三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題的相似構(gòu)造法

鄭鵬社，楊 雨，李順初，桂欽民

(1.西華大學(xué) 理學(xué)院，四川 成都 610039；2.北京東潤(rùn)科石油技術(shù)股份有限公司，北京 100029)

2010年，李順初[1]在求解一類二階常微分方程邊值問題時(shí)，提出了利用具有相似結(jié)構(gòu)的表達(dá)式來構(gòu)造邊值問題的解的辦法——相似構(gòu)造法.之后，一些研究者不僅將此方法應(yīng)用于求解其他一維[2-4]二階常微分方程邊值問題，還利用其求解復(fù)合型[5-8]、三區(qū)復(fù)合型和n區(qū)復(fù)合型[9-10]常微分方程邊值問題.在最新的研究中，何簽等[11]和李順初等[12]利用相似構(gòu)造法，對(duì)三區(qū)復(fù)合型第一、二類Weber方程邊值問題進(jìn)行求解，此求解過程表明相似構(gòu)造法是求解三區(qū)復(fù)合型微分方程邊值問題的一種高效、準(zhǔn)確的方法.相似構(gòu)造法的應(yīng)用為求解多種類微分方程邊值問題提供了一種新的思路.

有關(guān)Tschebycheff方程邊值問題的研究中，研究者們[13-14]討論了一維和復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題的解，基于以上研究成果，本文針對(duì)如下的三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題進(jìn)行研究：

(1)

其中：D,E,F,G,H,a,b,c,d,α1,α2,β1,β2為常數(shù)；ni(i=1,2,3)為正整數(shù)；α1,α2,β1,β2≠0,G2+H2≠0,D≠0；0

1 預(yù)備知識(shí)

yi=AiTni(x)+BiUni(x),

(2)

其中：Ai,Bi為任意常數(shù)，Tni(x)為Tschebycheff多項(xiàng)式，Uni(x)為第二類Tschebycheff函數(shù).

引理2[14]關(guān)于二元函數(shù)

(3)

有：

(4)

(5)

(6)

其中：i=1代表內(nèi)區(qū)(a

證明依據(jù)Tschebycheff多項(xiàng)式Tni(x)和第二類Tschebycheff函數(shù)Uni(x)的遞推公式[15]

同理，可以證明式(4)和式(6).

2 主要定理及證明

定理1若邊值問題有唯一解，則其內(nèi)區(qū)(a

(7)

中區(qū)(b

(8)

外區(qū)(c

(9)

其中：Φ1(x)稱作內(nèi)區(qū)相似核函數(shù)

(10)

Φ2(x)稱作中區(qū)相似核函數(shù)

(11)

Φ3(x)稱作外區(qū)相似核函數(shù)

(12)

yi=AiTni(x)+BiUni(x),(i=1,2,3),

(13)

由遞推公式，可計(jì)算出yi(x)的一階導(dǎo)數(shù)，即

(14)

(15)

將式(13)和式(14)代入兩組銜接性條件中，能夠分別得到：

A1Tn1(b)+B1Un1(b)-A2α1Tn2(b)-B2α1Un2(b)=0,

(16)

A1n1[Tn1-1(b)-bTn1(b)]+B1n1[Un1-1(b)-bUn1(b)]-

A2α2n2[Tn2-1(b)-bTn2(b)]-B2α2n2[Un2-1(b)-bUn2(b)]=0,

(17)

A2Tn2(c)+B2Un2(c)-A3β1Tn3(c)-B3β1Un3(c)=0,

(18)

A2n2[Tn2-1(c)-cTn2(c)]+B2n2[Un2-1(c)-cUn2(c)]-

A3β2n3[Tn3-1(c)-cTn3(c)]-B3β2n3[Un3-1(c)-cUn3(c)]=0，

(19)

(20)

依據(jù)式(15)～(20)和式(3)～(6)，能夠得到關(guān)于待定系數(shù)A1,B1,A2,B2,A3,B3的系數(shù)行列式為

(21)

因?yàn)檫呏祮栴}(1)的解是存在且唯一的，所以Δ≠0.根據(jù)Gramer法則，可以計(jì)算出待定系數(shù)A1、B1、A2、B2、A3、B3的值，分別為：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(22)～(27)代入Tschebycheff方程的通解(13)中，再結(jié)合式(10)～(12)和式(3)～(6)進(jìn)行化簡(jiǎn)組裝，可以得到三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)的內(nèi)區(qū)解(7)、中區(qū)解(8)和外區(qū)解(9).

推論1對(duì)于三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)，若內(nèi)邊界條件y1|x=a=1，則邊值問題(1)的內(nèi)區(qū)解為

y1=Φ1(x),(a

(28)

推論2對(duì)于三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)，若外邊界條件y3|x=d=0(G≠0,H=0)，則外區(qū)相似核函數(shù)為

(29)

(30)

推論4對(duì)于三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)，有

(31)

3 相似構(gòu)造法的步驟

由上述求解過程可以歸納出求解三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)的相似構(gòu)造法，步驟如下：

2)內(nèi)區(qū)、中區(qū)、外區(qū)相似核函數(shù)的構(gòu)造.外區(qū)相似核函數(shù)Φ3(x)由外區(qū)引解函數(shù)和外邊界條件中的系數(shù)G,H組合構(gòu)成，中區(qū)相似核函數(shù)Φ2(x)由中區(qū)引解函數(shù)、第二組銜接性條件中的系數(shù)β1,β2和Φ3(c)組合構(gòu)成，內(nèi)區(qū)相似核函數(shù)Φ1(x)由內(nèi)區(qū)引解函數(shù)、第一組銜接性條件中的系數(shù)α1,α2和Φ2(b)組合構(gòu)成，依據(jù)上述構(gòu)造，可以得到式(10)～(12).

3)得出三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)的內(nèi)區(qū)、中區(qū)、外區(qū)解.內(nèi)區(qū)解由內(nèi)邊界條件的系數(shù)D、E、F、內(nèi)區(qū)相似核函數(shù)Φ1(x)和Φ1(a)組合得出；中區(qū)解由部分內(nèi)區(qū)解、銜接性條件中的系數(shù)α1、α2、內(nèi)區(qū)引解函數(shù)、中區(qū)相似核函數(shù)Φ2(x)和Φ2(b)組合得出；外區(qū)解由部分中區(qū)解、銜接性條件中的系數(shù)β1、β2、中區(qū)引解函數(shù)、外區(qū)相似核函數(shù)Φ3(x)和Φ3(c)組合得出，基于上述組合，可以得到式(7)～(9).

4 應(yīng)用舉例

求解如下的邊值問題(a=1,b=2,c=3,d=4,n1=1,n2=2,n3=3,α1=1,β1=1,α2=2,β2=2,D=1,E=1,F=2,G=1,H=2)：

(32)

第一步：由定解方程(1-x2)y″1-xy′1+y1=0的兩個(gè)線性無關(guān)解T1(x)和U1(x)，構(gòu)造邊值問題(32)的內(nèi)區(qū)引解函數(shù)

第二步：內(nèi)區(qū)、中區(qū)、外區(qū)相似核函數(shù)的構(gòu)造.依據(jù)式(12)，構(gòu)造出外區(qū)相似核函數(shù)

并計(jì)算

依據(jù)式(11)，構(gòu)造出中區(qū)相似核函數(shù)

并計(jì)算

依據(jù)式(10)，構(gòu)造出內(nèi)區(qū)相似核函數(shù)

并計(jì)算

第三步：求解邊值問題(32)的內(nèi)區(qū)、中區(qū)、外區(qū)解.依據(jù)式(7)，可以得到邊值問題(32)的內(nèi)區(qū)(1

依據(jù)式(8)，可以得到邊值問題(32)的中區(qū)(2

依據(jù)式(9)，可以得到邊值問題(32)的外區(qū)(3

(33)

5 結(jié)論

1)在探討三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)時(shí)，一方面，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)區(qū)、中區(qū)、外區(qū)解在結(jié)構(gòu)上具有相似性，解的結(jié)構(gòu)由內(nèi)外邊界條件和銜接性條件的系數(shù)、引解函數(shù)和相似核函數(shù)組裝得到；另一方面，解的部分內(nèi)容相同，其相同部分由內(nèi)邊界條件系數(shù)和Φ1(a)構(gòu)成，且呈連分式結(jié)構(gòu)形式.

2)在求解三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題(1)時(shí)，發(fā)現(xiàn)二元引解函數(shù)總是由定解方程中的線性無關(guān)解來加以構(gòu)造，內(nèi)區(qū)、中區(qū)、外區(qū)相似核函數(shù)的系數(shù)只與內(nèi)邊界條件和銜接性條件的系數(shù)有關(guān).

3)應(yīng)用相似構(gòu)造法求解三區(qū)復(fù)合型Tschebycheff方程邊值問題時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)相似構(gòu)造法能夠大大降低求解的難度，提高計(jì)算的速度和準(zhǔn)確度.