變換時(shí)，原方程的解為：

(24)

當(dāng)μ=l(l+1)時(shí)，將方程(6)的通解(8)代入式(24)，得方程的通解

(25)

將x=x0代入式(25)得

C=z0,

(26)

由引理3可知，當(dāng)μ=l(l+1)時(shí)，Legendre方程(6)的通解為式(8)，將式(8)代入(23)的初值條件(22)，有

(27)

根據(jù)克拉默法則可求得

(28)

(29)

將A、B、C的值帶入式(25)，即可求得初值問(wèn)題的特解，證畢.

微分變換(16)被稱為z～x的方程初值問(wèn)題的彈性降階變換，利用導(dǎo)數(shù)的彈性表示(17)、(18)、(19)將其降階為低一階的y～x的常微分方程初值問(wèn)題，若降階后的微分方程可解，則原微分方程初值問(wèn)題可解.這種通過(guò)彈性降階變換而獲得微分方程初值問(wèn)題解的方法，稱之為彈性降階變換法.

通過(guò)定理1及其證明可知，如果要求解的三階非線性微分方程不易求解，那么可以通過(guò)彈性降階變換法將其初值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二階微分方程初值問(wèn)題，若此二階微分方程可解，則原三階非線性微分方程初值問(wèn)題可解.

3.2 彈性降階變換法求解可化為L(zhǎng)egendre方程初值問(wèn)題的一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題的步驟

根據(jù)定理1的證明，易得出彈性降階變換法求解可化為L(zhǎng)egendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題的步驟，如表1所示.

通過(guò)以上求解步驟，給出了基于彈性降階變換法求解可化為L(zhǎng)egendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題的流程圖(圖1)：

圖1 基于彈性降階變換法求解可化為L(zhǎng)egendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題的流程圖

3.3 舉例

例求解如下一類三階非線性常微分方程的初值問(wèn)題：

(31)

其中x,z≠0.

解：

步驟1:所要求解的方程(31)是方程(11)的類型.

步驟2:對(duì)(31)作彈性降階變換(16)，則可將其關(guān)于z～x的一類三階非線性微分方程的初值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y～x的Legendre方程的初值問(wèn)題：

(32)

步驟3:根據(jù)引理3，則可求得(32)中Legendre方程的通解為

(33)

其中

P0(x)=1,

(34)

(35)

(36)

C3=1,

(37)

A=1,

(38)

(39)

步驟6: 將A,B,C3的值帶入原方程的通解(36)，即可求得初值問(wèn)題(31)的解：

(40)

4 結(jié)論

1)彈性降階變換法可將一類三階非線性常微分方程初值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)egendre方程初值問(wèn)題，再根據(jù)Legendre方程通解對(duì)其進(jìn)行求解.

2)本研究的目的主要是通過(guò)彈性降階變換法，實(shí)現(xiàn)微分方程快速、簡(jiǎn)便地求解，進(jìn)而求得其初值問(wèn)題的解.

3)彈性降階變換法不限于求解可轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)egendre方程的非線性常微分方程初值問(wèn)題，只要轉(zhuǎn)化后的微分方程可解，則原微分方程初值問(wèn)題可解.

4)彈性降階變換法創(chuàng)新性地將經(jīng)濟(jì)學(xué)中的彈性作為一種工具引入到微分方程求解中，不僅擴(kuò)大了方程的可解類，而且對(duì)于微分方程初值問(wèn)題的求解提供了新思路.